Rânduri alternante
Definiția 5. Seriile numerice care conțin atât termeni pozitivi, cât și negativi se numesc serii alternative.
Seriile, ale căror membri sunt numere negative, nu reprezintă nimic nou în comparație cu seria pozitivă, deoarece sunt obținute prin înmulțirea seriei pozitive cu – 1.
Vom începe studiul seriilor alternante cu un caz special - seriile alternante.
Definiția 6. Seria numerică a formularului u 1 -u 2 + u 3 -u 4 + ... + + (-1) n - 1. u n +... Unde tu n - modulul unui membru al unei serii, numit o serie numerică alternativă.
Teorema 9. (testul Leibniz )
Dacă pentru o serie numerică alternativă
Sunt îndeplinite două condiții:
Membrii seriei scad modulul u 1>u 2>…>tu n>…,
atunci seria (19) converge, iar suma sa este pozitivă și nu depășește primul termen al seriei.
Dovezi... Luați în considerare suma parțială a unui număr par de termeni din serie S 2 n=(u 1 -u 2) + (u 3 -u 4) + ... + (u 2 n -1 -u 2 n).
După condiție u 1>u 2>…>u 2 n -1>u 2 n, adică toate diferențele dintre paranteze sunt pozitive, prin urmare, S 2 n crește odată cu creșterea n și S 2 n\u003e 0 pentru orice n.
Pe de altă parte S 2 n=u 1 - [(u 2 -u 3) + (u 4 -u 5) + ... + (u 2 n -2 -u 2 n -1) + u 2 n]. Expresia dintre paranteze este pozitivă și S 2 n\u003e 0, deci S 2 n<u 1 pentru oricine n... Astfel, succesiunea sumelor parțiale S 2 ncrește și este limitată, prin urmare, există un finit S 2 n=S... Mai mult, 0<S≤u 1.
Luați în considerare acum suma parțială a unui număr impar de termeni din serie S 2 n +1=S 2 n+u 2 n +1... Să trecem în ultima egalitate la limită la n → ∞: S 2 n +1 \u003d S 2 n + u 2 n +1 \u003d S +0\u003d S. Astfel, sumele parțiale ale unui număr par și al unui număr impar de membri ai seriei au aceeași limită S, asa de S n=S, adică această serie converge. Teorema este dovedită.
Exemplu.
Investigați pentru convergență seria
Să aplicăm testul Leibniz.
tu n= >u n +1=
Ambele condiții ale criteriului Leibniz sunt îndeplinite; prin urmare, seria converge.
Observații.
1. Teorema lui Leibniz este valabilă și în cazul în care condiția u n\u003e u n + 1 se execută începând de la un anumit număr N.
2. Stare u n\u003e u n +1 nu este necesar. Seria poate converge dacă nu reușește. De exemplu, seria
converge ca diferență a două serii convergente, deși condiția u n\u003e u n +1 neexecutat.
Definiție 8... Dacă seria alternativă converge, iar seria compusă din valorile absolute ale membrilor acestei serii diverg, atunci se spune că seria alternativă converge condiționat.
Definiție 9... Dacă seria alternativă converge în sine și seria compusă din valorile absolute ale membrilor săi, atunci se spune că seria alternativă converge absolut.
Exemplu.
Stabiliți natura convergenței seriei
Evident, această serie converge pe baza lui Leibniz. Într-adevăr: și tu n=
O serie compusă din valorile absolute ale membrilor unei serii date este o serie armonică divergentă. Prin urmare, această serie converge condiționat.
Definiție 6.1 O serie numerică care conține un număr infinit de termeni pozitivi și un număr infinit de termeni negativi se numește alternativă. Un caz special al unui rând alternativ este un rând alternativ, adică un rând în care membrii succesivi au semne opuse.
Semnul lui Leibniz
Un criteriu suficient pentru convergența Leibniz este valabil pentru semnele alternative.
Fie (an) o secvență numerică astfel încât
1.un + 1< an ;
Apoi rândurile alternative converg.
Convergență absolută și condiționată
Definiție 6.2 O serie se numește absolut convergentă dacă și seria converge. Dacă seria converge absolut, atunci este convergentă (în sensul obișnuit). Conversa nu este adevărată.
O serie se numește convergentă condiționată dacă ea însăși converge, iar o serie compusă din modulele membrilor săi diverg.
Să aplicăm testul Leibniz suficient pentru seriile alternative. Primim
pentru că. Prin urmare, această serie converge.
Investigați o serie pentru convergență.
Să încercăm să aplicăm semnul lui Leibniz:
Se vede că modulul termenului comun nu tinde la zero pentru n\u003e ?. Prin urmare, această serie diferă
Aplicând testul d'Alembert la seria compusă din modulele membrilor corespunzători, găsim
În consecință, această serie converge absolut.
Stabiliți dacă o serie este absolut convergentă, condițională convergentă sau divergentă?
În primul rând, folosim testul Leibniz și găsim limita. Să calculăm această limită conform regulii L'Hôpital:
Astfel, seria originală divergă.
Investigați pentru convergență seria
Termenul comun al acestei serii este. Să aplicăm semnul d'Alembert unei serii formate din module:
Prin urmare. seria originală converge absolut.
Investigați dacă o serie este absolut convergentă, condițională sau divergentă?
Aplicând criteriul Leibniz, vedem că seria este convergentă:
Să luăm acum în considerare convergența unei serii compuse din modulele membrilor corespunzători. Folosind criteriul integral pentru convergență, obținem
Prin urmare, seria originală converge condiționat.
Stabiliți dacă o serie este absolut convergentă, condițională convergentă sau divergentă?
În primul rând, să aplicăm testul Leibniz:
În consecință, această serie converge. Să aflăm dacă această convergență este absolută sau condiționată. Să folosim criteriul de comparare limitativ și să comparăm seria corespunzătoare de module cu o serie armonică divergentă:
Deoarece seria compusă din module diverg, seria alternativă originală este convergentă condiționat.
1. Clasează membri pozitivi. Criterii de convergență
Determinarea convergenței seriei (1.1) și găsirea sumei sale în cazul convergenței direct prin Definiția 1.1 ca limită a secvenței sumelor parțiale este foarte dificilă. Prin urmare, există suficiente indicații pentru a determina dacă o serie este convergentă sau divergentă. În cazul convergenței sale, suma numărului corespunzător al primilor n termeni ai seriei poate servi ca valoare aproximativă a sumei sale cu orice grad de precizie.
Aici vom lua în considerare seria (1.1) cu termeni pozitivi (non-negativi), adică seriile pentru care astfel de serii vor fi numite serii pozitive.
Teorema 3.1. (semn comparativ)
Să se dea două serii pozitive
iar condițiile sunt îndeplinite pentru toate n \u003d 1,2, ...
Apoi: 1) convergența seriei (3.2) implică convergența seriei (3.1);
2) divergența seriei (3.1) implică divergența seriei (3.2).
Dovezi. 1. Să convergă seria (3.2) și suma sa este egală cu B. Succesiunea sumelor parțiale ale seriei (3.1) este un număr B care nu descrește, delimitat mai sus, adică
Apoi, în virtutea proprietăților unor astfel de secvențe, rezultă că are o limită finită, adică converge seria (3.1).
2. Să serie (3.1) să divergă. Apoi, dacă seria (3.2) converge, atunci în virtutea punctului 1 dovedit mai sus, seria originală ar converge și ea, ceea ce contrazice condiția noastră. În consecință, și seria (3.2) divergă.
Este convenabil să se aplice acest criteriu definiției convergenței seriilor, comparându-le cu seriile, a căror convergență este deja cunoscută.
Exemplul 3.1. Investigați pentru convergență seria
Membrii seriei sunt pozitivi și mai puțini decât membrii corespunzători ai seriei convergente de progresie geometrică
deoarece, n \u003d 1,2, ...
Prin urmare, conform criteriului de comparație, converg și seria originală.
Exemplul 3.2. Investigați pentru convergență seria
Membrii acestei serii sunt pozitivi și mai mulți decât membrii corespunzători ai seriei armonice divergente
În consecință, conform semnului comparației, seria originală divergă.
Teorema 3.2. (Semnul suprem al lui d'Alembert).
Apoi: 1) pentru q< 1 ряд (1.1) сходится;
- 2) pentru q\u003e 1, seria (1.1) divergă;
Observație: Seria (1.1) va diferi chiar și în cazul în care
Exemplul 3.3. Investigați pentru convergență seria
Să aplicăm testul de limită d'Alembert.
În cazul nostru.
Exemplul 3.4. Investigați pentru convergență seria
Prin urmare, seria originală converge.
Exemplul 3.5. Investigați pentru convergență seria
Să aplicăm testul limită d'Alembert:
Prin urmare, seria originală divergă.
Cometariu. Aplicarea testului de limită d'Alembert la o serie armonică nu oferă un răspuns despre convergența acestei serii, deoarece pentru această serie
Teorema 3.3. (Semn limitativ al lui Cauchy Cauchy Augustin Louis (1789 - 1857), matematician francez.).
Fie ca termenii seriei pozitive (1.1) să fie astfel încât să existe o limită
Apoi: 1) pentru q< 1 ряд (1.1) сходится;
- 2) pentru q\u003e 1, seria (1.1) divergă;
- 3) pentru q \u003d 1 nu se poate spune nimic despre convergența seriei (1.1); este nevoie de cercetări suplimentare.
Exemplul 3.6. Investigați pentru convergență seria
Aplicăm testul Cauchy limitativ:
Prin urmare, seria originală converge.
Teorema 3.4. (Testul Cauchy integral).
Fie funcția f (x) să fie o funcție continuă non-negativă care nu crește pe interval
Apoi seria și integrala necorespunzătoare converg sau diverg simultan.
Exemplul 3.7. Investigați convergența seriei armonice
Aplicăm criteriul integral Cauchy.
În cazul nostru, funcția îndeplinește condiția teoremei 3.4. Să investigăm integrala necorespunzătoare
Integrala necorespunzătoare divergă, deci și seria armonică originală divergă.
Exemplul 3.8. Investigați convergența seriei armonice generalizate
Funcția îndeplinește condiția teoremei 3.4.
Să investigăm integrala necorespunzătoare
Luați în considerare următoarele cazuri:
- 1) let Atunci seria armonică generalizată este o serie armonică care diverg, așa cum se arată în exemplul 3.7.
- 2) lăsați Atunci
Integrala necorespunzătoare divergă și, prin urmare, seria divergă;
3) lăsați Apoi
Integrala necorespunzătoare converge și, prin urmare, converge seria.
În cele din urmă avem
Observații. 1. Seria armonică generalizată va diferi de, deoarece în acest caz nu este îndeplinit criteriul de convergență necesar: termenul comun al seriei nu tinde la zero.
2. Seria armonică generalizată este convenabilă de utilizat atunci când se utilizează criteriul de comparație.
Exemplul 3.9. Investigați pentru convergență seria
Termenii seriei sunt pozitivi și mai mici decât termenii corespunzători ai seriei armonice generalizate convergente
din moment ce și parametru
În consecință, seria originală converge (prin comparație).
Să trecem la considerarea seriei, ai cărei termeni pot fi atât pozitivi, cât și negativi.
Definiția 1
Seria numerică $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) u_ (n) $, ai cărei membri au semne arbitrare (+), (?), Se numește o serie alternativă.
Seriile alternante considerate mai sus sunt un caz special al seriilor alternante; este clar că nu fiecare serie care alternează semnele este alternativă de semne. De exemplu, seria $ 1- \\ frac (1) (2) - \\ frac (1) (3) + \\ frac (1) (4) + \\ frac (1) (5) - \\ frac (1) (6) - \\ frac (1) (7) + \\ ldots - $ serie alternativă, dar nu alternativă.
Rețineți că într-o serie alternativă de termeni cu semnele (+) și (-) sunt infinit de mulți. Dacă nu este cazul, de exemplu, seria conține un număr finit de termeni negativi, atunci aceștia pot fi aruncați și poate fi luată în considerare o serie compusă doar din termeni pozitivi și invers.
Definiția 2
Dacă seria numerică $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) u_ (n) $ convergește și suma sa este S, iar suma parțială este $ S_n $, atunci $ r_ (n) \u003d S-S_ ( n) $ se numește restul seriei și $ \\ mathop (\\ lim) \\ limits_ (n \\ to \\ infty) r_ (n) \u003d \\ mathop (\\ lim) \\ limits_ (n \\ to \\ infty) (S-S_ (n )) \u003d SS \u003d 0 $, adică restul seriei convergente tinde la 0.
Definiție 3
O serie $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) u_ (n) $ se numește absolut convergentă dacă o serie compusă din valorile absolute ale membrilor săi $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ $.
Definiția 4
Dacă seria numerică $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) u_ (n) $ converge, iar seria $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) \\ left | u_ (n ) \\ dreapta | $, compus din valorile absolute ale membrilor săi, divergă, apoi seria originală este numită convergentă condiționată (nu absolut).
Teorema 1 (un criteriu suficient pentru convergența seriilor alternative)
Seria alternativă $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) u_ (n) $ converge și absolut, dacă seria, alcătuită din valorile absolute ale membrilor săi $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) \\ left | u_ (n) \\ right | $.
cometariu
Teorema 1 oferă doar o condiție suficientă pentru convergența seriilor alternative. Teorema inversă nu este adevărată, adică dacă seria alternativă $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) u_ (n) $ converge, atunci nu este necesar ca seria compusă din module $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ ( \\ infty) \\ left | u_ (n) \\ right | $ (poate fi fie convergent, fie divergent). De exemplu, rândul $ 1- \\ frac (1) (2) + \\ frac (1) (3) - \\ frac (1) (4) + ... \u003d \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty ) \\ frac ((- 1) ^ (n-1)) (n) $ converge în funcție de semnul Leibniz, și seria compusă din valorile absolute ale membrilor săi $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) \\, \\ frac (1) (n) $ (seria armonică) divergă.
Proprietatea 1
Dacă seria $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) u_ (n) $ este absolut convergentă, atunci converge absolut pentru orice permutare a membrilor săi, iar suma seriei nu depinde de ordinea membrilor. Dacă $ S "$ este suma tuturor termenilor săi pozitivi, iar $ S" "$ este suma tuturor valorilor absolute ale termenilor negativi, atunci suma seriei $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) u_ (n) $ este egal cu $ S \u003d S "-S" "$.
Proprietatea 2
Dacă seria $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) u_ (n) $ converge absolut și $ C \u003d (\\ rm const) $, atunci seria $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) C \\ cdot u_ (n) $ este, de asemenea, absolut convergent.
Proprietatea 3
Dacă seria $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) u_ (n) $ și $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) v_ (n) $ converg absolut, atunci seria $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) (u_ (n) \\ pm v_ (n)) $ converg de asemenea absolut.
Proprietatea 4 (teorema lui Riemann)
Dacă seria converge condiționat, atunci indiferent de numărul A pe care îl luăm, putem rearanja termenii acestei serii astfel încât suma sa să fie exact egală cu A; în plus, este posibil să se rearanjeze termenii seriei convergente condiționate astfel încât, după aceea, să divergă.
Exemplul 1
Investigați seria de convergență absolută și condiționată
\\ [\\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) \\ frac ((- 1) ^ (n) \\ cdot 9 ^ (n)) (n .\] !}
Decizie. Această serie este alternativă, al cărei termen comun îl denotăm: $ \\ frac ((- 1) ^ (n) \\ cdot 9 ^ (n)) (n =u_{n} $. Составим ряд из абсолютных величин $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ и применим к нему признак Даламбера. Составим предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } $, где $a_{n} =\frac{9^{n} }{n!} $, $a_{n+1} =\frac{9^{n+1} }{(n+1)!} $. Проведя преобразования, получаем $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n+1} \cdot n!}{(n+1)!\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n} \cdot 9\cdot n!}{n!\cdot (n+1)\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9}{n+1} =0$. Таким образом, ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ сходится, а значит, исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} $ абсолютно сходится.!}
Exemplul 2
Investigați seria $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) \\ frac ((- 1) ^ (n) \\ cdot \\ sqrt (n)) (n + 1) $ pentru convergență absolută și condițională.
- Să investigăm seria pentru convergență absolută. Notăm $ \\ frac ((- 1) ^ (n) \\ cdot \\ sqrt (n)) (n + 1) \u003d u_ (n) $ și compunem o serie de valori absolute $ a_ (n) \u003d \\ left | u_ (n ) \\ right | \u003d \\ frac (\\ sqrt (n)) (n + 1) $. Obținem rândul $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) \\ left | u_ (n) \\ right | \u003d \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) \\, \\ frac (\\ sqrt (n)) (n + 1) $ cu termeni pozitivi, cărora le aplicăm criteriul limită pentru compararea seriilor. Pentru comparație cu seria $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) a_ (n) \u003d \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) \\, \\ frac (\\ sqrt (n) ) (n + 1) $ ia în considerare o serie care arată ca $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) \\, b_ (n) \u003d \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty ) \\, \\ frac (1) (\\ sqrt (n)) \\, $. Această serie este o serie Dirichlet cu exponent $ p \u003d \\ frac (1) (2)
- Apoi, vom examina seria originală $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) \\ frac ((- 1) ^ (n) \\ cdot \\ sqrt (n)) (n + 1) $ pentru convergență condițională. Pentru a face acest lucru, verificați îndeplinirea condițiilor criteriului Leibniz. Condiția 1): $ u_ (n) \u003d (- 1) ^ (n) \\ cdot a_ (n) $, unde $ a_ (n) \u003d \\ frac (\\ sqrt (n)) (n + 1)\u003e 0 $ , adică acest rând alternează. Pentru a verifica starea 2) privind scăderea monotonă a termenilor seriei, folosim următoarea metodă. Luați în considerare funcția auxiliară $ f (x) \u003d \\ frac (\\ sqrt (x)) (x + 1) $, definită la $ x \\ in)