Trimite-ți munca bună în baza de cunoștințe este simplu. Folosiți formularul de mai jos

Elevii, studenții absolvenți, tinerii oameni de știință care folosesc baza de cunoștințe în studiile și munca lor vă vor fi foarte recunoscători.

Agenția Federală pentru Educație

Instituție de învățământ de stat de învățământ profesional superior

Universitatea umanitară de stat Vyatka

Facultatea de Matematică

Departamentul de analiză matematică și metodologie
predarea matematicii

Lucrare finală de calificare

pe tema: Inelul numerelor întregi gaussiene.

Efectuat:

student anul 5

facultatea de Matematică

V.V. Gnusov

___________________________

Supervizor:

lector superior al catedrei

algebră și geometrie

Semenov A.N ..

___________________________

Referent:

candidat fiz.-matematică. Științe, profesor asociat

departamentul de Algebră și Geometrie

Kovyazina E.M.

___________________________

Admis la protecție în cadrul Comitetului de aviație de stat

Cap Departamentul ________________ Vechtomov E.M.

« »________________

Decanul Facultății ___________________ V.I. Varankina

« »________________

Kirov 2005

• Introducere. 2
• 3
• 4
• 1.2 ÎMPĂRȚIREA CU REZIDU. 5
• 1.3 GCD. ALGORITM Euclides. 6
• 9
• 12
• 17
• Concluzie. 23

Introducere.

Inelul numerelor întregi complexe a fost descoperit de Carl Gauss și numit după el ca Gaussian.

K. Gauss a venit la ideea posibilității și necesității extinderii conceptului de număr întreg în legătură cu căutarea algoritmilor pentru rezolvarea comparațiilor de gradul II. El a transferat conceptul de număr întreg la numere de formă, unde sunt numere întregi arbitrare, și este rădăcina ecuației.Pe acest set, K. Gauss a fost primul care a construit o teorie a divizibilității, similară cu teoria divizibilității numerelor întregi. El a confirmat validitatea proprietăților de bază ale divizibilității; a arătat că în inelul numerelor complexe există doar patru elemente reversibile :; a dovedit validitatea teoremei divizării cu rest, teorema unicității descompunerii în factori primi; a arătat ce numere naturale prime rămân prime în ring; am aflat natura numerelor complexe întregi simple.

Teoria dezvoltată de K. Gauss, descrisă în lucrarea sa „Cercetări aritmetice”, a fost o descoperire fundamentală pentru teoria numerelor și a algebrei.

În lucrarea finală, au fost stabilite următoarele obiective:

1. Să dezvolte teoria divizibilității în inelul numerelor Gauss.

2. Aflați natura numerelor Gauss simple.

3. Arătați utilizarea numerelor gaussiene în rezolvarea problemelor diofantine obișnuite.

CAPITOLUL 1. DIVIZIBILITATE ÎN INELUL NUMERELOR DE GAUSS.

Luați în considerare un set de numere complexe. Prin analogie cu mulțimea numerelor reale, se poate distinge în el un anumit subset de numere întregi. Setul de numere ale formei, unde se va numi numere întregi complexe sau numere gaussiene. Este ușor să verificați dacă axiomele inelului sunt valabile pentru acest set. Astfel, acest set de numere complexe este un inel și se numește un inel de numere întregi gaussiene ... Să-l denumim ca fiind, deoarece este o extensie a inelului prin elementul :.

Deoarece inelul numerelor Gauss este un subset de numere complexe, unele definiții și proprietăți ale numerelor complexe sunt valabile pentru acesta. De exemplu, fiecare număr gaussian corespunde unui vector care începe dintr-un punct și se termină cu. Prin urmare, modul există un număr gaussian. Rețineți că în setul luat în considerare, expresia submodulară este întotdeauna un număr întreg negativ. Prin urmare, în unele cazuri este mai convenabil de utilizat norma , adică pătratul modulului. În acest fel. Se pot distinge următoarele proprietăți ale normei. Pentru orice numere gaussiene este adevărat:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Valabilitatea acestor proprietăți este verificată în mod banal folosind modulul. Observăm trecător că (2), (3), (5) sunt valabile și pentru orice numere complexe.

Inelul numerelor Gauss este un inel comutativ fără divizoare de 0, deoarece este un subinel al câmpului numerelor complexe. De aici urmează contractilitatea multiplicativă a inelului, adică

1.1 ELEMENTE REVERSIBILE ȘI ALOCATE.

Să vedem care numere gaussiene sunt reversibile. Multiplicarea neutră este. Dacă numărul Gaussian reversibil , atunci, prin definiție, există astfel încât. Trecând la norme, conform proprietății 3, obținem. Prin urmare, aceste norme sunt naturale. Prin urmare, prin proprietatea 4 ,. În schimb, toate elementele unui set dat sunt reversibile, deoarece. Prin urmare, numerele cu o normă egală cu una vor fi reversibile, adică.

După cum puteți vedea, nu toate numerele gaussiene vor fi reversibile. Prin urmare, este interesant să se ia în considerare problema divizibilității. Ca de obicei, spunem asta acțiuni pentru orice numere gaussiene, precum și pentru numere inversabile, proprietățile sunt adevărate.

(7)

(8)

(9)

(10)

, unde (11)

(12)

(8), (9), (11), (12) sunt ușor de verificat. Valabilitatea lui (7) urmează de la (2), iar (10) urmează de la (6). În virtutea proprietății (9), elementele setului se comportă cu privire la divizibilitate exact în același mod ca și sunt numite aliat din. Prin urmare, este firesc să se ia în considerare divizibilitatea numerelor gaussiene până la uniune. Geometric, pe planul complex, numerele aliate vor diferi unele de altele prin rotirea cu un unghi multiplu.

1.2 ÎMPĂRȚIREA CU REZIDU.

Să fie necesar să împărțim la, dar este imposibil să facem întreaga împărțire. Trebuie să primim și trebuie să fie „puțin”. Apoi vom arăta ce să luăm ca un coeficient incomplet atunci când împărțim cu un rest în mulțimea numerelor gaussiene.

Lema 1. La divizare cu rest.

În ring este posibilă divizarea cu rest, în care restul este mai mic decât divizorul conform normei. Mai exact, pentru oricare și va fi astfel încât ... La fel de puteți lua cea mai apropiată de numărul complex Număr gaussian.

Dovezi.

Împărțiți în setul de numere complexe. Acest lucru este posibil deoarece setul de numere complexe este un câmp. Lăsa. Să rotunjim numerele reale și la numere întregi, obținem, respectiv, și. Sa punem. Atunci

.

Acum, înmulțind ambele părți ale inegalității cu obținem, datorită multiplicativității normei numerelor complexe, că. Astfel, ca un coeficient incomplet, se poate lua un număr gaussian, care, așa cum este ușor de văzut, este cel mai apropiat.

Ch.T.D.

1.3 GCD. ALGORITM Euclides.

Folosim definiția obișnuită a celui mai mare divizor comun pentru inele. Mcd "ohm două numere gaussiene se numesc divizorul lor comun, care este divizibil cu orice alt divizor comun.

La fel ca în setul de numere întregi, în setul de numere gaussiene, algoritmul euclidian este folosit pentru a găsi GCD.

Fie numerele gaussiene date și. Împarte cu restul la. Dacă restul este diferit de 0, atunci împărțim la acest rest și vom continua împărțirea secvențială a resturilor atâta timp cât este posibil. Obținem un lanț de egalități:

Unde

Unde

Unde

……………………….

Unde

Acest lanț nu poate continua la nesfârșit, deoarece avem o secvență descrescătoare de norme, iar normele sunt numere întregi care nu sunt negative.

Teorema 2. Despre existența unui GCD.

În algoritmul lui Euclid aplicat numerelor Gauss și ultimul rest nenul este gcd ( ).

Dovezi.

Să dovedim că în algoritmul euclidian obținem cu adevărat un GCD.

1. Luați în considerare egalitățile de jos în sus.

Din ultima egalitate este clar că. Prin urmare, ca sumă de numere divizibile cu. De la și, următoarea linie va da. Etc. Astfel, se poate vedea că și. Adică este un divizor comun al numerelor și.

Să arătăm că acesta este cel mai mare divizor comun, adică este divizibil cu orice alt divizor comun.

2. Luați în considerare egalitățile de sus în jos.

Fie un divizor comun arbitrar al numerelor și. Apoi, ca diferență între numerele divizibile cu, într-adevăr de la prima egalitate. Din a doua egalitate obținem asta. Astfel, reprezentând în fiecare egalitate restul ca diferență de numere divizibile cu, vom obține din penultima egalitate care este divizibilă cu.

Ch.T.D.

Lema 3. Despre reprezentarea GCD.

Dacă gcd ( , )= , atunci există astfel de numere Gauss întregi și , ce .

Dovezi.

Luați în considerare de jos în sus lanțul egalităților obținut în algoritmul euclidian. Înlocuind succesiv în loc de resturile expresiilor lor prin resturile anterioare, exprimăm prin și.

Numărul Gauss se numește simplu dacă nu poate fi reprezentat ca produs al doi factori ireversibili. Următoarea afirmație este evidentă.

Declarația 4.

Când înmulțiți un prim gaussian cu un inversabil, obțineți din nou un prim gaussian.

Declarația 5.

Dacă luăm un divizor ireversibil cu cea mai mică normă pentru un număr gaussian, atunci acesta va fi un simplu gaussian.

Dovezi.

Fie un astfel de divizor un număr compus. Atunci, unde și sunt numere gaussiene ireversibile. Să trecem la norme și, în conformitate cu (3), obținem acest lucru. Deoarece aceste norme sunt naturale, avem acest lucru și, în virtutea lui (12), este un divizor ireversibil al numărului Gauss dat, care contrazice alegerea.

Declarația 6.

Dacă nu este divizibil cu un număr prim gaussian , apoi GCD ( , )=1.

Dovezi.

Într-adevăr, numărul prim divizibil numai prin numere aliate cu 1 sau cu ... Și întrucât nu este divizibil cu , apoi aliat cu de asemenea, nu este divizat. Aceasta înseamnă că numai numerele reversibile vor fi divizorii lor comuni.

Lemă 7. Lemă euclidiană.

Dacă produsul numerelor Gauss este divizibil cu un număr Gauss prim , atunci cel puțin unul dintre factori este divizibil cu .

Dovezi.

Pentru dovadă, este suficient să luăm în considerare cazul în care produsul conține doar doi factori. Adică vom arăta că dacă este divizibil cu , atunci fie divizibil cu sau impartit de .

Să nu fie divizibil cu , apoi gcd (, ) \u003d 1. Prin urmare, există astfel de numere gaussiene și astfel încât. Înmulțim ambele părți ale egalității cu , obținem că, de aici rezultă că, ca suma numerelor divizibile cu .

1.4 TEOREMA DE BAZĂ A ARITMETICII.

Orice număr Gauss diferit de zero poate fi reprezentat ca un produs al numerelor Gauss simple, iar această reprezentare este unică până la uniunea și ordinea factorilor.

Observația 1.

Un număr inversabil are zero factori primi în descompunerea sa, adică este reprezentat prin el însuși.

Observația 2.

Mai precis, unicitatea este formulată după cum urmează. Dacă există două factorizări Gauss simple, adică atunci și puteți renumerota astfel numerele , ce va fi aliat cu , Cu toti de la 1 la inclusiv.

Dovezi.

Realizăm dovada prin inducție asupra normei.

Baza. Pentru un număr cu normă unitară, afirmația este evidentă.

Fie acum un număr Gauss ireversibil nenul și, pentru toate numerele Gauss cu o normă mai mică, afirmația este dovedită.

Să arătăm posibilitatea descompunerii în factori primi. Pentru a face acest lucru, denotăm un divizor ireversibil care are cea mai mică normă. Acest divizor trebuie să fie un număr prim prin Enunțul 5. Apoi. Astfel, avem și, prin ipoteza inductivă, putem reprezenta un produs al numerelor prime. Prin urmare, se descompune în produsul acestor simple și.

Să arătăm unicitatea factorizării în factori primi. Pentru a face acest lucru, luați două astfel de expansiuni arbitrare:

După lema lui Euclid, unul dintre factorii din produs trebuie să fie divizibil cu. Putem presupune că este divizibil cu, altfel vom renumerota. Deoarece sunt simple, unde este reversibil. Anulând ambele părți ale egalității noastre, obținem o factorizare primă a unui număr în normă mai mic decât.

Prin ipoteză inductivă și este posibil să renumerotăm numerele astfel încât să fie aliat cu, cu, ..., cu. Apoi, cu această numerotare, este asociat cu toate de la 1 la inclusiv. Prin urmare, factorizarea în factori primi este unică.

Un exemplu de inel cu un singur născut fără OTA.

Sa luam in considerare. Elementele acestui inel sunt numere de formă, unde și sunt numere întregi arbitrare. Să arătăm că teorema principală a aritmeticii nu se menține în ea. Definim norma numărului din acest inel după cum urmează :. Aceasta este într-adevăr norma, deoarece nu este dificil de verificat acest lucru. Să și. Atunci

Observa asta.

Să arătăm că numerele din ringul luat în considerare sunt prime. Într-adevăr, să - unul dintre ei și. Apoi avem: Deoarece nu există numere cu norma 2 în acest inel, atunci sau. Elementele reversibile vor fi numere cu o rată unitară și numai ele. Prin urmare, într-o factorizare arbitrară, există un factor inversabil, prin urmare, este simplu.

CAPITOLUL 2. NUMERE PRIME DE GAUSS.

Pentru a înțelege care numere gaussiene sunt prime, luați în considerare un număr de enunțuri.

Teorema 8.

Fiecare Gauss prim este un divizor al exact unui prim natural.

Dovezi.

Să - Gauss simplu, atunci. Prin principala teoremă a aritmeticii numerelor naturale, ea se descompune într-un produs al numerelor naturale prime. Și după lema lui Euclid, cel puțin una dintre ele este divizibilă cu.

Să arătăm acum că un prim gaussian nu poate împărți două naturale primare diferite. Într-adevăr, deși diferite naturale simple divizibile cu. Deoarece GCD () \u003d 1, apoi, prin teorema privind reprezentarea GCD în numere întregi, există și - numere întregi astfel încât. Prin urmare, ceea ce este contrar simplității.

Astfel, descompunând fiecare natură simplă în Gauss simplu, iterăm peste toate Gauss-urile simple și fără repetări.

Următoarea teoremă arată că fiecare număr natural simplu „se dovedește” a fi cel mult două simple Gaussiene.

Teorema 9.

Dacă un natural primar este descompus într-un produs de trei Gauss prime, atunci cel puțin unul dintre factori este inversabil.

Dovezi.

Lăsa - simplu natural astfel încât ... Trecând la norme, obținem:

.

Din această egalitate în numere naturale rezultă că cel puțin una dintre norme este egală cu 1. Prin urmare, cel puțin unul dintre numere - reversibil.

Lema 10.

Dacă un număr gaussian este divizibil cu un natural prim, atunci și.

Dovezi.

Lăsa , adică ... Atunci , , adică , .

Ch.T.D.

Lema 11.

Pentru un număr natural prim al formei, există un astfel de natural încât.

Dovezi.

Teorema lui Wilson afirmă că un număr întreg este prim dacă și numai dacă. Dar, de aici. Să extindem și să transformăm factorialul:

Din aceasta obținem asta, adică ...

Deci avem asta Unde = .

Acum suntem gata să descriem toate numerele prime gaussiene.

Teorema 12.

Toate Gauss-urile simple pot fi împărțite în trei grupe:

unu). Speciile naturale simple sunt simple gaussiene;

2). Doi este aliat cu pătratul unui număr prim Gauss;

3). Speciile naturale simple sunt descompuse în produsul a două simple conjugate gaussiene.

Dovezi.

1). Să presupunem că un simplu natural drăguț nu este simplu gaussian. Atunci , și și ... Să trecem la norme: ... Ținând cont de aceste inegalități, obținem , adică - suma pătratelor a două numere întregi. Dar suma pătratelor întregi nu poate da un rest de 3 atunci când este împărțit la 4.

2). observa asta

.

Număr - simplu gaussian, deoarece altfel cei doi s-ar descompune în trei factori ireversibili, ceea ce contrazice teorema 9.

3). Lasă aspectul natural simplu , apoi prin Lema 11 există un număr întreg astfel încât ... Lăsa - simplu gaussian. La fel de , apoi prin lema lui Euclid cel puțin unul dintre factori este împărțit. Lăsa , apoi există un număr gaussian astfel încât ... Echivalând coeficienții părților imaginare, obținem acest lucru ... Prin urmare, , care contrazice presupunerea noastră de simplitate ... Mijloace - Gauss compozit, reprezentat ca produsul a două Gauss conjugate simple.

Ch.T.D.

Afirmație.

Un conjugat gaussian la un prim este el însuși prim.

Dovezi.

Fie un număr prim Gaussian. Presupunând că este compozit, adică. Atunci luați în considerare conjugatul:, adică prezentat ca un produs al doi factori ireversibili, care nu pot fi.

Afirmație.

Un număr gaussian a cărui normă este un număr natural prim este un număr gaussian prim.

Dovezi.

Atunci să fie un număr compus. Luați în considerare normele.

Adică, am obținut că norma este un număr compus, dar prin condiții este un număr prim. Prin urmare, presupunerea noastră nu este adevărată și există un număr prim.

Afirmație.

Dacă un număr natural prim nu este un număr gaussian prim, atunci acesta poate fi reprezentat ca suma a două pătrate.

Dovezi.

Fie un număr natural prim și să nu fie un Gauss prim. Atunci. Deoarece numerele sunt egale, normele lor sunt, de asemenea, egale. Adică de aici ajungem.

Există două cazuri posibile:

unu). , adică prezentat ca suma a două pătrate.

2). , adică înseamnă un număr reversibil, care nu poate fi, atunci acest caz nu ne satisface.

CAPITOLUL 3. APLICAREA NUMERELOR GAUSS.

Afirmație.

Produsul numerelor reprezentabile ca suma a două pătrate este de asemenea reprezentabil ca suma a două pătrate.

Dovezi.

Vom demonstra acest fapt în două moduri, folosind numere gaussiene și fără a folosi numere gaussiene.

1. Fie numere naturale reprezentabile ca o sumă de două pătrate. Apoi, și. Luați în considerare produsul, adică reprezentat ca produsul a două numere gaussiene conjugate, care este reprezentat ca suma a două pătrate de numere naturale.

2. Să,. Atunci

Afirmație.

Dacă, unde este un tip natural simplu, atunci și.

Dovezi.

Rezultă din condiția că în acest caz este și un simplu gaussian. Apoi, după lema lui Euclid, unul dintre factori este divizibil. Permiteți, apoi, prin Lema 10 să avem asta și.

Să descriem forma generală a numerelor naturale reprezentabile ca suma a două pătrate.

Teorema de Crăciun a lui Fermat sau teorema lui Fermat-- Euler.

Un număr natural diferit de zero poate fi reprezentat ca o sumă de două pătrate dacă și numai dacă în descompunerea canonică toți factorii primi ai formei sunt incluse în grade uniforme.

Dovezi.

Rețineți că 2 și toate numerele prime ale formei sunt reprezentabile ca suma a două pătrate. Fie ca în descompunerea canonică a numărului să existe factori primi ai formei incluse într-un grad impar. Punem între paranteze toți factorii care pot fi reprezentați ca suma a două pătrate, apoi rămân factorii formei și toți în primul grad. Să arătăm că produsul acestor factori nu poate fi reprezentat ca o sumă de două pătrate. Într-adevăr, dacă presupunem că, atunci avem că unul dintre factori trebuie să împartă sau, dar dacă împarte unul dintre aceste numere gaussiene, atunci trebuie să îl împartă și pe celălalt ca conjugat. Adică și, dar apoi trebuie să fie în gradul al doilea și trebuie să fie în primul. În consecință, produsul oricărui număr de factori primi ai formei gradului I nu poate fi reprezentat ca o sumă de două pătrate. Aceasta înseamnă că ipoteza noastră nu este adevărată și toți factorii primi ai formei în expansiunea canonică a unui număr apar în puteri pare.

Obiectivul 1.

Să vedem aplicarea acestei teorii prin exemplul rezolvării ecuației diafantine.

Rezolvați în număr întreg.

Rețineți că partea dreaptă este reprezentabilă ca produs al numerelor gaussiene conjugate.

Adică Să fie divizibil cu un număr gaussian prim, iar conjugatul este împărțit și el, adică. Dacă luăm în considerare diferența acestor numere gaussiene, care ar trebui să fie divizibile cu, atunci obținem ceea ce ar trebui să împartă 4. Dar, adică aliat.

Toți factorii primi din expansiunea unui număr sunt incluși în puteri ale unui multiplu de trei și factorii formei, în puteri ale unui multiplu de șase, deoarece un număr gaussian prim se obține din expansiunea în gaussianul prim 2, dar, prin urmare. De câte ori apare în factorizarea primă a unui număr, același număr de ori apare în factorizarea primă a unui număr. Datorită faptului că este divizibil cu dacă și numai dacă este divizibil cu. Dar aliat cu. Adică vor fi distribuite în mod egal, ceea ce înseamnă că vor fi incluse în expansiunile acestor numere în puteri ale unui multiplu de trei. Toți ceilalți factori primi incluși în extinderea unui număr vor apărea numai în extinderea unui număr sau a unui număr. Aceasta înseamnă că, în descompunerea în factori gaussieni simpli a unui număr, toți factorii vor fi în puteri ale unui multiplu de trei. Prin urmare, numărul este un cub. Astfel, avem asta. Prin urmare, obținem că, adică ar trebui să fie un divizor al lui 2. Prin urmare, sau. De unde obținem patru opțiuni care ne satisfac.

unu. , . Unde găsim asta ,.

2.,. Prin urmare ,.

3.,. Prin urmare ,.

4.,. Prin urmare ,.

Obiectivul 2.

Rezolvați în număr întreg.

Să reprezentăm partea stângă ca produsul a două numere gaussiene, adică. Să descompunem fiecare dintre numere în factori gaussieni simpli. Printre cele simple vor fi cele care se află în descompunere și. Să grupăm toți acești factori și să denotăm produsul rezultat. Apoi, numai acei factori vor rămâne în expansiune care nu sunt în expansiune. Toți factorii Gauss simpli incluși în expansiune sunt incluși într-o putere uniformă. Cei care nu sunt incluși în vor fi prezenți fie numai în sau în. Astfel, numărul este un pătrat. Adică Echivalând părțile reale și imaginare, obținem asta.

Obiectivul 3.

Numărul de reprezentări ale unui număr natural ca suma a două pătrate.

Problema este echivalentă cu problema reprezentării unui număr natural dat ca normă a unui număr gaussian. Fie un număr gaussian a cărui normă este. Să ne descompunem în factori naturali primari.

Unde sunt numerele prime ale formei și sunt numerele prime ale formei. Apoi, pentru a fi reprezentabil ca suma a două pătrate, este necesar ca toate să fie egale. Decompunem numărul în factori gaussieni simpli, atunci

unde sunt primele numere gaussiene care trebuie descompuse.

Compararea normei cu numărul conduce la următoarele rapoarte, care sunt necesare și suficiente pentru:

Numărul de vizualizări este numărat din numărul total de opțiuni de selectare a indicatorului. Există posibilitatea unor indicatori, deoarece numărul poate fi împărțit în doi termeni non-negativi în felul următor:

Pentru o pereche de indicatori, există o oportunitate și așa mai departe. Combinând în toate modurile posibile valorile admise pentru indicatori, obținem toate valorile diferite pentru produsul numerelor Gauss simple, cu o normă de formă sau 2. Indicatorii sunt selectați în mod unic. În cele din urmă, reversibilului i se pot acorda patru semnificații: Astfel, pentru un număr există toate posibilitățile și, prin urmare, numărul sub forma normei unui număr gaussian, adică în formă, poate fi reprezentat în moduri.

În acest calcul, toate soluțiile ecuației sunt considerate diferite. Cu toate acestea, unele soluții pot fi privite ca definind aceeași reprezentare cu două sume pătrate. Deci, dacă - soluții la ecuație, puteți specifica încă șapte soluții care determină aceeași reprezentare a numărului ca suma a două pătrate:.

Evident, din opt soluții care corespund unei reprezentări, doar patru diferite pot rămâne dacă și numai dacă sau, sau. Astfel de reprezentări sunt posibile dacă un pătrat complet sau un pătrat complet dublat și, în plus, nu poate exista decât o astfel de reprezentare:.

Astfel, avem următoarele formule:

Dacă nu toate sunt egale și

Dacă toate sunt egale.

Concluzie.

În această lucrare, a fost studiată teoria divizibilității în inelul numerelor întregi Gauss, precum și natura numerelor Gauss prime. Aceste întrebări sunt discutate în primele două capitole.

Al treilea capitol are în vedere aplicarea numerelor Gauss la soluția unor probleme clasice bine cunoscute, cum ar fi:

· Întrebarea posibilității de a reprezenta un număr natural ca o sumă de două pătrate;

· Problema găsirii numărului de reprezentări ale unui număr natural ca suma a două pătrate;

· Găsirea soluțiilor generale ale ecuației pitagoreice nedeterminate;

precum și la soluția ecuației Diafantine.

Observ, de asemenea, că lucrarea a fost făcută fără utilizarea literaturii suplimentare.

Documente similare

Proprietățile de divizibilitate ale numerelor întregi din algebră. Caracteristici ale divizării cu rest. Proprietățile de bază ale numerelor prime și compuse. Divizibilitate cu un număr de numere. Concepte și metode de calcul al celui mai mare divizor comun (GCD) și cel mai mic multiplu comun (MCM).

prelegere adăugată la 05/07/2013


Revizuirea formulelor de cuadratură Gauss, definiția acestora, construcții integrale, exemple care descriu clar quadraturile Gauss. Caracteristici ale utilizării unor algoritmi care permit urmărirea progresului soluțiilor la probleme folosind formule gaussiene de cvadratură.

test, adăugat 16.12.2015


Adunarea și multiplicarea numerelor întregi p-adic, definite ca adunare și multiplicare a secvențelor. Inelul de numere întregi p-adic, studiul proprietăților diviziunii lor. Explicarea acestor numere prin introducerea de noi obiecte matematice.

termen de hârtie adăugat 22.06.2015


Conceptul Matrix. Metoda Gauss. Tipuri de matrice. Metoda lui Cramer pentru rezolvarea sistemelor liniare. Acțiuni pe matrice: adunare, multiplicare. Soluția sistemelor de ecuații liniare prin metoda Gauss. Transformări elementare ale sistemelor. Transformări matematice.

prelegere adăugată 06/02/2008


Legea conservării numărului de numere JDC într-o serie naturală de numere ca principiu al feedback-ului numerelor în matematică. Structura numerelor naturale. Proprietăți izomorfe ale seriilor de numere pare și impare. Natura fractală a distribuției numerelor prime.

monografie, adăugată 28.03.2012


Johann Karl Friedrich Gauss este cel mai mare matematician din toate timpurile. Formule gaussiene de interpolare care dau o expresie aproximativă a funcției y \u003d f (x) folosind interpolare. Domenii de aplicare a formulelor Gauss. Principalele dezavantaje ale formulelor de interpolare ale lui Newton.

test, adăugat 12/06/2014


Algoritmul lui Euclid extins, utilizarea acestuia pentru a găsi cel mai mare divizor comun al numerelor naturale prin intermediul modulului. Problema matematică a calendarului. Inele euclidiene - analogi ai numerelor Fibonacci din inelul polinoamelor, proprietățile lor.

rezumat, adăugat 25.09.2009


Vivchennya a puterii numerelor naturale. Numărul infinit de numere prime. Seta lui Eratostene. Precedând teoremele de bază ale aritmeticii. Legea asimptotică a distribuției numerelor prime. Caracteristicile algoritmului după numărul de numere prime pe interval.

termen de hârtie adăugat 27.07.2015


Calculul valorilor numerelor complexe în forme algebrice, trigonometrice și exponențiale. Determină distanța dintre punctele de pe un plan complex. Rezolvarea unei ecuații pe mulțimea numerelor complexe. Metode Cramer, inversă și gaussiană.

test, adăugat 11/12/2012


Baza teoretică a numărului pentru construirea RNS. Teorema diviziunii cu rest. Algoritmul lui Euclid. Teorema restului chinezesc și rolul său în reprezentarea numerelor în RNS. Modele de reprezentare modulară și prelucrare paralelă a informațiilor. Operații modulare.

După cum sa menționat deja, inelul are avantajul față de semiremiterea că ecuația este soluționabilă în mod unic în inel a + x \u003d b pentru orice element inelar a și B. Aceasta, în special, distinge inelul numerelor întregi de semiremiterea numerelor naturale. Abilitatea de a rezolva întotdeauna fără echivoc o astfel de ecuație vă permite să definiți o nouă operație în inel - scădere.

3.1.5. Definiție. Să se dea inelul (LA, + ,?). Pentru orice a, beK defini b-a ca soluție la ecuație a + x \u003d b.Afişa KhK -» LAcare se potrivește cu orice pereche ordonată de elemente (B\u003e a) element b-ase numește scădereși element b-a numit diferență elemente baa.

Prin verificarea directă ne asigurăm că elementul B + (-a)este o soluție la ecuație a + x \u003d b, și din unicitatea soluției pe care o obținem b-a \u003d b + (-a).

Folosind conceptul de diferență dintre elementele unui inel, stabilim încă o caracterizare a sistemului de numere întregi, care poate fi luată și ca definiție a acestuia.

3.1.6. Teorema. Sistem (K, +, ) este un sistem de numere întregi dacă și numai dacă, când este un inel care conține o semiremâncare de numere naturale (N 9 +, ), în plus, orice element al lui K poate fi reprezentat ca diferențănaturalnumere, adică pentru orice a e Kexistălunip e N astfel încât a = t -n.

Dovezi. (\u003d\u003e) Fie K, +,) un sistem de numere întregi mai K. Să dovedim că elementul a reprezintă în formă

diferența numerelor naturale. Prin condiția 2) din definiția 3.1.2, K \u003d Z\u003d N ^ j (0) kj-N. EcnuaeN, atunci a \u003d(A+ 1) -1; dacă d g (0), atunci a \u003d n-n, Unde n e N; dacă un e -Natunci a = -P și a = 1 - (P +1).

(К, +,) conține o semiremâncare a numerelor naturale (N, +,) și orice element din LA reprezintă în formă

diferența numerelor naturale. Să dovedim asta LA \u003d; Vu (0) u-; V \u003d Z. Prin ipoteză, pentru orice aeK există t, n eN astfel încât a \u003d m-n.Dar pentru numere naturale t și p una și numai una dintre relații deține: fie t = p + la cu cineva k e Nsau t = psau n \u003d m + 1 pentru unii / e N... În primul caz, obținem a \u003d m-n \u003d k e N, in secunda a \u003d m - n \u003d 0 € (0), iar în al treilea a = m - n \u003d -le -N. ?

Exerciții

• 1. Dați exemple de semirings în care o ecuație a formei a + .v \u003d h nu întotdeauna rezolvabile.
• 2. Dovediți că în ring ecuația a + x - b are o singură soluție.
• 3. Dați exemple de inele: comutativ și necomutativ, cu sau fără unitate, finit și infinit.
• 4. Adăugarea în orice inel are proprietatea contractilității (adică din a + c \u003d b + c ar trebui să a-b) 1 Și multiplicarea (este întotdeauna din ac \u003d bcși din* 0 urmează a \u003d by\u003e
• 5. Demonstrați că imaginea izomorfă a inelului numerelor întregi este inelul întregilor.
• 6. Se spune că inelul (LA, +,) cu unitate e are caracteristica 0 dacă există p € Л "inegalitatea nu * 0. Demonstrați că într-un inel cu caracteristica 0 subsetul ( nu | «E Z J este un subinel izomorf al inelului numerelor întregi. Din aceasta obținem o altă definiție scurtă a sistemului de numere întregi: inel de numere întregi ? acesta este inelul caracteristic minim 0.
• 7. Să se dea un inel (LA, +,\u003e cu unul e. Element aeK numit reversibildacă există un element invers pentru acesta un ~ " astfel încât a a ~ [\u003d a "a \u003d e. Dovediți că setul de elemente inversabile ale inelului este închis sub multiplicare, aparține lui 1 și pentru fiecare element al acestui set există un element invers în el. Datorită acestor proprietăți, acest set este numit grup de inele multiplicative și notat LA*.Găsiți grupuri multiplicative de inele (Z, +,\u003e și (? Л +,).
• 8. Demonstrați că intersecția a două subringuri este un subring. Găsiți intersecțiile subinelelor 2Z și 3Z, 6Z și 15Z, kZ și mZ.
• 9. Subringerea // unui inel comutativ (LA, +,\u003e se numește ideal, dacă poate rezista înmulțirii cu orice element al inelului, adică dacă există h e H

și la eK lucrări kh și hk aparține H... Dovediți că pentru orice elemente a, a2 * ... "e LH, set H = {ka + k2 (i2 + - + k n a n) este inelul ideal (LA, +,), care este notat cu (q, a 2 "-" i n\u003e (citiți: idealul generat de elementele A |, a 2, a"). Cand ;; \u003d 1 un astfel de ideal se numește principalul și este notat cu (a,). Arata asta mZ este idealul principal al inelului numerelor întregi (Z, +,\u003e.

10. Demonstrați că fiecare ideal este principal în inelul numerelor întregi. (Nota e. Dacă H este un ideal nenul al inelului (Z, +,\u003e, atunci H = (t)Unde t este cel mai mic număr natural din Ya.)

Def. Un inel K se numește inel de numere întregi dacă grupul aditiv al inelului K este un grup aditiv de numere întregi și înmulțirea în inelul K este comutativă și continuă înmulțirea numerelor naturale (în sistemul N al numerelor naturale).

T1.Lăsa - un grup aditiv de numere întregi, există o multiplicare naturală în el și 1 este o unitate a unui sistem de N numere naturale. Atunci algebra Z \u003d este un inel de numere întregi.

Doc. Să arătăm că algebra Z este un inel comutativ. Prin ipoteză, algebră - un grup aditiv al unui inel - există un grup abelian, ca grup aditiv de numere întregi.

Fie a, b, c elemente arbitrare ale mulțimii Z. Ele pot fi reprezentate ca bucuria numerelor naturale. Fie (1) a \u003d m-n, b \u003d p-q, c \u003d r-s (m, n, p, q, r, s N).

Înmulțirea naturală în Z este definită prin formula (2) a * b \u003d (m-n) * (p-q) \u003d (mp + nq) - (mq + np).

Înmulțirea naturală este comutativă, deoarece b * a \u003d (p-q) * (m-n) \u003d (pm + qn) - (pn + qm), iar adunarea și multiplicarea numerelor naturale sunt comutative.

Înmulțirea naturală este asociativă. Într-adevăr, în virtutea (1) și (2), avem:

a * (b * c) \u003d (mn) [(pq) (rs)] \u003d (mn) [(pr + qs) - (ps-qr)] \u003d (mpr + mqs + nps + nqr) - (mps + mqr + npr + nqs);

(a * b) * c \u003d [(mn) (pq)] (rs) \u003d [(mp + nq) - (mq + np)] (rs) \u003d (mpr + nqr + mqs + nps) - (mps + nqs + mqr + npr).

Prin urmare, datorită comutativității adăugării numerelor naturale, a * (b * c) \u003d (a * b) * c.

Elementul 1 este neutru în ceea ce privește multiplicarea naturală. Într-adevăr, pentru orice a din 2 avem un * 1 \u003d (m-n) (1-0) \u003d m * 1-n * 1 \u003d m-n \u003d a.

De aici și algebra este un monoid comutativ.

Def. Dacă pentru numerele întregi a și b există un număr natural k astfel încât a + k \u003d b și k 0, atunci se spune că „a este mai mic decât sau b” și scriu un b dacă și numai dacă b

T2. Fie Z \u003d inel de numere întregi. Atunci: 1) pentru orice număr întreg a și b, este îndeplinită una și numai una dintre cele trei condiții: a

2) pentru orice număr întreg a, este îndeplinită una și una dintre cele trei condiții: a<0, a=0, 0

3) atitudine< монотонно относительно сложения, т.е. для любых целых a, bи c

a

4) atitudine<монотонно относительно умножения, т.е. для любых целых a, bи с

în cazul în care un 0, apoi ac

T. pe diviziune cu rest. Fie a un număr întreg și b un număr natural diferit de zero. A împărți numărul a și b cu restul înseamnă a-l reprezenta ca a \u003d bq + r, unde 0 r

Împărțirea cu restul este întotdeauna fezabilă, iar coeficientul incomplet și restul sunt determinate în mod unic de dividend și de divizor.

T. Pentru orice număr întreg a, b pentru b\u003e 0, există o pereche unică de numere întregi q și r care îndeplinesc condițiile: (1) a \u003d bq + r și 0 r

Doc. Să dovedim că există cel puțin o pereche de numere q, r condiții satisfăcătoare (1). În primul rând, luați în considerare cazul când a este un număr natural. Fixăm b și dovedim prin inducție pe a că (2) există o pereche de numere întregi q, r satisfăcătoare (1).

Pentru a \u003d 0, afirmația (2) este adevărată, deoarece 0 \u003d b * 0 + 0. Să presupunem că (2) este adevărat pentru a \u003d n, adică există numere întregi q, r astfel încât (3) n \u003d bq + r și 0 r

Cel mai mare divizor comun. Un număr întreg c se numește divizor comun al întregilor a 1, ..., a n dacă există un divizor al fiecăruia dintre aceste numere.

Def. Cel mai mare divizor comun al întregilor a 1, ..., a n este divizorul lor comun, care este divizibil cu orice divizor comun al acestor numere.

Numerele întregi 1, ..., a n se numesc coprimă dacă cel mai mare divizor comun al lor este egal cu unul.

MCD al numerelor a 1, ..., a n este notat cu mcd (a 1, ..., a n), mcd pozitiv al acestor numere este notat cu nod (a 1, ..., a n).

Corolar 1. Dacă d este GCD al întregilor a 1, ..., a n, atunci mulțimea tuturor divizorilor comuni a acestor numere coincide cu mulțimea tuturor divizorilor lui d.

Următorul 2. Orice două GCD de numere întregi a 1, ..., a n sunt asociate, adică poate diferi numai în semn. Dacă d este GCD al numerelor a 1, ..., a n, atunci numărul (-d) este și GCD al acestor numere.

Algoritmul lui Euclid. O modalitate de a găsi gcd-ul a două numere întregi.

Sentință. Fie a și b două numere întregi, b ≠ 0 și (1) a \u003d bq + r (0 r<|b|).

Atunci nodul (a, b) \u003d nodul (b, r).

Doc. Din (1) rezultă că orice divizor comun al numerelor a și b este divizor al numărului r \u003d a-bq și orice divizor comun al numerelor b și r este divizor al numărului a. Prin urmare, mulțimea tuturor divizorilor comuni ai numerelor a și b coincide cu mulțimea tuturor divizorilor comuni ai numerelor b și r. Rezultă că divizorul comun pozitiv al numerelor a și b coincide cu divizorul comun pozitiv al numerelor b și r, adică nod (a, b) \u003d nod (b, r).

Dacă b | a, unde b≥1, atunci evident nodul (a, b) \u003d b. Pentru a găsi nodurile a două numere întregi, se folosește o metodă de „diviziune secvențială” numită algoritmul lui Euclid. Esența acestei metode este că, în virtutea propoziției dovedite mai sus, problema găsirii nodurilor numerelor a și b se reduce la problema mai simplă a găsirii nodurilor numerelor b și r, unde 0≤r<|b|. Если r=0, то нод(a,b)=b. Если же r≠0, то рассуждения повторяем, отправляясь от bи r. В результате получим цепочку равенств.

Dacă a \u003d 0, atunci b \u003d 0 * c \u003d 0 și teorema este adevărată. Dacă a ≠ 0, atunci din (1) urmează cd \u003d 1. Prin teoremă, rezultă din egalitatea cd \u003d 1 că d \u003d 1. Mai mult, a \u003d bd; deci a \u003d b. Dovedit.

Cel mai mic multiplu comun. Un întreg este numit multiplu comun de numere întregi a 1, ..., a n, dacă este divizibil cu fiecare dintre aceste numere.

Def. Cel mai mic multiplu comun al întregilor a 1, ..., a n este multiplul lor comun care împarte orice multiplu comun al acestor numere. General: LCM (a 1, ..., a n). Cel mai mic multiplu pozitiv comun al numerelor a 1, ..., a n, altul decât zero, este prin.

Sl-e. Orice două numere întregi multiple mai puțin comune a 1, ..., a n sunt asociate în Z, adică poate diferi numai în semn. Dacă numărul m este un LCM (a 1, ..., a n), atunci numărul (-m) este un LCM (a 1, ..., a n).

Sl-e. Dacă m este cel mai mic multiplu comun al numerelor a 1, ..., a n, atunci mulțimea tuturor multiplilor comuni ai acestor numere coincide cu mulțimea tuturor multiplilor lui m.

În diferite ramuri ale matematicii, precum și în aplicarea matematicii în tehnologie, apare adesea o situație când operațiile algebrice sunt efectuate nu pe numere, ci pe obiecte de altă natură. De exemplu, adunarea matricială, înmulțirea matricei, adunarea vectorială, operații pe polinoame, operații pe transformări liniare etc.

Definiție 1. Un inel este un set de obiecte matematice în care sunt definite două acțiuni - „adunare” și „multiplicare”, care compară perechile ordonate de elemente cu „suma” și „produsul” lor, care sunt elemente ale aceluiași set. Aceste acțiuni îndeplinesc următoarele cerințe:

1. a + b \u003d b + a (comutabilitatea adiției).

2. (a + b) + c \u003d a + (b + c) (asociativitatea adaosului).

3. Există un element zero 0 astfel încât a+0=a, pentru orice a.

4. Pentru oricine a există un element opus - a astfel încât a+(−a)=0.

5. (a + b) c \u003d ac + bc (distributiv stâng).

5". c (a + b) \u003d ca + cb (distributivitate corectă).

Cerințele 2, 3, 4 înseamnă că setul de obiecte matematice formează un grup și împreună cu itemul 1 avem de-a face cu un grup comutativ (abelian) în ceea ce privește adunarea.

După cum se poate vedea din definiție, în definiția generală a unui inel, nu se impun restricții multiplicărilor, cu excepția distributivității cu adunare. Cu toate acestea, în diferite situații, devine necesar să se ia în considerare inelele cu cerințe suplimentare.

6. (ab) c \u003d a (bc)(asociativitatea multiplicării).

7. ab \u003d ba (comutativitatea înmulțirii).

8. Existența unui singur element 1, adică astfel de a1 \u003d 1 a \u003d a, pentru orice element a.

9. Pentru orice element al elementului a inversul există a −1 astfel încât aa −1 =a −1 a \u003d1.

În diferite inele 6, 7, 8, 9 pot fi efectuate atât separat, cât și în diverse combinații.

Un inel se numește asociativ dacă condiția 6 este îndeplinită, comutativ dacă condiția 7 este îndeplinită, comutativ și asociativ dacă condițiile 6 și 7. Un inel se numește inel cu unitate dacă condiția 8 este îndeplinită.

Exemple de inele:

1. O mulțime de matrice pătrate.

Într-adevăr. Îndeplinirea punctelor 1-5, 5 "este evidentă. Elementul zero este matricea zero. În plus, se realizează punctul 6 (asociativitatea înmulțirii), punctul 8 (matricea de identitate este elementul unitate). Punctele 7 și 9 nu sunt realizate deoarece, în cazul general, multiplicarea matricele pătrate nu sunt comutative, iar inversul unei matrici pătrate nu există întotdeauna.

2. Mulțimea tuturor numerelor complexe.

3. Ansamblul tuturor numerelor reale.

4. Ansamblul tuturor numerelor raționale.

5. Ansamblul tuturor numerelor întregi.

Definiție 2. Orice sistem de numere care conține suma, diferența și produsul oricăror două dintre numerele sale se numește inelul numeric.

Exemplele 2-5 sunt inele numerice. Inelele numerice sunt, de asemenea, toate numerele pare, precum și toate numerele întregi divizibile fără rest cu un număr natural n. Rețineți că setul de numere impare nu este un inel de atunci suma a două numere impare este un număr par.

Definiție:

Suma și produsul numerelor întregi p-adic determinate de secvențe și se numesc numere întregi p-adic determinate de secvențe și, respectiv.

Pentru a fi siguri de corectitudinea acestei definiții, trebuie să dovedim că secvențele și să definească unele numere întregi - numere adice și că aceste numere depind doar de alegerea secvențelor definitoare. Ambele proprietăți sunt dovedite printr-o verificare evidentă.

Evident, având în vedere definiția acțiunilor asupra numerelor întregi - numere adice, ele formează un inel comunicativ care conține inelul întregilor raționali ca subinel.

Divizibilitatea numerelor întregi - adic este definită în același mod ca în orice alt inel: dacă există un număr întreg - adic astfel încât

Pentru a studia proprietățile divizării, este important să știm care sunt acele numere întregi - numere adice pentru care există numere întregi inverse - numere adice. Astfel de numere se numesc divizoare sau unele. Le vom numi - unități adic.

Teorema 1:

Un număr întreg este un număr adic definit de o secvență dacă și numai dacă este o unitate când.

Dovezi:

Să fie o unitate, atunci există un număr întreg - adic astfel încât. Dacă este definită de o secvență, atunci condiția înseamnă că. În special și, prin urmare, invers, să se desprindă cu ușurință din condiția că, așa. Prin urmare, pentru orice n, se poate găsi astfel încât comparația să fie validă. De atunci și atunci. Aceasta înseamnă că secvența definește un număr întreg - număr adic. Comparațiile arată că, adică care este unitatea.

Din teorema demonstrată rezultă că întregul este un număr rațional. Considerat ca un element al unui inel dacă și numai dacă este o unitate când. Dacă această condiție este îndeplinită, atunci este conținută în. Prin urmare, rezultă că orice număr întreg rațional b este divizibil cu un astfel de in, adică că orice număr rațional al formei b / a, în care a și b sunt numere întregi și, este conținut în Numere raționale ale acestei forme, se numesc -integer. Ele formează un inel într-un mod evident. Rezultatul pe care l-am obținut acum poate fi formulat după cum urmează:

Corolar:

Inelul de numere întregi adic conține un subinel izomorf la inelul de numere întregi raționale.

Numere fracționale p-adic

Definiție:

O fracțiune din formă, k\u003e \u003d 0 definește un număr fracțional p -adic sau doar un număr p -adic. Două fracții și, definesc același număr p -adic, dacă este.

Colecția tuturor numerelor p -adic este notată cu p. Este ușor să verificați dacă operațiile de adunare și multiplicare continuă de la p la p și transformă p într-un câmp.

2.9. Teorema. Orice număr p -adic este reprezentat în mod unic în formă

unde m este un număr întreg și este unitatea inelului p.

2.10. Teorema. Orice număr p -adic diferit de zero este reprezentat în mod unic în formă

Proprietăți: Câmpul numerelor p-adic conține câmpul numerelor raționale. Este ușor să se demonstreze că orice număr întreg p-adic, care nu este multiplu, este reversibil în inelul p, iar un multiplu al lui p este scris în mod unic în formă, unde x nu este multiplu al lui p și, prin urmare, este reversibil, dar. Prin urmare, orice element diferit de zero al câmpului p poate fi scris în formă, unde x nu este un multiplu al lui p, ci orice m; dacă m este negativ, atunci, pe baza reprezentării numerelor întregi p-adic ca o secvență de cifre în sistemul numeric p-ary, putem scrie un astfel de număr p-adic ca o secvență, adică să îl reprezentăm formal ca o fracție p-adic cu o finită numărul de zecimale și, eventual, un număr infinit de zecimale diferite de zero. Împărțirea unor astfel de numere se poate face, de asemenea, în mod similar cu regula „școlii”, dar începând cu cifrele cele mai mici, nu cele mai mari ale numărului.