23.11.2020

Prelegerea 3.

punctul 3. Relații pe platouri. Proprietăți ale relațiilor binare.

3.1. Relația binară.

Când vorbesc despre rudenia a două persoane, de exemplu, Serghei și Anna, înseamnă că există o anumită familie, ai cărei membri aparțin. Un cuplu ordonat (Sergey, Anna) diferă de alte perechi ordonate de oameni prin faptul că există un fel de relație între Sergey și Anna (văr, tată etc.).

În matematică, printre toate perechile ordonate de produs direct din două seturi A și B (A´ B) Perechile „speciale” se disting și datorită faptului că între componentele lor există unele relații de „rudenie” pe care alții nu le au. De exemplu, luați în considerare setul S studenți universitari și mulți K cursuri citite acolo. În munca directă S´ K un subset mare de perechi ordonate ( s, k) cu proprietatea: student s ascultă cursul k... Subsetul construit reflectă atitudinea „... ascultă ...” care apare în mod natural între seturile de studenți și cursuri.

Pentru o descriere matematică riguroasă a oricăror conexiuni între elementele a două seturi, introducem conceptul unei relații binare.

Definiție 3.1. Binar (sau dubla ) atitudine rîntre seturi A și Bse numește un subset arbitrar A´ B, adică

În special, dacă A \u003dB(adică rÍ A2), atunci se spune că r este o relație pe set A.

Elementele a și b sunt numite componente (sau coordonate ) relații r.

Cometariu. Să fim de acord că alfabetul grecesc ar trebui folosit pentru a desemna relațiile dintre elementele mulțimilor: r, t, j, s, w etc.

Definiție 3.2. Cu scopul de a Dr \u003d ( a| $ b, ce ar b) (partea stanga). Gama de valori a unei relații binare r se numește mulțime Rr \u003d ( b| $ a, ce ar b) (partea dreaptă).

Exemplu 3. 1. Având două seturi A\u003d (1; 3; 5; 7) și B\u003d (2; 4; 6). Definim relația după cum urmează t \u003d (( x; y)Î A´ B | x +y\u003d 9). Acest raport va consta din următoarele perechi (3; 6), (5; 4) și (7; 2), care pot fi scrise ca t \u003d ((3; 6), (5; 4), (7; 2) ). În acest exemplu Dt \u003d (3; 5; 7) și Rt \u003d B={2; 4; 6}.

Exemplu 3. 2. Relația de egalitate pe mulțimea numerelor reale este mulțimea r \u003d (( x; y) | x și y - numere reale și x la fel de y). Există o notație specială "\u003d" pentru această relație. Gama de definiții coincide cu gama de valori și este un set de numere reale, Dr \u003d Rr.

Exemplu 3. 3. Lasa A - o mulțime de produse în magazin și B - un set de numere reale. Atunci j \u003d (( x; y)Î A´ B | y - Preț x) Este relația mulțimilor A și B.

Dacă acordăm atenție Exemplului 3.1., Atunci putem vedea că această relație a fost specificată mai întâi sub forma t \u003d (( x; y)Î A´ B | x +y\u003d 9), și apoi scris ca t \u003d ((3; 6), (5; 4), (7; 2)). Acest lucru sugerează că relațiile pe seturi (sau un set) pot fi specificate în diferite moduri. Să luăm în considerare modalitățile de stabilire a relațiilor binare.

Modalități de definire a relațiilor:

1) folosind un predicat adecvat;

2) un set de perechi ordonate;

3) sub formă grafică: let A și B Sunt două mulțimi finite și r este o relație binară între ele. Elementele acestor mulțimi sunt reprezentate de puncte pe plan. Pentru fiecare pereche ordonată de relații r, se trasează o săgeată care leagă punctele care reprezintă componentele perechii. Un astfel de obiect se numește grafic dirijatsau digraf, punctele care reprezintă elementele mulțimilor sunt de obicei numite vârfurile graficului.

4) sub forma unei matrici: let A={a1, a2, …, un) și B={b1, b2, …, bm), r este raportul pe A´ B. Reprezentarea matricei r se numește matrice M=[mij] mărimea n´ mdefinită de relații

.

Apropo, reprezentarea matricială este o reprezentare a unei relații într-un computer.

Exemplu 3. 4. Având două seturi A\u003d (1; 3; 5; 7) și B\u003d (2; 4; 6). Raportul este definit după cum urmează t \u003d (( x; y) | x +y\u003d 9). Specificați această relație ca un set de perechi ordonate, prin digraf, sub formă de matrice.

Decizie.1) t \u003d ((3; 6), (5; 4), (7; 2)) - există o specificație a relației ca un set de perechi ordonate;

2) graficul direcționat corespunzător este prezentat în figură.

https://pandia.ru/text/78/250/images/image004_92.gif "width \u003d" 125 "height \u003d" 117 "\u003e.,

Exemplu 3. 5 . Un alt exemplu este propusul J. von Neumann (1903 - 1957) diagramă bloc a unui computer secvențial, care constă din mai multe dispozitive M:

,

unde a - dispozitiv de intrare, b - unitate aritmetică (procesor), c - dispozitiv de control, d - Dispozitiv de memorie, e - dispozitiv de ieșire.

Luați în considerare schimbul de informații între dispozitive mi și mjcare sunt în relație r dacă de la dispozitiv mi informațiile intră în dispozitiv mj.

Această relație binară poate fi specificată prin enumerarea tuturor celor 14 perechi de elemente ordonate:

Digraful corespunzător care definește această relație binară este prezentat în figură:

Reprezentarea matricială a acestei relații binare este:

. ,

Pentru relațiile binare, operațiile set-teoretice sunt definite în modul obișnuit: unire, intersecție etc.

Să introducem un concept generalizat al unei relații.

Definiție 3.3. n-pat (n-arno ) relația r este un subset al produsului direct n seturi, adică setul de seturi ordonate ( tupluri )

rÍ A1 Un={(a1, …, un)| a1Î A1Ù ... Ù unÎ Un}

Este convenabil să se definească relațiile cu mai multe locuri folosind tabele relaționale ... O astfel de sarcină corespunde enumerării setului n-k relație r. Tabelele relaționale sunt utilizate pe scară largă în practica computerizată în bazele de date relaționale. Rețineți că tabelele relaționale sunt utilizate în practica de zi cu zi. Toate tipurile de rapoarte de producție, financiare, științifice și de altă natură sunt adesea sub formă de tabele relaționale.

Cuvantul " relațional„Provine din cuvântul latin relație, care în traducere în limba rusă înseamnă „atitudine”. Prin urmare, în literatură, litera este utilizată pentru a desemna o relație R (Latină) sau r (greacă).

Definiție 3.4. Să rÍ A´ Bau o relație cu A´ B.Atunci se numește raportul r-1 atitudine inversă la o relație dată r prin A´ B, care este definit după cum urmează:

r-1 \u003d (( b, a) | (a, b) Îr).

Definiție 3.5. Să r Í A´ Bau o relație cu A´ B,și s Í B´ C -atitudine pe B´ C. Compoziţierelaţiis și r este raportul t Í A´ C, care este definit după cum urmează:

t \u003d s◦r \u003d (( a, c)| $ bÎ B asta (a, b) Îr și (b, c) Este).

Exemplu 3. 6 . Să, și C\u003d (,!, d, a). Și lăsați raportul r pe A´ B iar raportul s la B´ C dat ca:

r \u003d ((1, x), (1, y), (3, x)};

s \u003d (( x,), (x, !), (y, d), ( y, à)}.

Găsiți r-1 și s◦r, r◦s.

Decizie. 1) Prin definiție, r-1 \u003d (( x, 1), (y, 1), (x, 3)};

2) Folosind definiția compoziției a două relații, obținem

s◦r \u003d ((1,), (1 ,!), (1, d), (1, a), (3,), (3 ,!)),

din moment ce (1, x) Îr și ( x,) Îs implică (1,) Îs◦r;

din (1, x) Îr și ( x,!) Îs urmează (1 ,!) Îs◦r;

din (1, y) Îr și ( y, d) Îs implică (1, d) Îs◦r;

din (3, x) Îr și ( x,!) Îs urmează (3 ,!) Îs◦r.

Teorema 3.1. Pentru orice relație binară, se mențin următoarele proprietăți:

2) ;

3) - asociativitatea compoziției.

Dovezi. Proprietatea 1 este evidentă.

Să dovedim proprietatea 2. Pentru a demonstra a doua proprietate, arătăm că mulțimile scrise pe laturile stânga și dreapta ale egalității constau din aceleași elemente. Lasa ( a; b) Î (s◦r) -1 Û ( b; a) Î s◦r Û $ c astfel încât ( b; c) Î r și ( c; a) Î s Û $ c astfel încât ( c; b) Î r-1 și ( a; c) Î s-1 Û ( a; b) Î r -1◦s -1.

Dovediți proprietatea 3 independent.

3.2. Proprietățile relațiilor binare.

Luați în considerare proprietățile speciale ale relațiilor binare pe set A.

Proprietăți ale relațiilor binare.

1. Raportul dintre r și A´ A numit reflectant , în cazul în care un ( a,a) aparține lui r pentru toți a de A.

2. Raportul r se numește antireflexiv daca din ( a,b) Îr implică a¹ b.

3. Raportul r simetric dacă pentru a și baparținând A, din ( a,b) Îr rezultă că ( b,a) Îr.

4. Raportul r se numește antisimetric dacă pentru a și b de A, din apartenență ( a,b) și ( b,a) relația r implică faptul că a=b.

5. Raportul r tranzitiv dacă pentru a, b și c de A din faptul că ( a,b) Îr și ( b,c) Îr, rezultă că ( a,c) Îr.

Exemplu 3. 7. Lasa A\u003d (1; 2; 3; 4; 5; 6). Pe acest set, relația rÍ A2, care are forma: r \u003d ((1, 1), (2, 2), (3, 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6), (1; 2) , (1; 4), (2; 1), (2; 4), (3; 5), (5; 3), (4; 1), (4; 2)). Ce proprietăți are această relație?

Decizie. 1) Această atitudine este reflexivă, deoarece pentru toată lumea aÎ A, (a; a) Îr.

2) Atitudinea nu este antireflexivă, deoarece condiția acestei proprietăți nu este îndeplinită. De exemplu, (2, 2) Îr, dar acest lucru nu implică faptul că 2¹2.

3) Luați în considerare toate cazurile posibile, arătând că raportul r este simetric:

	(a, b) Îr	(b, a)	(b, a) Îr?

4) Această relație nu este antisimetrică, deoarece (1, 2) Îr și (2,1) Îr, dar nu rezultă din aceasta că 1 \u003d 2.

5) Se poate arăta că relația r este tranzitivă folosind metoda forței brute.

	(a, b) Îr	(b, c) Îr	(a, c)	(a, c) Îr?

Conform matricei de vizualizare

definiți proprietățile unei relații binare

1. Reflexivitate: toate sunt pe diagonala principală, zerourile sau unele sunt asteriscuri.

.

2. Anti-reflexivitate: toate zerourile de pe diagonala principală.

3. Simetrie: în cazul în care un .

4. Antisimetrie: toate elementele din afara diagonalei principale sunt zero; pot exista și zero pe diagonala principală.

.

Operațiunea „*” se efectuează conform următoarei reguli: , Unde,.

5. Tranzitivitate: în cazul în care un . Operația „◦” se efectuează conform regulii obișnuite de înmulțire, luând în considerare:.

3.3 Relația de echivalență. Relația de ordine parțială.

Relația de echivalență este o formalizare a unei astfel de situații atunci când se vorbește despre asemănarea (identitatea) a două elemente ale unui set.

Definiție 3.6. Raportul dintre r și Aexistă relație de echivalență, daca reflexiv, simetric și tranzitiv. Relația de echivalență ar b adesea indicat: a~ b.

Exemplu 3. 8 . O relație de egalitate pe setul de numere întregi este o relație de echivalență.

Exemplu 3. 9 . Raportul „o înălțime” este o relație de echivalență pentru un set de oameni X.

Exemplu 3. 1 0 . Fie ¢ setul de numere întregi. Să apelăm două numere x și y din ¢ comparabil ca modulm(mÎ ¥) și scrieți dacă resturile acestor numere sunt egale după împărțirea lor la m, adică diferența ( x-y) impartit de m.

Raportul „comparabil în valoare absolută m numere întregi ”este o relație de echivalență pe setul de numere întregi ¢. Intr-adevar:

această atitudine este reflexivă, deoarece pentru „ xÎ ¢ avem x-x\u003d 0 și, prin urmare, este divizibil cu m;

această relație este simetrică, deoarece dacă ( x-y) impartit de m, apoi ( y-x) este, de asemenea, divizibil cu m;

această relație este tranzitivă, deoarece dacă ( x-y) impartit de m, apoi pentru un număr întreg t1 avem https://pandia.ru/text/78/250/images/image025_23.gif "width \u003d" 73 "height \u003d" 24 src \u003d "\u003e, prin urmare , adică ( x-z) impartit de m.

Definiție 3.7. Raportul dintre r și Aexistă relație de ordine parțială, daca reflexiv, antisimetric și tranzitiv și este notat cu °.

Ordinea parțială este importantă în situațiile în care dorim să caracterizăm cumva vechimea. Cu alte cuvinte, decideți în ce condiții să considerați că un element al setului este superior altului.

Exemplu 3. 11 . Atitudine x£ y pe mulțimea numerelor reale există o relație de ordine parțială. ,

Exemplu 3. 1 2 . În setul de subseturi ale unor seturi universale U atitudine AÍ B există o relație de ordine parțială.

Exemplu 3. 1 3 . Organigrama subordonării într-o instituție este o relație de ordine parțială într-un set de poziții.

Prototipul relației de ordine parțială este conceptul intuitiv al relației de preferință (prioritate). Relația de preferință definește o clasă de probleme care pot fi combinate ca problema de alegere cel mai bun obiect .

Declarația problemei: să existe o colecție de obiecte A și este necesar să le comparați în funcție de preferința lor, adică să setați relația de preferință pe set A și identifică cele mai bune obiecte.

Relația de preferință P, care poate fi definit ca „ aPb, a, bÎ A Û obiect a nu mai puțin preferabil decât obiectul b„Are semnificație reflexivă și antisimetrică (fiecare obiect nu este mai rău decât el însuși și dacă obiectul a nu mai rău b și b nu mai rău a, atunci acestea sunt aceleași în preferință). Este firesc să presupunem că atitudinea P tranzitiv (deși în cazul în care, de exemplu, preferințele sunt discutate de un grup de persoane cu interese opuse, această proprietate poate fi încălcată), adică P - o relație de ordine parțială.

Una dintre modalitățile posibile de a rezolva problema comparării obiectelor prin preferință este variind , adică ordonarea obiectelor în conformitate cu preferința sau echivalența descrescătoare Ca rezultat al clasamentului, selectăm obiectele „cele mai bune” sau „cele mai rele” în ceea ce privește relația de preferință.

Domenii de utilizare probleme legate de problema alegerii celui mai bun obiect: teoria deciziei, matematica aplicată, tehnologie, economie, sociologie, psihologie.

Definiții

• 1. Orice subset al produsului cartezian RAB, RAA se numește o relație binară între elementele mulțimilor A și B.
• 2. Dacă A \u003d B, atunci R este o relație binară pe A.
• 3. Denumire: (x, y) R xRy.
• 4. Domeniul definiției relației binare R este mulțimea R \u003d (x: există y astfel încât (x, y) R).
• 5. Gama de valori a relației binare R este mulțimea R \u003d (y: există x astfel încât (x, y) R).
• 6. Complementul relației binare R dintre elementele A și B este mulțimea R \u003d (AB) R.
• 7. Relația inversă pentru o relație binară R este mulțimea R1 \u003d ((y, x): (x, y) R).
• 8. Produsul relațiilor R1AB și R2BC este relația R1 R2 \u003d ((x, y): există zB astfel încât (x, z) R1 și (z, y) R2).
• 9. Raportul f se numește funcție de la A la B dacă sunt îndeplinite două condiții:
  • a) f \u003d A, f B
  • b) pentru toate x, y1, y2, faptul că (x, y1) f și (x, y2) f implică y1 \u003d y2.
• 10. Raportul f se numește funcție de la A la B dacă în primul element f \u003d A, f \u003d B.
• 11. Denumire: (x, y) f y \u003d f (x).
• 12. Funcția de identitate iA: AA este definită după cum urmează: iA (x) \u003d x.
• 13. O funcție f se numește funcție 1-1 dacă pentru orice x1, x2, y faptul că y \u003d f (x1) și y \u003d f (x2) implică x1 \u003d x2.
• 14. Funcția f: AB efectuează o corespondență unu-la-unu între A și B dacă f \u003d A, f \u003d B și f este o funcție 1-1.
• 15. Proprietățile relației binare R pe mulțimea A:
  • - reflexivitate: (x, x) R pentru toate xA.
  • - Irreflexivitate: (x, x) R pentru toate xA.
  • - simetrie: (x, y) R (y, x) R.
  • - antisimetrie: (x, y) R și (y, x) R x \u003d y.
  • - tranzitivitate: (x, y) R și (y, z) R (x, z) R.
  • - dihotomie: fie (x, y) R, fie (y, x) R pentru toate xA și yA.
• 16. Mulțimile A1, A2, ..., Ar din P (A) formează o partiție a mulțimii A dacă
• - Аi, i \u003d 1, ..., r,
• - A \u003d A1A2 ... Ar,
• - AiAj \u003d, i j.

Subseturile Аi, i \u003d 1, ..., r, se numesc blocuri de partiție.

• 17. Echivalența pe mulțimea A este o relație reflexivă, tranzitivă și simetrică pe A.
• 18. Clasa de echivalență a unui element x prin echivalența R este mulțimea [x] R \u003d (y: (x, y) R).
• 19. Mulțimea coeficientului A de R este ansamblul claselor de echivalență a elementelor mulțimii A. Notare: A / R.
• 20. Clasele de echivalență (elemente ale mulțimii coeficiente A / R) formează o partiție a mulțimii A. Invers. Orice partiție a mulțimii A corespunde unei relații de echivalență R, ale cărei clase de echivalență coincid cu blocurile partiției specificate. Diferit. Fiecare element al mulțimii A se încadrează într-o anumită clasă de echivalență din A / R. Clasele de echivalență fie nu se suprapun, nici nu coincid.
• 21. O precomandă pe un set A este o relație reflexivă și tranzitivă pe A.
• 22. Ordonarea parțială pe o mulțime A este o relație reflexivă, tranzitivă și antisimetrică pe A.
• 23. O ordine liniară pe o mulțime A este o relație reflexivă, tranzitivă și antisimetrică pe A, care satisface proprietatea dihotomiei.

Fie A \u003d (1, 2, 3), B \u003d (a, b). Să scriem produsul cartezian: AB \u003d ((1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)). Luați orice subset al acestui produs cartezian: R \u003d ((1, a), (1, b), (2, b)). Atunci R este o relație binară pe mulțimile A și B.

Această relație va fi o funcție? Să verificăm îndeplinirea celor două condiții 9a) și 9b). Domeniul definiției relației R este mulțimea R \u003d (1, 2) (1, 2, 3), adică prima condiție nu este îndeplinită, astfel încât una dintre perechi trebuie adăugată la R: (3, a) sau (3, b). Dacă adăugați ambele perechi, atunci a doua condiție nu va fi îndeplinită, deoarece ab. Din același motiv, una dintre perechile (1, a) sau (1, b) trebuie aruncată din R. Astfel, relația R \u003d ((1, a), (2, b), (3, b)) este o funcție. Rețineți că R nu este o funcție 1-1.

Pe seturile A și B date, funcțiile vor fi, de asemenea, următoarele relații: ((1, a), (2, a), (3, a)), ((1, a), (2, a), (3, b )), ((1, b), (2, b), (3, b)) etc.

Fie A \u003d (1, 2, 3). Un exemplu de relație pe un set A este R \u003d ((1, 1), (2, 1), (2, 3)). Un exemplu de funcție pe setul A este f \u003d ((1, 1), (2, 1), (3, 3)).

Exemple de rezolvare a problemelor

1. Găsiți R, R, R1, RR, RR1, R1R pentru R \u003d ((x, y) | x, y D și x + y0).

Dacă (x, y) R, atunci x și y trec prin toate numerele reale. Prin urmare, R \u003d R \u003d D.

Dacă (x, y) R, atunci x + y0, atunci y + x0 și (y, x) R. Prin urmare, R1 \u003d R.

Pentru orice xD, yD, luați z \u003d - | max (x, y) | -1, apoi x + z0 și z + y0, adică (x, z) R și (z, y) R. Prin urmare, RR \u003d RR1 \u003d R1R \u003d D2.

2. Pentru ce relații binare R este R1 \u003d R valid?

Să RAB. Sunt posibile două cazuri:

• (1) AB. Luați xAB. Apoi (x, x) R (x, x) R1 (x, x) R (x, x) (AB) R (x, x) R. Contradicţie.
• (2) AB \u003d. Deoarece R1BA și RAB, atunci R1 \u003d R \u003d. Din R1 \u003d rezultă că R \u003d. Din R \u003d rezultă că R \u003d AB. Contradicţie.

Prin urmare, dacă A și B, atunci nu există o astfel de relație R.

3. Pe mulțimea D a numerelor reale, definim relația R după cum urmează: (x, y) R (x-y) este un număr rațional. Demonstrați că R este o echivalență.

Reflexivitate:

Pentru orice xD x-x \u003d 0 este un număr rațional. Prin urmare (x, x) R.

Simetrie:

Dacă (x, y) R, atunci x-y \u003d. Atunci y-x \u003d - (x-y) \u003d - este un număr rațional. Prin urmare (y, x) R.

Tranzitivitate:

Dacă (x, y) R, (y, z) R, atunci x-y \u003d și y-z \u003d. Adăugând aceste două ecuații, constatăm că x-z \u003d + este un număr rațional. Prin urmare (x, z) R.

Prin urmare, R este o echivalență.

4. Împărțirea planului D2 constă din blocurile prezentate în Figura a). Scrieți relația de echivalență R corespunzătoare acestei partiții și clasele de echivalență.

O sarcină similară pentru b) și c).

a) două puncte sunt echivalente dacă se află pe o dreaptă de forma y \u003d 2x + b, unde b este orice număr real.

b) două puncte (x1, y1) și (x2, y2) sunt echivalente dacă (partea întreagă x1 este egală cu partea întreagă x2) și (partea întreagă y1 este egală cu partea întreagă y2).

c) decideți pe cont propriu.

Sarcini pentru soluția independentă

• 1. Demonstrați că dacă f este o funcție de la A la B și g este o funcție de la B la C, atunci fg este o funcție de la A la C.
• 2. Fie A și B să fie mulțimi finite formate din m și, respectiv, n elemente.

Câte relații binare există între elementele mulțimilor A și B?

Câte funcții există de la A la B?

Câte funcții 1-1 există de la A la B?

Pentru care m și n există o corespondență unu-la-unu între A și B?

3. Demonstrați că f îndeplinește condiția f (AB) \u003d f (A) f (B) pentru orice A și B dacă și numai dacă f este o funcție 1-1.

O relație definită pe un set poate avea mai multe proprietăți, și anume:

2. Reflexivitate

Definiție.Atitudine Rmulți X se numește reflexiv dacă fiecare element xmulțimi X este în relație Rcu mine insumi.

Folosind simboluri, această relație poate fi scrisă după cum urmează:

Rreflectiv asupra X Û(" xÎ X) x R x

Exemplu.Relația de egalitate pe setul de segmente este reflexivă, deoarece fiecare segment este egal cu el însuși.

Graficul relației reflexive are bucle la toate vârfurile.

2. Antireflexivitate

Definiție.Atitudine Rmulți X se numește antireflexiv dacă nu există element xmulțimi X nu în relație Rcu mine insumi.

Rantireflexiv pe X Û(" xÎ X)

Exemplu. Relația „dreaptă x perpendicular pe o linie dreaptă la»Pe setul de linii drepte în plan este antireflexiv, deoarece nicio dreaptă a planului nu este perpendiculară pe sine.

Graficul relației antireflexive nu conține nicio buclă.

Rețineți că există relații care nu sunt nici reflexive, nici antireflexive. De exemplu, luați în considerare relația „punct x simetric la punct la»Pe setul de puncte ale avionului.

Punct x simetric la punct x - Adevărat; punct lasimetric la punct la - fals, prin urmare, nu putem afirma că toate punctele planului sunt simetrice cu ele însele și nici nu putem afirma că niciun punct din plan nu este simetric față de el însuși.

3. Simetrie

Definiție... Atitudine Rmulți X se numește simetric dacă din faptul că elementul x este în relație R cu element la, rezultă că elementul la este în relație R cu element x.

Rsimetric X Û(" x, laÎ X) x R y Þ y R x

Exemplu.Relația „dreaptă x traversează o linie dreaptă la pe setul de linii drepte în plan "simetric, din moment ce dacă drept x traversează o linie dreaptă laapoi o linie dreaptă la va trece cu siguranță linia dreaptă x.

Graficul relației simetrice împreună cu fiecare săgeată dintr-un punct x exact la ar trebui să conțină o săgeată care să conecteze aceleași puncte, dar în direcția opusă.

4. Asimetrie

Definiție... Atitudine Rmulți X se numește asimetric dacă pentru niciun element x, la a multimii Xnu se poate întâmpla ca elementul x este în relație R cu element la și element la este în relație R cu element x.

Rasimetric X Û(" x, laÎ X) x R y Þ

Exemplu.Atitudine " x < la»Asimetric, pentru că pentru nici o pereche de elemente x, la nu se poate spune că în același timp x < lași la< X.

Un grafic de relații asimetrice nu are bucle și, dacă două vârfuri ale graficului sunt conectate printr-o săgeată, atunci această săgeată este doar una.

5. Antisimetrie

Definiție... Atitudine Rmulți X se numește antisimetric dacă din faptul că x este în relație cu la, și la este în relație cu x urmează că x = la.

Rantisimetric X Û(" x, laÎ X) x R y Ù y R xÞ x \u003d y

Exemplu.Atitudine " x£ la»Antisimetric, deoarece condiții x£ lași la£ xsunt executate simultan numai atunci când x = la.

Un grafic de relație antisimetrică are bucle și, dacă două vârfuri ale graficului sunt conectate printr-o săgeată, atunci există o singură săgeată.

6. Tranzitivitatea

Definiție... Atitudine Rmulți X se numește tranzitiv dacă pentru orice elemente x, la, z a multimii X De la ce x este în relație cu la, și la este în relație cu zurmează că xeste în relație cu z.

Rtranzitiv X Û(" x, la, zÎ X) x R y Ù y R zÞ x R z

Exemplu. Atitudine " x multipli la»Tranzitiv, de atunci dacă primul număr este multiplu al celui de-al doilea, iar al doilea este multiplu al celui de-al treilea, atunci primul număr va fi multiplu al celui de-al treilea.

Un grafic de relații tranzitive cu fiecare pereche de săgeți din x la la și din lala z conține o săgeată care merge de la x la z.

7. Conectivitate

Definiție... Atitudine Rmulți X se numește conectat dacă pentru orice elemente x, laa multimii X x este în relație cu la sau la este în relație cu x sau x \u003d y.

Rconectat X Û(" x, la, zÎ X) x R y Ú y R zÚ X= la

Cu alte cuvinte: atitudine Rmulți X se numește conectat dacă pentru elemente diferite x, laa multimii X x este în relație cu la sau la este în relație cu x sau x \u003d y.

Exemplu.Atitudine " x< la»Este conectat, din moment ce oricare ar fi numerele reale pe care le luăm, unul dintre ele este sigur că este mai mare decât celălalt, sau sunt egale.

Pe graficul unei relații conectate, toate vârfurile sunt conectate între ele prin săgeți.

Exemplu.Verificați ce proprietăți

atitudine " x -despărțitor la»Definit pe platou

X= {2; 3; 4; 6; 8}.

1) această atitudine este reflexivă, deoarece fiecare număr dintr-un set dat este un divizor al său;

2) această atitudine nu posedă proprietatea antireflexivității;

3) proprietatea simetriei nu este îndeplinită, deoarece de exemplu, 2 este divizorul lui 4, dar 4 nu este divizorul lui 2;

4) acest raport este antisimetric: două numere pot fi simultan divizori unul de altul numai dacă aceste numere sunt egale;

5) relația este tranzitivă, deoarece dacă un număr este divizorul celui de-al doilea, iar al doilea este divizorul celui de-al treilea, atunci primul număr va fi în mod necesar divizorul celui de-al treilea;

6) relația nu posedă proprietatea de conectivitate, deoarece de exemplu, numerele 2 și 3 din grafic nu sunt conectate printr-o săgeată, deoarece două numere diferite 2 și 3 nu sunt divizori unul de celălalt.

Astfel, această relație are proprietăți de reflexivitate, asimetrie și tranzitivitate.

§ 3. Relația de echivalență.
Relația unei relații de echivalență cu partiționarea unui set în clase

Definiție.Atitudine Rpe platou Xse numește relație de echivalență dacă este reflexivă, simetrică și tranzitivă.

Exemplu.Luați în considerare relația „ x coleg la„Pentru o mulțime de studenți pedagogici. Are proprietăți:

1) reflexivitate, deoarece fiecare elev este propriul său coleg de clasă;

2) simetrie, deoarece dacă student x laapoi studentul la este un coleg student x;

3) tranzitivitate, deoarece dacă student x - colega de clasa lași student la - colega de clasa zapoi student xva fi un coleg student z.

Astfel, această relație posedă proprietățile reflexivității, simetriei și tranzitivității și, prin urmare, este o relație de echivalență. Mai mult, setul de studenți pedagogici poate fi împărțit în subseturi formate din studenți înscriși la același curs. Primim 5 subseturi.

Relațiile de echivalență sunt, de exemplu, relația de paralelism a liniilor drepte, relația de egalitate a figurilor. Fiecare astfel de relație este asociată cu împărțirea setului în clase.

Teorema.Dacă pe platou X se dă o relație de echivalență, apoi împarte acest set în subseturi disjuncte perechi (clase de echivalență).

Conversa este, de asemenea, adevărată: dacă există o relație definită pe set X, generează o partiție a acestui set în clase, atunci este o relație de echivalență.

Exemplu.Pe platou X \u003d (1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8) dată fiind relația „au același rest atunci când este împărțit la 3”. Este o relație de echivalență?

Să construim un grafic al acestei relații:

Această relație are proprietățile de reflexivitate, simetrie și tranzitivitate; prin urmare, este o relație de echivalență și împarte mulțimea Xîn clase de echivalență. Fiecare clasă de echivalență va conține numere care, atunci când sunt împărțite la 3, dau același rest: X 1 = {3; 6}, X 2 = {1; 4; 7}, X 3 = {2; 5; 8}.

Se crede că clasa de echivalență este determinată de oricare dintre reprezentanții săi, adică un element arbitrar al acestei clase. Astfel, o clasă de fracții egale poate fi specificată prin specificarea oricărei fracții aparținând acestei clase.

În cursul elementar de matematică, există și relații de echivalență, de exemplu, „expresii x și la au aceleași valori numerice "," figura x egală cu cifra la».

Limbajul T-SQL din SQL Server se bazează pe limbajul SQL standard bazat pe modelul relațional, care la rândul său se bazează pe fundații matematice, cum ar fi teoria mulțimilor și logica predicatelor. Acest articol tratează un subiect fundamental din teoria mulțimilor: proprietățile relațiilor pe mulțimi. Cititorii pot utiliza codurile T-SQL sugerate pentru a verifica existența anumitor proprietăți ale anumitor relații. Cu toate acestea, puteți încerca să scrieți propriile versiuni ale scripturilor (pentru a determina dacă relația are o anumită proprietate) înainte de a aplica soluțiile descrise în acest articol.

Seturi și relații

Georg Cantor, creatorul teoriei mulțimilor, definește o mulțime ca „unirea într-un anumit întreg M al unui set de anumite obiecte bine distincte m ale contemplației sau gândirii noastre (care vor fi numite elemente ale mulțimii M)”. Elementele unui set pot fi obiecte de natură arbitrară: oameni, numere și chiar seturile în sine. Simbolurile ∈ și ∉ denotă, respectiv, operatorii care reflectă apartenența (apariție, apartenență) și neapartenența unui element dintr-un set. Astfel, notația x ∈ V înseamnă că x este un element al mulțimii V, iar notația x ∉ V înseamnă că x nu este un element al lui V.

O relație binară pe un set este un set de perechi ordonate de elemente ale setului original. Deci, pentru un set de elemente V \u003d (a, b, c), o relație binară R pe un set dat V este un subset arbitrar al mulțimii tuturor perechilor ordonate ale produsului cartezian V × V \u003d ((a, a), (a, b), (a , c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c)). Relația R \u003d ((a, b), (b, c), (a, c)) este o relație binară valabilă pe V. Putem spune că a este legată de b de R. Să presupunem că R \u003d ((a, b ), (b, c), (c, d)). Un astfel de R nu este o relație validă pe V, deoarece perechea (c, d) nu aparține produsului cartezian V × V. Rețineți că ordinea în care sunt indicate elementele incluse în set nu este importantă. Setul V poate fi specificat ca (a, b, c) sau ca (b, a, c) și așa mai departe. Cu toate acestea, ordinea în perechi ordonate, cum ar fi în relația binară (a, b), este importantă; astfel (a, b) ≠ (b, a).

Ca un exemplu mai realist al unei relații binare, luați în considerare setul F al membrilor familiei: (Itzik, Mickey, Inna, Mila, Gabi). Mickey este fratele geamăn al lui Itsik, Inna este sora lui mai mare, Mila este mama lui, iar Gaby este tatăl său. Un exemplu de relație R pe un set F ar fi „este un frate”. Elementele acestei relații sunt ((Itzik, Mickey), (Mickey, Itzik), (Itzik, Inna), (Mickey, Inna)). Rețineți că o pereche ordonată (Itzik, Inna) apare în R, dar o pereche (Inna, Itzik) nu. Deși Itzik este fratele Innei, ea nu este fratele lui.

Proprietăți ale relațiilor pe mulțimi

Acum că ne-am reîmprospătat înțelegerea seturilor și a relațiilor, să trecem la subiectul articolului - proprietățile relațiilor pe seturi. De exemplu, date, consultați codurile din Lista 1 pentru a crea tabelele V și R. V va reprezenta un set, iar R va reprezenta o relație binară pe acesta. Utilizați codul din Listarea 2 pentru a crea o procedură numită ClearTables care poate șterge ambele tabele înainte de a le completa cu noi eșantioane de date. În cele din urmă, utilizați codurile din listele 3, 4 și 5 pentru a completa tabelele V și R cu diferite seturi de date de testare (vom numi aceste exemple de date 1, 2 și respectiv 3).

Reflexivitate. O relație R pe o mulțime V este reflexivă dacă pentru orice element v al unei mulțimi V, v ∈ V, rezultă că (v, v) ∈ R, adică o pereche (v, v) aparține întotdeauna lui R. Și o relație R pe V nu este reflexivă dacă există un element v ∈ V astfel încât perechea (v, v) ∉ R. Să considerăm din nou un exemplu de set F - membri ai familiei mele.

Relația „are aceeași vârstă de la” la F este evident reflexivă. Elementele relației vor fi următoarele perechi: ((Itzik, Itzik), (Itzik, Mickey), (Mickey, Mickey), (Mickey, Itzik), (Inna, Inna), (Mila, Mila), (Gabi, Gabi)).

Să începem să scriem o interogare T-SQL împotriva tabelelor V și R (reprezentând un set și o relație pe acest set), care verifică dacă R este reflexiv:

SELECTAȚI
CAZ
CÂND EXISTĂ
(SELECT v, v FROM dbo.V
CU EXCEPTIA
SELECȚIONEAZĂ r1, r2 DIN dbo.R)
Atunci nu"
ALTE "Da",
ÎNCHEI CĂTRE reflexiv

Prima subinterogare din operațiunea EXCEPT returnează setul tuturor perechilor ordonate (v, v) pentru toate rândurile din tabelul V. A doua subinterogare returnează setul de perechi ordonate (r1, r2) pentru toate rândurile din tabelul R. Operația EXCEPT va întoarce astfel toate perechile ordonate care apar în primul și absent în al doilea set. Predicatul EXISTS este necesar pentru a verifica existența a cel puțin unei înregistrări în setul de rezultate. Dacă există cel puțin o astfel de înregistrare, atunci expresia CASE ne va întoarce „Nu” (fără reflexivitate), dar și „Da” - în caz contrar (există reflexivitate).

Aruncați o privire asupra celor trei exemple de seturi de date din listele 3, 4 și 5 și încercați să determinați, fără a rula o interogare, care dintre acestea vor avea o relație reflexivă. Răspunsurile sunt date mai târziu în textul articolului.

Irreflexiv. O relație R pe o mulțime V se numește ireflexivă (nu trebuie confundată cu non-reflexivitatea) dacă pentru fiecare element v ∈ V rezultă că (v, v) ∉ R. Relația nu este ireflexivă dacă există un element v ∈ V pentru care (v, v) ∈ R. Un exemplu de relație ireflexivă pe mulțimea F a membrilor familiei mele este relația „a fi părinte”, deoarece nicio persoană nu poate fi părinte pentru sine. Următoarele perechi vor fi membre ale acestei relații pe F: ((Mila, Itzik), (Mila, Mickey), (Mila, Inna), (Gabi, Itzik), (Gabi, Mickey), (Gabi, Inna)).

Următoarea interogare este un test pentru a vedea dacă relația R cu V este ireflexivă:

SELECTAȚI
CAZ
CÂND EXISTĂ
(SELECT * FROM dbo.R
UNDE r1 \u003d r2)
Atunci nu"
ALTE "Da"
ÎNCHEI CÂȚI ireflexiv

Cheile străine din definiția tabelului R au fost introduse pentru a se asigura că numai elementele lui V pot compune atributele r1 și r2 ale înregistrării R. Astfel, nu mai rămâne decât să verificați dacă R nu are înregistrări cu aceleași atribute r1 și r2. Dacă există o astfel de înregistrare, relația R nu este ireflexivă, dacă nu există nicio înregistrare, este ireflexivă.

Simetrie. O relație R pe o mulțime V se spune că este simetrică dacă, împreună cu (r1, r2) ∈ R și (r2, r1) ∈ R. Relația nu este simetrică dacă există o pereche (r1, r2) ∈ R pentru care (r2, r1) ∉ R. Pe platoul F al membrilor familiei Ben-Gan, relația „este un frate al” ar fi un exemplu de relație simetrică. Perechile acestei relații vor fi următoarele seturi: ((Itzik, Mickey), (Itzik, Inna), (Mickey, Itzik), (Mickey, Inna), (Inna, Itzik), (Inna, Mickey)).

Următoarea interogare este un test pentru a vedea dacă relația R-V este simetrică:

SELECTAȚI
CAZ
CÂND EXISTĂ
(SELECȚIONEAZĂ r1, r2 DIN dbo.R
CU EXCEPTIA
SELECȚIONEAZĂ r2, r1 DIN dbo.R)
Atunci nu"
ALTE "Da"
ÎNCHEIEȚI CA simetric

Codul de solicitare folosește operația EXCEPT. Prima subinterogare a operației EXCEPT returnează un set de perechi ordonate (r1, r2) - înregistrări ale tabelului R, iar a doua - un set de perechi ordonate (r2, r1) pentru fiecare înregistrare R. Dacă relația R din setul V nu este simetrică, atunci operația EXCEPT va returna un set de rezultate ne-gol , și predicatul EXISTĂ, respectiv, valoarea TRUE și, în cele din urmă, expresia CASE va returna "Nu".

Dacă relația este simetrică, atunci expresia CASE va da „Da”.

Asimetrie. O relație R pe o mulțime V este asimetrică (această proprietate nu trebuie confundată cu asimetria) dacă, pentru fiecare colecție (r1, r2) ∈ R, în care r1 ≠ r2, este adevărat că (r2, r1) ∉ R. Un exemplu de relație asimetrică pe mulțime Membrii familiei F ai autorului vor avea relația de părinți descrisă mai sus. Ca exercițiu, încercați să vă gândiți la un exemplu de relație pe un set ne-gol care este atât simetric, cât și asimetric. Consultați datele eșantionului din acest articol pentru o soluție.

SELECTAȚI
CAZ
CÂND EXISTĂ
(SELECȚIONEAZĂ r1, r2 DIN dbo.R UNDE r1 r2
INTERSECT
SELECTA r2, r1 DIN dbo.R UNDE r1 r2)
Atunci nu"
ALTE "Da"
ÎNCHEI CA ASIMETRIC

Codul folosește operațiunea INTERSECT. Prima subinterogare din această operațiune returnează o pereche ordonată (r1, r2) pentru fiecare înregistrare din tabelul R în care r1 r2.

A doua subinterogare a operației INTERSECT returnează o pereche ordonată (r2, r1) pentru fiecare înregistrare din tabelul R în care r1 este r2. Dacă setul de rezultate (rezultatul intersecției acestor mulțimi) include cel puțin o înregistrare, aceasta va însemna că R nu este asimetric; altfel R este asimetric.

Tranzitivitate. O relație R pe o mulțime V este tranzitivă dacă incluziunile (a, b) ∈ R și (b, c) ∈ R implică întotdeauna că (a, c) ∈ R. Un exemplu de relație tranzitivă pe mulțimea membrilor familiei F este relația „Este un frate sau o soră”, despre care s-a discutat mai sus.

Codul de mai jos testează tranzitivitatea relației R:

SELECTAȚI
CAZ
CÂND EXISTĂ
(SELECTAȚI *
DIN dbo.R AS RA
INNER JOIN dbo.R AS RB
ON RA.r2 \u003d RB.r1
STÂNGA EXTERIOR ÎNSCRIEȚI-VĂ dbo.R AS RC
ON RA.r1 \u003d RC.r1 ȘI RB.r2 \u003d RC.r2
UNDE RC.r1 ESTE NUL)
Atunci nu"
ALTE "Da"
ÎNCHEIEȚI CA tranzitiv

În primul rând, codul folosește o îmbinare interioară între două instanțe ale lui R, pentru a selecta numai acele rânduri în care r2 în prima instanță se potrivește cu r1 în a doua instanță. În al doilea rând, codul folosește o îmbinare exterioară stângă cu a treia instanță a lui R, prin care r1 din prima instanță a lui R se potrivește cu r1 a celei de-a treia instanțe, iar r2 din a doua instanță se potrivește cu r2 a celei de-a treia. Dacă există cel puțin un rând rezultat în interogarea interioară (condiția de selecție pentru a treia instanță: r1 este nulă), aceasta înseamnă că relația nu este tranzitivă; altfel relația R este tranzitivă.

Relația de echivalență. O relație de echivalență este o relație care posedă simultan proprietățile reflexivității, simetriei și tranzitivității. Puteți utiliza interogările propuse mai sus pentru a verifica separat prezența fiecărei proprietăți: dacă relația are toate cele trei, atunci ar trebui să se concluzioneze că există o relație de echivalență. În plus, puteți utiliza codurile din Listarea 6 pentru a testa toate proprietățile lui R pe V care au fost discutate anterior în acest articol, inclusiv verificarea proprietății pentru a fi o echivalență. Dacă rulați Listarea 6 pentru datele eșantion 1, 2 și 3 (derivate din listele 3, 4 și respectiv 5), obțineți rezultatele prezentate în tabelele 1, 2 și respectiv 3.

Revenind la elementele de bază ale T-SQL

Astfel, am abordat un subiect fundamental din teoria matematică a mulțimilor: proprietățile relațiilor pe mulțimi. Am propus coduri de verificare T-SQL pentru verificarea proprietăților unei relații reprezentate de tabelul R (perechi ordonate de elemente) pe setul de elemente reprezentate de tabelul V.

Utilizarea construcțiilor de bază T-SQL ne-a ajutat să configurăm și să aplicăm corect instrumentele acestui limbaj pentru a înțelege mai bine proprietățile relațiilor pe seturi.

Itzik Ben-Gan ( [e-mail protejat]) - Trainer și consultant, autor de cărți T-SQL, SQL Server MVP

Conceptul de relație, împreună cu conceptul de set, „pătrunde” toată matematica. Intuitiv, o relație este înțeleasă ca o legătură între obiecte. Sarcina noastră este, folosind construcțiile teoriei mulțimilor formulate mai sus, să definim în limbajul matematic ceea ce se înțelege în matematică prin termenul „relație”.

Relații binare pe un set

Având un set ȘI. Elemente de legătură henna mulțimi ȘImodelat de o pereche (du\u003e). Dacă element x asociat cu da, prin urmare, avem o pereche (l :, y) ca element al unei mulțimi; dacă d; neafiliat cu la, prin urmare, perechea (n: ^) nu este un obiect al mulțimii. Deci, avem următoarea definiție.

O relație binară pe mulțimea A se numește un set arbitrar de perechi de elemente din ȘI.

Cu alte cuvinte, o relație binară pe platou ȘI - din subsetul produsului direct AxA \u003d A 2. În special, setul în sine A 2 dintre toate perechile este o relație binară.

Prin analogie cu o relație binară (sau în două locuri), se poate lua în considerare relația p-locală pe platou ca subset al produsului direct ȘI". Vom lua în considerare în principal relațiile binare, dar, din motive de scurtă vorbire, este simplu să spunem: „relație pe platou ȘI".

Să notăm o relație binară arbitrară prin litera greacă p.

Eu zbor ) e p, atunci se spune că l "este în raport cu p cu da, si scrie

Dacă (du)? P\u003e atunci avem negarea enunțului corespunzător. În acest caz, împreună cu notația ~ | (xru) (sau xru) scrieți lui Dr., tăind semnul relației.

Exemplul 8.1.1. Luați în considerare setul ȘI \u003d (1,2,3,4,5). Multe perechi

definește pe ȘI raportul „mai puțin” indicat de semn<.>

11 pe același set, putem considera un alt set de perechi

definește o relație de egalitate.

Exemplul 8.1.2. Luați în considerare mulțimea (N, Z, Q, I, R) a mulțimilor numerice de bază și mulțimea de perechi

Avem relația pe care am definit-o în secțiunea 2.2 ca relația de includere strictă a seturilor. Rețineți că, de exemplu, perechea (Q. I) ns se află în setul indicat, deoarece Qczl, în plus, aceste seturi nu se intersectează.

Exemplul 8.1.3. Se oferă un set de cuvinte L \u003d (curent, pisică, șoc, miză, lac). Luați în considerare această relație:

p \u003d ((curent, șoc), (șoc, curent), (șoc, număr), (număr, șoc),

(miză, lac), (lac, miză), (pisică, miză), (miză, pisică)).

Această relație poate fi exprimată astfel: cuvintele mulțimii ȘIsunt în relație p dacă și numai dacă au exact două litere identice.

Rețineți că orice set de perechi este o relație, indiferent dacă există o descriere verbală bună pentru relația respectivă.

Deoarece relația este un set, atunci poate fi specificată printr-o proprietate caracteristică, apoi rețeaua de către predicat P (xy):p \u003d ((. *, \u003e\u003e) eL 2 P (xy)). Notația este, de asemenea, utilizată:

Citiți: „g este în raport cu la dacă și numai dacă este adevărat P (xy) ".

Exemplul 8.1.4.Definim pe platou /! \u003d (1,2,3,4,5) raport:

Aici P (xy) \u003d (l + 2 \u003d y). Să definim această relație enumerând perechi:

Exemplul 8.1.5.Să definim pe platou Z(sau pe platou N)relație folosind propoziția: „Există un număr întreg /? astfel încât x \u003d n y ". Puteți scrie simbolic:

Avem relația de divizibilitate definită anterior notată cu semnul:. Această relație aparține unor perechi precum (6,2), (6,3), (4,4), (111, -37) și altele. Spre deosebire de exemplele anterioare, acest set de perechi este infinit și nu va fi posibilă listarea tuturor perechilor.

Luați în considerare cele mai importante proprietăți pe care le pot avea relațiile binare pe un set.

Raportul p pe set ȘI numit reflectantdacă vreun element x de ȘI este în raport cu p cu sine, adică pentru toate q; de ȘIlrt efectuat:

Exemplul 8.1.6.Luați în considerare relația de divizibilitate pe set Z.Luați un număr întreg arbitrar x. pentru că x \u003d x 9 apoi x ‘: x. Aceasta înseamnă că orice număr întreg este divizibil de la sine: V.veZ (l: l).Prin urmare, relația de divizibilitate este reflexivă.

Deoarece orice set este un subset al său, relația de incluziune a setului este reflexivă (pe orice set de seturi).

Raportul p pe set ȘI numit aitireflexivdacă niciun element al setului ȘI nu este în raport cu p cu sine:

Exemplul 8.1.7. Rantireflexiv, deoarece niciun număr nu este mai mic decât el însuși.

Să construim o negație la propoziția „Relația p este reflexivă”:

Astfel, relația p nu este reflexivă dacă și numai dacă există un element heA, care nu este în raport cu p cu sine. O atitudine care nu este reflexivă nu trebuie să fie aitireflexivă.

Exemplul 8.1.8.Luați în considerare o relație pe platou R,dată de propoziția „Număr x opus numărului y ". Număr x numit numărul opus da, dacă suma x + y este egal cu 0.

Această atitudine nu reflectă. Contraexemplu: x \u003d 1. Deoarece 1 + 1 * 0, atunci numărul 1 nu este opusul lui 1.

Această atitudine nu este antireflexivă. Contraexemplu :, v \u003d 0. Deoarece 0 + 0 \u003d 0, atunci numărul 0 este opusul lui 0.

Raportul p pe set ȘI numit simetricdacă din ce x este în raport cu p cu da, urmează că la este în raport cu p cu

Exemplul 8.1.9.Din identitate x + y \u003d y + .x afirmația urmează: pentru orice numere reale x și la în cazul în care un x opus lui v, atunci laopusul x. Aceasta înseamnă că această relație este simetrică. Ei spun adesea simplu: „Numerele x și la sunt opuse ".

Raportul „Număr x număr mai mic y " pe platou Rnu este simetric: 3 este mai mic decât 4, dar 4 nu este mai mic decât 3.

Raportul p pe set ȘI numit antisimetricdacă nu există elemente diferite x și y din A, astfel încât hru, neefectuată

urx:

Exemplul 8.1.10.Raportul „mai puțin” pe un set Rantisimetric.

Definiția unei relații antisimetrice poate fi formulată în alte moduri. Să introducem notația:

Folosind tabelul adevărului, se poate dovedi că formula 1 R l M - este echivalent cu formula M l K -\u003e P, care, la rândul său, conform regulii contrapunerii este echivalent cu 1 R -\u003e ~ | (L / L LA). Pe baza acestui fapt, putem spune că raportul p este antisimetric dacă și numai dacă una dintre condițiile echivalente este îndeplinită:

A) Din faptul că hru și urkh, ar trebui să x \u003d y:

B) Nu pot exista elemente diferite în același timp unul în raport cu celălalt.

Exemplul 8.1.11.Luați în considerare o relație de incluziune într-o familie arbitrară de seturi. Din moment ce LsUl Y ^ X \u003d\u003e X \u003d Y, atunci includerea e este o relație antisimetrică.

Exemplul 8.1.12.Divizibilitate pe un set Znu este nici simetric, nici antisimetric. Întrucât 4: 2, dar 2 × 4, raportul nu este simetric. Deoarece 2: (- 2) și (-2): 2, dar (-2) ^ 2, raportul nu este antisimetric.

Cu toate acestea, pe mulțimea N a numerelor naturale avem o relație antisimetrică: Vjt ^ eN (x: y lu: x -\u003e x \u003d y). Verificați această afirmație folosind definiția divizibilității.

Raportul p pe set ȘI numit tranzitivdacă din ce x este în raport cu p cu da, și la este în raport cu p cu z, rezultă că V este în raport cu p cu z:

Exemplul 8.1.13.Relația de divizibilitate este tranzitivă (atât pe mulțimea Z, cât și pe mulțimea N): x: y l y: z \u003d\u003e x: z. Să arătăm. Lasa x y și y: z. Apoi x \u003d nyși y \u003d kz pentru unele numere întregi p și la. Apoi x \u003d n (kz) \u003d (nk) z = mz, Unde texistă un număr întreg. prin urmare xz.

Relația de incluziune setată este, de asemenea, tranzitivă: XcY l YcZ \u003d\u003e XezZ. Dovedi.

Relația „Numere x și la opus ”nu este tranzitiv. Contra exemplu: x \u003d 2, y \u003d -2, 2 \u003d 2. Atunci numerele 2 și (-2) sunt opuse și, de asemenea, (-2) și 2 sunt opuse. Dar numerele x \u003d 2 și z \u003d 2 ns sunt opuse.

Exemplul 8.1.14. Să ne uităm la câteva exemple de relații din paragraful anterior.

Relația din exemplul 8.1.3 este antireflexivă și simetrică. Relația din Exemplul 8.1.4 este antireflexivă și antisimetrică. Niciuna dintre aceste relații nu este tranzitivă. Dovediți acest lucru uitându-vă la contraexemple adecvate.

Unele relații care au un număr de proprietăți în același timp primesc nume generale. Dintre exemplele luate în considerare mai sus, relația de includere a mulțimilor cu și relația de divizibilitate pe mulțimea N au simultan proprietăți de reflexivitate, antisimegricitate și tranzitivitate. X mai puțin sau egal la»Definit pe setul R (sau pe oricare dintre subsetul său):

Se numește relația reflexivă, antisimetrică și tranzitivă atitudine de ordine.

Multe ȘI, Pe care este dat relația ordin p, se numește set ordonat... Scrie (ȘI, R).

În prezent, teoria ordonată a mulțimilor este o ramură mare a matematicii, care este dedicată cărților întregi. Vom menționa doar o serie de caracteristici ale conceptului de „set ordonat”.

Intuitiv, cuvintele „set ordonat” sunt adesea înțelese într-un sens mai restrâns. Luați în considerare un l-ku ordonat, compus din elemente diferite în perechi. De exemplu, cinci litere (III, K, O, L, A) definesc cuvântul ȘCOALĂ. În acest caz, cuvintele „elementele sunt scrise într-o anumită ordine” sunt înțelese în sensul că le-am numerotat cu numerele naturale 1, 2, 3, 4, 5 și le-am aranjat în ordine crescătoare a numerelor. Să generaliza acest exemplu.

Să fie dat un „set de elemente” ȘI. Numărând elementele într-un fel a, a 2\u003e a „, obținem de fapt un set ordonat definind relația de ordine după cum urmează:

Raportul se înțelege după cum urmează: că elementul x legat de un alt element da, înseamnă că x scris în tuplul din stânga la.

Exemplul 8.1.15.Setul /4\u003d(а,b.c,r) este dat. Un patru ordonat din diferitele sale elemente (b, c, a, d) va da următoarea relație de ordine:

((b, b), (b, c), (b, a), (b, d), (c, c), (c, a), (c, d), (a, a), ( a, d), (d, d)).

Rețineți că ordinea nu trebuie să aibă așa-numita proprietate de liniaritate.

Exemplul 8.1.16.Luați în considerare pe platou A \u003d (2,4,6,8) raport de divizibilitate:. Stabiliți această relație cu mai multe perechi. De când în ȘI numai numerele naturale zac, atunci: relația de ordine. Avem un set comandat A, :).

Această ordine nu poate fi reprezentată ca un patru ordonat de elemente succesive. Puteți ilustra grafic relația folosind puncte și săgeți: dintr-un punct x exact lasăgeata conduce dacă și numai dacă x y.

Luați în considerare numerele 6 și 4. Niciuna dintre ele nu este divizibilă cu cealaltă. Ei spun că acestea sunt elemente incomparabile.

Lăsați pe platou ȘI se dă o relație de ordin p. Elemente * și lasunt numite comparabildacă cel puțin una dintre cele două relații are hru sau urx.

Comandați p pe platou ȘI numit liniardacă există două elemente ale setului ȘI sunt comparabile. Se numește mulțimea pe care este definită ordinea liniară ordonat liniar (sau lanţ).

Exemplul 8.1.17.Relația R este o ordonare liniară de la Vx ^ yeR (x Prin urmare (R,

comandat set.

Relația de divizibilitate pentru numerele naturale nu este în general o ordine liniară. Un contraexemplu este dat în Exemplul 8.1.16. "

Răzbunați-vă că orice ordonare liniară pe un set finit este dată de numerotarea elementelor sale. Pentru a sublinia că ordinea poate să nu fie liniară, un set ordonat este, în general, uneori numit parțial ordonat.