Observațiile arată că pentru majoritatea corpurilor elastice, cum ar fi oțelul, bronzul, lemnul, magnitudinile deformațiilor sunt proporționale cu magnitudinile forțelor de acțiune. Un exemplu tipic care ilustrează această proprietate este prezentat de o balanță de arc, în care alungirea arcului este proporțională cu forța de acțiune. Acest lucru se poate vedea din faptul că scara diviziunilor pentru astfel de scări este uniformă. Ca proprietate generală a corpurilor elastice, legea proporționalității dintre forță și deformare a fost formulată pentru prima dată de R. Hooke în 1660 și publicată în 1678 în lucrarea „De potentia restitutiva”. În formularea modernă a acestei legi, nu sunt luate în considerare forțele și deplasările punctelor lor de aplicare, ci stresul și deformarea.
Deci, pentru întinderea pură, se crede:
Iată alungirea relativă a oricărui segment luată în direcția de extindere. De exemplu, dacă marginile prezentate în Fig. 11, prismele înainte de aplicarea sarcinii au fost a, b și c, așa cum se arată în desen, iar după deformare vor fi respectiv, atunci.
Constanta E, care are dimensiunea stresului, se numește modulul de elasticitate sau modulul lui Young.
Întinderea elementelor paralele cu eforturile de acțiune o este însoțită de o reducere a elementelor perpendiculare, adică o scădere a dimensiunilor transversale ale barei (dimensiunile din desen). Deformare laterală relativă
va fi negativ. Se pare că deformările longitudinale și transversale într-un corp elastic sunt legate de un raport constant:
Cantitatea adimensională v, constantă pentru fiecare material, se numește raportul de compresie transversală sau raportul lui Poisson. Poisson însuși, pornind de la considerații teoretice care s-au dovedit ulterior a fi incorecte, credea că pentru toate materialele (1829). De fapt, valorile acestui coeficient sunt diferite. Deci, pentru oțel
Înlocuind în ultima formulă cu expresia, obținem:
Legea lui Hooke nu este o lege exactă. În cazul oțelului, abaterile de la proporționalitate între ele sunt nesemnificative, în timp ce fonta sau masacrul nu respectă clar această lege. Pentru ei, în plus, poate fi aproximat printr-o funcție liniară, cu excepția cazului în care este doar în cea mai brută aproximare.
Pentru o lungă perioadă de timp, rezistența materialelor a fost preocupată doar de materialele care respectă legea lui Hooke, iar aplicarea formulelor pentru rezistența materialelor la alte corpuri nu s-a putut face decât cu o întindere mare. În prezent, legile neliniare ale elasticității încep să fie studiate și aplicate pentru rezolvarea problemelor specifice.
Ministerul Educației din Republica Autonomă Crimeea
Universitatea Națională Tavrichesky numită după Vernadsky
Cercetarea dreptului fizic
Legea lui Hooke
Finalizat: student anul 1
facultatea de Fizică gr. F-111
Potapov Evgeniy
Simferopol-2010
Plan:
Relația dintre ce fenomene sau cantități exprimă legea.
Formularea legii
Exprimarea matematică a legii.
Cum a fost descoperită legea: pe baza datelor experimentale sau teoretic.
Fapte experiențiale pe baza cărora a fost formulată legea.
Experimente care confirmă validitatea legii formulate pe baza teoriei.
Exemple de utilizare a legii și luarea în considerare a funcționării legii în practică.
Literatură.
Relația dintre ce fenomene sau cantități exprimă legea:
Legea lui Hooke conectează fenomene precum stresul și deformarea unui corp rigid, modulul elastic și alungirea. Modulul forței elastice care rezultă din deformarea corpului este proporțional cu alungirea acestuia. Alungirea este caracteristica deformabilității unui material, evaluată prin creșterea lungimii unui specimen din acest material sub tensiune. Forța elasticității este forța care rezultă din deformarea corpului și care contracarează această deformare. Stresul este o măsură a forțelor interne care apar într-un corp deformabil sub influența influențelor externe. Deformarea este o schimbare în poziția relativă a particulelor corpului asociate cu mișcarea lor una față de cealaltă. Aceste concepte sunt legate de așa-numitul coeficient de rigiditate. Depinde de proprietățile elastice ale materialului și de mărimea corpului.
Formularea legii:
Legea lui Hooke este o ecuație a teoriei elasticității care leagă stresul și deformarea unui mediu elastic.
Formularea legii este că forța elastică este direct proporțională cu deformarea.
Expresia matematică a legii:
Pentru o tijă de întindere subțire, legea lui Hooke are forma:
Aici F forța de tensiune a tijei, Δ l - alungirea acestuia (compresie) și k numit coeficient de elasticitate (sau duritate). Un minus în ecuație indică faptul că forța de tragere este întotdeauna direcționată în direcția opusă deformării.
Dacă introducem alungirea relativă
și stres normal în secțiune transversală
atunci legea lui Hooke va fi scrisă astfel
În această formă, este valabil pentru orice volum mic de materie.
În general, tensiunile și tensiunile sunt tensori de rangul doi în spațiul tridimensional (au 9 componente). Tensorul constantelor elastice care le leagă este tensorul de rangul al patrulea C ijkl și conține 81 de coeficienți. Datorită simetriei tensorului C ijkl , precum și tensorii de tensiune și tensiune, doar 21 de constante sunt independente. Legea lui Hooke arată astfel:
unde σ ij - tensor de tensiune, - tensor de tensiune. Pentru un material izotrop, tensorul C ijkl conține doar doi coeficienți independenți.
Cum a fost descoperită legea: pe baza datelor experimentale sau teoretic:
Legea a fost descoperită în 1660 de savantul englez Robert Hooke (Hooke) pe baza observațiilor și experimentelor. Descoperirea, așa cum a susținut Hooke în lucrarea sa „De potentia restitutiva”, publicată în 1678, a fost făcută de el cu 18 ani mai devreme, iar în 1676 a fost plasată în cealaltă carte sub masca anagramei „ceiiinosssttuv”, adică „Ut tensio sic vis” ... Conform explicației autorului, legea proporționalității de mai sus se aplică nu numai metalelor, ci și lemnului, pietrelor, cornului, oaselor, sticlei, mătăsii, părului etc.
Fapte experiențiale pe baza cărora a fost formulată legea:
Istoria tace despre asta ..
Experimente care confirmă validitatea legii formulate pe baza teoriei:
Legea este formulată pe baza datelor experimentale. Într-adevăr, atunci când se întinde un corp (sârmă) cu un anumit coeficient de rigiditate kdistanță Δ eu, atunci produsul lor va fi egal în mărime cu forța care întinde corpul (firul). Un astfel de raport se va menține, totuși, nu pentru toate deformările, ci pentru cele mici. Cu deformări mari, legea lui Hooke încetează să mai funcționeze, corpul se prăbușește.
Exemple de utilizare a legii și luarea în considerare a funcționării legii în practică:
După cum rezultă din legea lui Hooke, alungirea arcului poate fi judecată în funcție de forța care acționează asupra sa. Acest fapt este folosit pentru a măsura forțele folosind un dinamometru - un arc cu o scară liniară, gradat la diferite valori ale forțelor.
Literatură.
1. Resurse Internet: - site-ul Wikipedia (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%93%D1%83 % D0% BA% D0% B0).
2. Un manual de fizică Peryshkin A.V. Clasa a 9-a
3. manual despre fizică de V.A. Kasyanov nota 10
4. prelegeri despre mecanică Ryabushkin D.S.
Legea lui Hooke a fost descoperită în secolul al XVII-lea de englezul Robert Hooke. Această descoperire despre tensiunea arcului este una dintre legile teoriei elasticității și joacă un rol important în știință și tehnologie.
Definiția și formula legii lui Hooke
Formularea acestei legi este după cum urmează: forța elastică care apare în momentul deformării corpului este proporțională cu alungirea corpului și este direcționată opusă mișcării particulelor acestui corp în raport cu alte particule în timpul deformării.
Notarea matematică a legii arată astfel:
Figura: 1. Formula legii lui Hooke
unde Fupr- respectiv, forța elastică, x - alungirea corpului (distanța cu care se modifică lungimea originală a corpului) și k - coeficientul de proporționalitate, numit rigiditate corporală. Forța este măsurată în Newtoni, iar alungirea unui corp este în metri.
Pentru a dezvălui semnificația fizică a rigidității, este necesar să se înlocuiască o unitate din formula legii lui Hooke în care se măsoară alungirea - 1 m, obținând anterior o expresie pentru k.
Figura: 2. Formula rigidității corpului
Această formulă arată că rigiditatea unui corp este numerică egală cu forța elastică care apare în corp (arc) atunci când este deformat cu 1 m. Se știe că rigiditatea unui arc depinde de forma, dimensiunea și materialul din care este făcut acest corp.
Forța elastică
Acum, că știm ce formulă exprimă legea lui Hooke, este necesar să înțelegem valoarea ei de bază. Cantitatea principală este forța elastică. Apare la un moment dat când corpul începe să se deformeze, de exemplu, când un arc este comprimat sau întins. Este direcționat în direcția opusă gravitației. Când forța elastică și gravitația care acționează asupra corpului devin egale, suportul și corpul se opresc.
Deformarea reprezintă modificări ireversibile care apar odată cu dimensiunea corpului și forma acestuia. Acestea sunt asociate cu mișcarea particulelor unele față de altele. Dacă o persoană stă într-un scaun moale, atunci scaunul va fi deformat, adică caracteristicile sale se vor schimba. Poate fi de diferite tipuri: îndoire, întindere, compresie, forfecare, torsiune.
Deoarece forța elasticității se referă la originea sa la forțe electromagnetice, ar trebui să știm că apare datorită faptului că moleculele și atomii - cele mai mici particule din care sunt compuse toate corpurile, se atrag reciproc și se resping reciproc. Dacă distanța dintre particule este foarte mică, înseamnă că forța respingătoare le afectează. Dacă această distanță este mărită, atunci forța de atracție va acționa asupra lor. Astfel, diferența dintre forțele de atracție și forțele de respingere se manifestă în forțele de elasticitate.
Forța de rezistență include forța de reacție a suportului și greutatea corporală. Puterea reacției prezintă un interes deosebit. Acesta este genul de forță care acționează asupra corpului atunci când este plasat pe orice suprafață. Dacă corpul este suspendat, atunci forța care acționează asupra acestuia se numește forța de tensiune a firului.
Caracteristicile forțelor elastice
După cum am aflat deja, forța elastică apare în timpul deformării și are ca scop restabilirea formelor și dimensiunilor originale strict perpendiculare pe suprafața deformabilă. Forțele elastice au, de asemenea, o serie de caracteristici.
- ele apar în timpul deformării;
- apar în două corpuri deformabile în același timp;
- sunt perpendiculare pe suprafața față de care corpul este deformat.
- sunt opuse în direcția deplasării particulelor corpului.
Aplicarea legii în practică
Legea lui Hooke se aplică atât în \u200b\u200bdispozitivele tehnice și de înaltă tehnologie, cât și în natura însăși. De exemplu, forțele elastice se găsesc în mișcările ceasului, în amortizoarele de transport, în frânghii, benzi elastice și chiar în oasele umane. Principiul Legii lui Hooke se află în centrul unui dinamometru - un dispozitiv cu care se măsoară forța.
8.2. Legile de bază utilizate în rezistența materialelor
Relațiile statice. Sunt scrise sub forma următoarelor ecuații de echilibru.
Legea lui Hooke (1678): cu cât forța este mai mare, cu atât deformarea este mai mare și, în proporție directă cu forța... Din punct de vedere fizic, aceasta înseamnă că toate corpurile sunt arcuri, dar cu o rigiditate mare. Cu o întindere simplă a unei bare cu o forță longitudinală N= F această lege poate fi scrisă ca:
Aici 
forță longitudinală, l - lungimea barei, ȘI - aria secțiunii sale transversale; E - coeficientul de elasticitate de primul tip ( modulul lui Young).
Luând în considerare formulele pentru solicitări și tensiuni, legea lui Hooke este scrisă după cum urmează: 
.
O relație similară se observă în experimente și între tensiunile de forfecare și unghiul de forfecare:
.
G
numitmodul de forfecare
, mai rar - modulul de elasticitate de al doilea fel. Ca orice lege, legea lui Hooke are o limită de aplicabilitate. Voltaj 
, la care este valabilă legea lui Hooke, se numește limita proportionala(aceasta este cea mai importantă caracteristică în materialele de rezistență).
Să descriem dependența
din
grafic (Figura 8.1). Acest tablou se numește diagramă de întindere
... După punctul B (adică la 
) această dependență încetează să mai fie simplă.
Cand 
după descărcare, prin urmare apar în corp deformări reziduale 
numit limita elastică
.
Când stresul ajunge la σ \u003d σt, multe metale încep să prezinte o proprietate numită fluiditate... Aceasta înseamnă că, chiar și sub sarcină constantă, materialul continuă să se deformeze (adică se comportă ca un lichid). Grafic, aceasta înseamnă că diagrama este paralelă cu abscisa (secțiunea DL). Se numește tensiunea σ t la care curge materialul punct de randament .
Unele materiale (Art. 3 - oțel de construcție) încep să reziste din nou după un flux scurt. Rezistența materialului continuă până la o anumită valoare maximă de σ pr, apoi începe distrugerea treptată. Cantitatea σ pr se numește puterea supremă (sinonim pentru oțel: rezistență la tracțiune, pentru beton - rezistență cubică sau prismatică). De asemenea, sunt utilizate următoarele denumiri:
=R b
O relație similară este observată în experimentele între solicitări de forfecare și forfecare.
3) Legea Duhamel-Neumann (dilatare termică liniară):
În prezența unei scăderi de temperatură, corpurile își schimbă dimensiunea și în proporție directă cu această scădere de temperatură.
Să existe o diferență de temperatură 
... Atunci această lege are forma:
Aici α - coeficient de dilatare termică liniară, l - lungimea tijei, Δ l- alungirea acestuia.
4) Legea fluajului .
Cercetările au arătat că toate materialele sunt foarte eterogene în lucrurile mici. Structura schematică a oțelului este prezentată în Figura 8.2.
Unii dintre constituenți au proprietăți lichide, astfel încât multe materiale sub sarcină vor câștiga alungire suplimentară în timp. 
(Figura 8.3.) (Metale la temperaturi ridicate, beton, lemn, materiale plastice la temperaturi normale). Acest fenomen se numește târîmaterial.
Legea este valabilă pentru un lichid: cu cât forța este mai mare, cu atât este mai mare viteza corpului în fluid... Dacă acest raport este liniar (adică forța este proporțională cu viteza), atunci îl puteți scrie sub forma:
E 
dacă mergem la forțe relative și alungiri relative, obținem
Aici indexul " cr
”Înseamnă că este luată în considerare partea de alungire care este cauzată de fluajul material. Caracteristică mecanică 
numit coeficient de vâscozitate.
Legea conservării energiei.
Luați în considerare o grindă încărcată
Să introducem conceptul de mutare a unui punct, de exemplu,
- mișcarea verticală a punctului B;
- deplasarea orizontală a punctului C.
Forțe 
făcând ceva de lucru U.
Având în vedere că forțele 
începem să creștem treptat și presupunând că acestea cresc proporțional cu deplasările, obținem:
.
Conform legii conservării: nicio muncă nu dispare, este cheltuită pentru a face alte lucrări sau trece în altă energie (energie Este munca pe care o poate face corpul.)
Forțele de muncă 
, este cheltuit pentru a depăși rezistența forțelor elastice care apar în corpul nostru. Pentru a calcula această lucrare, să luăm în considerare faptul că corpul poate fi considerat ca fiind format din particule elastice mici. Să luăm în considerare una dintre ele:
Din partea particulelor vecine, o tensiune acționează asupra ei 
... Stresul rezultat va fi 
Sub influenta 
particula se va prelungi. Alungirea este definită ca alungirea pe unitate de lungime. Apoi:
Să calculăm munca dWcă forța o face dN (aici se ia în considerare și faptul că forțele dN încep să crească treptat și cresc proporțional cu deplasările):
Pentru întregul corp avem:
.
Muncă Wcare a fost comis 
sunt numite energia deformării elastice.
Conform legii conservării energiei:
6)Principiu mișcări posibile .
Aceasta este una dintre opțiunile pentru înregistrarea legii conservării energiei.
Lasă forțele să acționeze asupra barei F 1
,
F 2
,
…
... Acestea provoacă puncte în mișcare în corp 
și tensiune 
... Să dăm trupul mici mișcări posibile suplimentare
... În mecanică, recordul este 
înseamnă sintagma „valoarea posibilă a cantității și". Aceste posibile mișcări vor provoca în corp eventuale deformări suplimentare
... Acestea vor duce la apariția unor forțe și tensiuni externe suplimentare. 
,
δ.
Să calculăm munca forțelor externe la mici deplasări suplimentare posibile:
Aici 
- deplasări suplimentare ale acelor puncte în care se aplică forțe F 1
,
F 2
,
…
Luați în considerare din nou un element mic cu o secțiune transversală dA și lungimea dz (vezi fig. 8.5. și 8.6.). Prin definiție alungire suplimentară dzdin acest element se calculează prin formula:
dz= dz.
Forța de întindere a elementului va fi:
dN = (+δ) dA ≈ dA..
Lucrul forțelor interne asupra deplasărilor suplimentare este calculat pentru un element mic după cum urmează:
dW \u003d dN dz \u003d dA dz \u003d dV
DIN 
rezumând energia de deformare a tuturor elementelor mici, obținem energia de deformare totală:
Legea conservării energiei W = U dă:
.
Acest raport se numește principiul unei posibile deplasări(numit si principiul mișcărilor virtuale). În mod similar, putem lua în considerare cazul în care acționează și solicitări tangențiale. Apoi se poate obține că energia tensiunii W se adaugă următorul termen:
Aici este tensiunea de forfecare, este forfecarea unui element mic. Apoi principiul mișcărilor posibileva lua forma:
Spre deosebire de forma anterioară de scriere a legii conservării energiei, nu există nicio presupunere că forțele încep să crească treptat și cresc proporțional cu deplasările
7) Efectul Poisson.
Luați în considerare imaginea alungirii probei:
Se numește fenomenul de scurtare a unui element corporal pe direcția alungirii efectul Poisson.
Să găsim deformarea relativă longitudinală.
Deformația relativă transversală va fi:
coeficientul lui Poisson cantitatea se numește:
Pentru materialele izotrope (oțel, fontă, beton) raportul lui Poisson
Aceasta înseamnă că în direcția transversală deformarea mai puțin longitudinal.
Notă
: tehnologiile moderne pot crea materiale compozite cu raportul lui Poisson\u003e 1, adică deformarea transversală va fi mai mare decât deformarea longitudinală. De exemplu, acesta este cazul unui material armat cu fibre rigide la un unghi redus. 
<<1
(см. рис.8.8.). Оказывается, что коэффициент
Пуассона при этом почти пропорционален
величине
, adică mai putin 
, cu atât raportul Poisson este mai mare.
Figura 8.8. Figura 8.9
Și mai surprinzător este materialul prezentat în (Figura 8.9.) Și pentru o astfel de întărire are loc un rezultat paradoxal - alungirea longitudinală duce la o creștere a dimensiunii corpului în direcție transversală.
8) Legea generalizată a lui Hooke.
Luați în considerare un element care este întins în direcțiile longitudinale și transversale. Să găsim deformarea care apare în aceste direcții. 
Să calculăm deformarea 
care decurg din acțiune 
:
Luați în considerare deformarea din acțiune 
care rezultă din efectul Poisson:
Deformarea generală va fi:
Dacă este valabil și 
, apoi adăugați încă o scurtare în direcția axei x 
.
Prin urmare: 
În mod similar: 
Aceste relații sunt numite legea generalizată a lui Hooke.
Interesant este că, atunci când scriem legea lui Hooke, se face o presupunere cu privire la independența deformațiilor de alungire față de deformările de forfecare (despre independența față de tensiunile de forfecare, ceea ce este același lucru) și invers. Experimentele confirmă bine aceste ipoteze. Privind în perspectivă, observăm că puterea, dimpotrivă, depinde puternic de combinația dintre forfecare și solicitări normale.
Notă: Legile și ipotezele de mai sus sunt confirmate de numeroase experimente directe și indirecte, dar, ca toate celelalte legi, au un domeniu limitat de aplicabilitate.
Când bara este întinsă și comprimată, lungimea și dimensiunile secțiunii transversale se schimbă. Dacă selectați mental din tijă într-o stare nedeformată un element de lungime dx, apoi după deformare lungimea sa va fi egală cu dx ( (fig. 3.6). În acest caz, alungirea absolută în direcția axei Oh va fi egal
și deformarea liniară relativă f x este definit de egalitate
Din moment ce axa Oh coincide cu axa barei, de-a lungul căreia acționează sarcini externe, numim deformare f x deformare longitudinală, pentru care indicele va fi omis în cele ce urmează. Deformațiile în direcții perpendiculare pe axă se numesc deformări transversale. Dacă notăm prin b dimensiunea caracteristică a secțiunii transversale (Figura 3.6), apoi deformarea transversală este determinată de raport 
Deformațiile liniare relative sunt mărimi adimensionale. S-a constatat că deformările transversale și longitudinale în timpul tensiunii centrale și al compresiei barei sunt legate între ele prin dependență
Cantitatea v inclusă în această egalitate se numește coeficientul lui Poisson sau coeficientul de deformare laterală. Acest coeficient este una dintre principalele constante de elasticitate a materialului și caracterizează capacitatea acestuia de deformări transversale. Pentru fiecare material, acesta este determinat dintr-un test de tracțiune sau compresie (a se vedea § 3.5) și este calculat prin formulă
După cum rezultă din egalitate (3.6), deformările longitudinale și transversale au întotdeauna semne opuse, ceea ce este o confirmare a faptului evident - în timpul tensiunii, dimensiunile secțiunii transversale scad, iar în timpul compresiei, acestea cresc.
Raportul lui Poisson este diferit pentru diferite materiale. Pentru materialele izotrope, poate lua valori cuprinse între 0 și 0,5. De exemplu, pentru plută, raportul Poisson este aproape de zero, în timp ce pentru cauciuc este aproape de 0,5. Pentru multe metale la temperaturi normale, raportul Poisson este în intervalul 0,25 + 0,35.
După cum sa stabilit în numeroase experimente, pentru majoritatea materialelor structurale la deformări mici, există o relație liniară între solicitări și deformări
Această lege a proporționalității a fost stabilită pentru prima dată de omul de știință englez Robert Hooke și se numește legea lui Hooke.
Intrarea constantă în legea lui Hooke E numit modulul de elasticitate. Modulul elastic este a doua constantă principală a elasticității unui material și caracterizează rigiditatea acestuia. Deoarece deformările sunt mărimi adimensionale, rezultă din (3.7) că modulul elastic are dimensiunea tensiunii.
Masa 3.1 arată valorile modulului de elasticitate și raportul lui Poisson pentru diferite materiale.
La proiectarea și calcularea structurilor, împreună cu calculul tensiunilor, este, de asemenea, necesar să se determine deplasările punctelor și nodurilor individuale ale structurilor. Să luăm în considerare o metodă pentru calcularea deplasărilor sub tensiune centrală și compresie a barelor.
Alungirea elementului absolut după lungime dx (Fig. 3.6) conform formulei (3.5) este
Tabelul 3.1
|
Numele materialului |
Modul elastic, MPa |
Coeficient Poisson |
|
Otel carbon |
||
|
Aliaje de aluminiu |
||
|
Aliaje de titan |
||
|
(1,15-s-1,6) 10 5 |
||
|
de-a lungul bobului |
(0,1 ^ 0,12) 10 5 |
|
|
peste cereale |
(0,0005 + 0,01)-10 5 |
|
|
(0,097 + 0,408) -10 5 |
||
|
Zidărie de cărămidă |
(0,027 +0,03)-10 5 |
|
|
Fibra de sticlă SVAM |
||
|
Textolit |
(0,07 + 0,13)-10 5 |
|
|
Cauciuc pe cauciuc |
Integrând această expresie în intervalul de la 0 la x, obținem
unde lor) - deplasarea axială a unei secțiuni arbitrare (Fig. 3.7) și С \u003d și (0) - deplasarea axială a secțiunii inițiale x \u003d 0. Dacă această secțiune este fixă, atunci u (0) \u003d 0 și deplasarea unei secțiuni arbitrare este
Alungirea sau scurtarea tijei este egală cu deplasarea axială a capătului său liber (Fig. 3.7), a cărei valoare o obținem de la (3.8), luând x \u003d 1:
Înlocuind în formula (3.8) expresia deformării? din legea lui Hooke (3.7), obținem
Pentru o tijă confecționată din material cu modul de elasticitate constantă E deplasările axiale sunt determinate prin formula
Integrala în această egalitate poate fi calculată în două moduri. Prima modalitate este de a scrie funcția analitic oh) și integrarea ulterioară. A doua metodă se bazează pe faptul că integralul considerat este egal numeric cu aria diagramei a de pe site. Introducerea notării
Să luăm în considerare cazuri speciale. Pentru o bară întinsă de o forță concentrată R (Fig. 3.3, a), forță longitudinală. / V constantă de-a lungul lungimii și egale cu R. Tensiunile a conform (3.4) sunt, de asemenea, constante și egale 
Apoi din (3.10) obținem
Din această formulă rezultă că dacă solicitările pe o anumită secțiune a tijei sunt constante, atunci deplasările se schimbă conform unei legi liniare. Înlocuind în ultima formulă x \u003d 1, găsiți alungirea barei:
Compoziţie EF numit rigiditatea tijei în tensiune și compresie. Cu cât această valoare este mai mare, cu atât mai puțin alungirea sau scurtarea tijei.
Luați în considerare o tijă sub o sarcină distribuită uniform (fig. 3.8). Forța longitudinală într-o secțiune arbitrară distanțată la o distanță x de fixare este egală cu
Împărțirea N pe F, obținem formula pentru solicitări
Înlocuind această expresie în (3.10) și integrând, găsim
Cea mai mare deplasare, egală cu alungirea întregii tije, se obține prin substituirea x \u003d / în (3.13):
Din formulele (3.12) și (3.13) se poate observa că dacă eforturile sunt liniar dependente de x, atunci deplasările se modifică conform legii unei parabole pătrate. Diagrame N, Oh si și sunt prezentate în Fig. 3.8.
Funcții generale de legare a dependenței diferențiale lor) iar a (x) poate fi obținut din relația (3.5). Înlocuind e din legea lui Hooke (3.7) în această relație, găsim
Această dependență implică, în special, regularitățile modificărilor funcției menționate în exemplele considerate mai sus lor).
În plus, se poate observa că dacă într-o secțiune tensiunile dispar, atunci pe diagramă și în această secțiune poate exista un extremum.
De exemplu, să construim un complot și pentru tija prezentată în Fig. 3.2 prin setare E- 10 4 MPa. Calculul suprafeței parcelei desprepentru diferite site-uri, găsim:
secțiunea x \u003d 1 m:
secțiunea x \u003d 3 m:
secțiunea x \u003d 5 m:
Pe partea de sus a barei, diagrama și este o parabolă pătrată (Fig. 3.2, e). În acest caz, există un extrem în secțiunea x \u003d 1 m. În secțiunea inferioară, natura parcelei este liniară.
Alungirea totală a barei, care în acest caz este
poate fi calculată cu ajutorul formulelor (3.11) și (3.14). Deoarece secțiunea inferioară a tijei (vezi Fig. 3.2, și) întins cu forța R ( alungirea în conformitate cu (3.11) este
Forțează acțiunea R ( este de asemenea transmis la secțiunea superioară a tijei. Mai mult, se contractă cu forța R 2 și întins de o sarcină uniform distribuită q. În conformitate cu aceasta, modificarea lungimii se calculează cu formula:
Sumând valorile A / și A / 2, obținem același rezultat ca mai sus.
În concluzie, trebuie remarcat faptul că, în ciuda cantității mici de deplasări și alungiri (scurtări) ale tijelor în timpul tensiunii și compresiei, acestea nu pot fi neglijate. Capacitatea de a calcula aceste valori este importantă în multe probleme tehnologice (de exemplu, la asamblarea structurilor), precum și pentru rezolvarea problemelor static nedeterminate.