2) [] × [ ] = [].

Dovezi: Aplicați definiția echivalenței perechii:

@ ó c + d 1 \u003d d + c 1 (2).

Adăugând egalitățile (1) și (2) termen cu termen, obținem:

a + b 1 + c + d 1 \u003d b + a 1 + d + c 1.

Toți termenii din ultima egalitate sunt numere naturale, deci avem dreptul să aplicăm legile comutative și asociative ale adunării, ceea ce ne conduce la egalitate

(a + c) + (b 1 + d 1) \u003d (b + d) + (a 1 + c 1),

Pentru a demonstra corectitudinea înmulțirii, înmulțim egalitatea (1) cu c, obținem:

ac + b 1 c \u003d bc + a 1 c.

Apoi rescriem egalitatea (1) ca b + a 1 \u003d a + b 1 și înmulțim cu d:

bd + a 1 d \u003d ad + b 1 d.

Să adăugăm egalitățile rezultate termen cu termen:

ac + bd + a 1 d + b 1 c \u003d bc + ad + b 1 d + a 1 c,

Apoi vom face aceeași procedură cu egalitate (2), doar că o vom înmulți cu 1 și b 1. Primim:

a 1 c + a 1 d 1 \u003d a 1 d + a 1 c 1

b 1 d + b 1 c 1 \u003d b 1 c + b 1 d 1,

a 1 c + b 1 d + b 1 c 1 + a 1 d 1 \u003d a 1 d + b 1 d + b 1 c 1 + a 1 c 1 ó

Astfel, este dovedită corectitudinea definițiilor introduse.

Mai mult, toate proprietățile inelelor sunt verificate direct: legea asociativă a adunării și multiplicării pentru clase de perechi, legea comutativă a adunării și legile distributive. Să dăm ca exemplu dovada legii asociative a adunării:

Deoarece toate componentele perechilor sunt numere naturale

= <(a + c), (b + d)> + = ( + ) +.

Restul legilor sunt verificate în mod similar (rețineți că o transformare separată a părților stângi și drepte ale egalității solicitate în aceeași formă poate fi un truc util).

De asemenea, este necesar să se demonstreze prezența unui element de adiție neutru. Poate fi o clasă de perechi de forma [<с, с>]. Într-adevăr,

a + c + b \u003d b + c + a (valabil pentru orice numere naturale).

În plus, pentru fiecare clasă de perechi [ ] există un opus acestuia. Această clasă va fi clasa [ ]. Într-adevăr,

Se poate dovedi, de asemenea, că setul introdus de clase de perechi este un inel comutativ cu unitate (clasa de perechi [ ]), și că toate condițiile pentru definițiile operațiilor de adunare și multiplicare pentru numerele naturale sunt păstrate pentru imaginile lor în acest model. În special, este rezonabil să se introducă următorul element pentru o pereche naturală conform regulii:

Să verificăm, folosind această regulă, validitatea condițiilor C1 și C2 (din definiția adunării numerelor naturale). Condiția C1 (a + 1 \u003d a /) în acest caz va fi rescrisă ca:

a + c / + b \u003d a + b + 1 + c \u003d b + c + a +1 \u003d b + c + a /

(încă o dată, ne reamintim că toate componentele sunt naturale).

Starea C2 va arăta ca:

[] + [] / = ([] + []) / .

Transformăm separat părțile stângi și drepte ale acestei egalități:

Astfel, vedem că laturile stânga și dreapta sunt egale, ceea ce înseamnă că condiția C2 este adevărată. Dovada condiției U1 este furnizată cititorului. condiția Y2 este o consecință a legii distributive.

Deci, a fost construit modelul inelului numerelor întregi și, prin urmare, teoria axiomatică a numerelor întregi este consecventă, dacă teoria axiomatică a numerelor naturale este consecventă.

Proprietăți de funcționare întregi:

2) a × (–b) \u003d –a × b \u003d - (ab)

3) - (- a) \u003d a

4) (–a) × (–b) \u003d ab

5) a × (–1) \u003d - a

6) a - b \u003d - b + a \u003d - (b - a)

7) - a - b \u003d - (a + b)

8) (a - b) × c \u003d ac - bc

9) (a - b) - c \u003d a - (b + c)

10) a - (b - c) \u003d a - b + c.

Dovezile tuturor proprietăților repetă dovezile proprietăților corespunzătoare pentru inele.

1) a + a × 0 \u003d a × 1 + a × 0 \u003d a × (1 + 0) \u003d a × 1 \u003d a, adică a × 0 este un element de adiție neutru.

2) a × (–b) + ab \u003d a (–b + b) \u003d a × 0 \u003d 0, adică elementul a × (–b) este opus elementului a × b.

3) (- a) + a \u003d 0 (prin definiția elementului opus). În mod similar (- a) + (- (- a)) \u003d 0. Echivalând laturile din stânga egalităților și aplicând legea de anulare, obținem - (- a) \u003d a.

4) (–a) × (–b) \u003d - (a × (–b)) \u003d - (- (a × b)) \u003d ab.

5) a × (–1) + a \u003d a × (–1) + a × 1 \u003d a × (–1 + 1) \u003d a × 0 \u003d 0

a × (–1) + a \u003d 0

a × (–1) \u003d –а.

6) Prin definiție, diferența a - b este un număr x astfel încât a \u003d x + b. Adăugând la stânga și la dreapta egalității –b în stânga și folosind legea comutativă, obținem prima egalitate.

- b + a + b - a \u003d –b + b + a - a \u003d 0 + 0 \u003d 0, ceea ce dovedește a doua egalitate.

7) - a - b \u003d - 1 × a - 1 × b \u003d –1 × (a + b) \u003d - (a + b).

8) (a - b) × c \u003d (a + (- 1) × b) × c \u003d ac + (- 1) × bc \u003d ac - bc

9) (a - b) - c \u003d x,

a - b \u003d x + c,

a - (b + c) \u003d x, adică

(a - b) - c \u003d a - (b + c).

10) a - (b - c) \u003d a + (- 1) × (b - c) \u003d a + (- 1 × b) + (–1) × (- c) \u003d a - 1 × b + 1 × c \u003d \u003d a - b + c.

Sarcini de auto-ajutor

Nr. 2.1. În coloana din dreapta a tabelului, găsiți perechile echivalente cu cele afișate în coloana din stânga a tabelului.

Pentru fiecare pereche, indicați opusul acesteia.

Nr. 2.2. calculati

și) [<1, 5>] + [ <3, 2>]; b) [<3, 8>] + [<4, 7>];

în) [<7, 4>] – [<8, 3>]; d) [<1, 5>] – [ <3, 2>];

e) [<1, 5>] × [ <2, 2>]; f) [<2, 10>]× [<10, 2>].

Nr. 2.3. Pentru modelul numerelor întregi descris în această secțiune, verificați legea comutativă a adunării, legile asociative și comutative ale multiplicării și legile distributive.

Definiție:

Suma și produsul numerelor întregi p-adic determinate de secvențe și se numesc numere întregi p-adic determinate de secvențe și, respectiv.

Pentru a fi siguri de corectitudinea acestei definiții, trebuie să dovedim că secvențele și definirea unor numere întregi - numere adice și că aceste numere depind numai de alegerea secvențelor definitorii. Ambele proprietăți sunt dovedite printr-o verificare evidentă.

Evident, având în vedere definiția acțiunilor asupra numerelor întregi - numere adice, ele formează un inel comunicativ care conține inelul întregilor raționali ca subinel.

Divizibilitatea numerelor întregi - adic este determinată în același mod ca în orice alt inel: dacă există un număr întreg - adic astfel încât

Pentru a studia proprietățile divizării, este important să știm care sunt acele numere întregi - numere adice pentru care există numere întregi inverse - numere adice. Astfel de numere se numesc divizoare sau unele. Le vom numi - unități adic.

Teorema 1:

Un număr întreg este un număr adic definit de o secvență dacă și numai dacă este o unitate când.

Dovezi:

Să fie o unitate, atunci există un număr întreg - adic astfel încât. Dacă este definită de o secvență, atunci condiția înseamnă că. În special și, prin urmare, invers, lăsați-l să rezulte cu ușurință din condiția care, astfel încât. Prin urmare, pentru orice n, se poate găsi astfel încât comparația să fie validă. De atunci și atunci. Aceasta înseamnă că secvența definește un număr întreg - număr adic. Comparațiile arată că, adică care este unitatea.

Din teorema demonstrată rezultă că un întreg rațional. Considerat ca un element inelar dacă și numai dacă este o unitate când. Dacă această condiție este îndeplinită, atunci este conținută în. Aceasta implică faptul că orice număr întreg rațional b este divizibil cu un astfel de in, adică că orice număr rațional al formei b / a, în care a și b sunt numere întregi și, este conținut în Numere raționale ale acestei forme, se numesc -integer. Ele formează un inel într-un mod evident. Rezultatul obținut acum poate fi formulat după cum urmează:

Corolar:

Inelul numerelor întregi adic conține un subinel izomorf al inelului numerelor întregi raționale.

Numere fracționale p-adic

Definiție:

O fracțiune din formă, k\u003e \u003d 0 definește un număr fracțional p -adic sau doar un număr p -adic. Două fracții și, definesc același număr p -adic, dacă este.

Colecția tuturor numerelor p -adic este notată cu p. Este ușor să verificați dacă operațiile de adunare și multiplicare continuă de la p la p și transformă p într-un câmp.

2.9. Teorema. Orice număr p -adic este reprezentat în mod unic în formă

unde m este un număr întreg și este unitatea inelului p.

2.10. Teorema. Orice număr p -adic diferit de zero este reprezentat în mod unic în formă

Proprietăți: Câmpul numerelor p-adic conține câmpul numerelor raționale. Nu este dificil să se demonstreze că orice număr întreg p-adic, care nu este multiplu, este reversibil în inelul p, iar un multiplu al lui p este scris unic în formă, unde x nu este multiplu al lui p și, prin urmare, este reversibil, dar. Prin urmare, orice element diferit de zero al câmpului p poate fi scris în formă, unde x nu este un multiplu al lui p, ci orice m; dacă m este negativ, atunci, pe baza reprezentării numerelor întregi p-adic ca o secvență de cifre în sistemul numeric p-ary, putem scrie un astfel de număr p-adic ca o secvență, adică să îl reprezentăm formal ca o fracție p-adic cu o finită numărul de zecimale și, eventual, un număr infinit de zecimale diferite de zero. Împărțirea unor astfel de numere se poate face, de asemenea, în mod similar cu regula „școlii”, dar începând cu cifrele mai mici, nu cele mai mari ale numărului.

Def. Un inel K se numește inel de numere întregi dacă grupul aditiv al inelului K este un grup aditiv de numere întregi și înmulțirea în inelul K este comutativă și continuă înmulțirea numerelor naturale (în sistemul N al numerelor naturale).

T1.Lasa este un grup aditiv de numere întregi, există o multiplicare naturală în el și 1 este o unitate a unui sistem de N numere naturale. Atunci algebra Z \u003d este un inel de numere întregi.

Doc. Să arătăm că algebra Z este un inel comutativ. Prin ipoteză, algebră - un grup aditiv al unui inel - există un grup abelian, ca grup aditiv de numere întregi.

Fie a, b, c elemente arbitrare ale mulțimii Z. Ele pot fi reprezentate ca bucuria numerelor naturale. Fie (1) a \u003d m-n, b \u003d p-q, c \u003d r-s (m, n, p, q, r, s N).

Înmulțirea naturală în Z este definită prin formula (2) a * b \u003d (m-n) * (p-q) \u003d (mp + nq) - (mq + np).

Înmulțirea naturală este comutativă, deoarece b * a \u003d (p-q) * (m-n) \u003d (pm + qn) - (pn + qm), iar adunarea și multiplicarea numerelor naturale sunt comutative.

Înmulțirea naturală este asociativă. Într-adevăr, în virtutea (1) și (2), avem:

a * (b * c) \u003d (mn) [(pq) (rs)] \u003d (mn) [(pr + qs) - (ps-qr)] \u003d (mpr + mqs + nps + nqr) - (mps + mqr + npr + nqs);

(a * b) * c \u003d [(mn) (pq)] (rs) \u003d [(mp + nq) - (mq + np)] (rs) \u003d (mpr + nqr + mqs + nps) - (mps + nqs + mqr + npr).

Prin urmare, datorită comutativității adăugării numerelor naturale, a * (b * c) \u003d (a * b) * c.

Elementul 1 este neutru în ceea ce privește multiplicarea naturală. Într-adevăr, pentru orice a din 2 avem un * 1 \u003d (m-n) (1-0) \u003d m * 1-n * 1 \u003d m-n \u003d a.

De aici și algebra este un monoid comutativ.

Def. Dacă pentru numerele întregi a și b există un număr natural k astfel încât a + k \u003d b și k 0, atunci se spune că „a este mai mic decât sau b” și scriu un b dacă și numai dacă b

T2. Fie Z \u003d inel de numere întregi. Atunci: 1) pentru orice număr întreg a și b, este îndeplinită una și numai una dintre cele trei condiții: a

2) pentru orice număr întreg a, este îndeplinită una și una dintre cele trei condiții: a<0, a=0, 0

3) atitudine< монотонно относительно сложения, т.е. для любых целых a, bи c

a

4) atitudine<монотонно относительно умножения, т.е. для любых целых a, bи с

în cazul în care un 0, apoi ac

T. pe diviziune cu rest. Fie a un număr întreg și b un întreg pozitiv diferit de zero. A împărți numărul a și b cu restul înseamnă a-l reprezenta ca a \u003d bq + r, unde 0 r

Împărțirea cu restul este întotdeauna fezabilă, iar coeficientul incomplet și restul sunt determinate în mod unic de dividend și de divizor.

T. Pentru orice număr întreg a, b pentru b\u003e 0, există o pereche unică de numere întregi q și r care îndeplinesc condițiile: (1) a \u003d bq + r și 0 r

Doc. Să dovedim că există cel puțin o pereche de numere q, r condiții satisfăcătoare (1). În primul rând, luați în considerare cazul când a este un număr natural. Fixați b și demonstrați prin inducție pe a că (2) există o pereche de numere întregi q, r satisfăcătoare (1).

Pentru a \u003d 0, afirmația (2) este adevărată, deoarece 0 \u003d b * 0 + 0. Să presupunem că (2) este adevărat pentru a \u003d n, adică există numere întregi q, r astfel încât (3) n \u003d bq + r și 0 r

Cel mai mare divizor comun. Un număr întreg c se numește divizor comun al întregilor a 1, ..., a n dacă există un divizor al fiecăruia dintre aceste numere.

Def. Cel mai mare divizor comun al întregilor a 1, ..., a n este divizorul lor comun, care este divizibil cu orice divizor comun al acestor numere.

Numerele întregi 1, ..., a n se numesc coprimă dacă cel mai mare divizor comun al lor este egal cu unul.

MCD al numerelor a 1, ..., a n este notat cu mcd (a 1, ..., a n), mcd pozitiv al acestor numere este notat cu nod (a 1, ..., a n).

Următorul 1. Dacă d este GCD al întregilor a 1, ..., a n, atunci mulțimea tuturor divizorilor comuni a acestor numere coincide cu mulțimea tuturor divizorilor lui d.

Următorul 2. Orice două GCD de numere întregi a 1, ..., a n sunt asociate, adică poate diferi numai în semn. Dacă d este mcd al numerelor a 1, ..., a n, atunci numărul (-d) este și mcd al acestor numere.

Algoritmul lui Euclid. O modalitate de a găsi gcd-ul a două numere întregi.

Sentință. Fie a și b două numere întregi, b ≠ 0 și (1) a \u003d bq + r (0 r<|b|).

Atunci nodul (a, b) \u003d nodul (b, r).

Doc. Din (1) rezultă că orice divizor comun al numerelor a și b este divizor al numărului r \u003d a-bq și orice divizor comun al numerelor b și r este divizor al numărului a. Prin urmare, mulțimea tuturor divizorilor comuni ai numerelor a și b coincide cu mulțimea tuturor divizorilor comuni ai numerelor b și r. Prin urmare, rezultă că divizorul comun pozitiv al numerelor a și b coincide cu divizorul comun pozitiv al numerelor b și r, adică nod (a, b) \u003d nod (b, r).

Dacă b | a, unde b≥1, atunci evident nodul (a, b) \u003d b. Pentru a găsi nodurile a două numere întregi, utilizați metoda „împărțirii secvențiale”, numită algoritmul euclidian. Esența acestei metode este că, în virtutea propoziției dovedite mai sus, problema găsirii nodurilor numerelor a și b este redusă la problema mai simplă a găsirii nodurilor numerelor b și r, unde 0≤r<|b|. Если r=0, то нод(a,b)=b. Если же r≠0, то рассуждения повторяем, отправляясь от bи r. В результате получим цепочку равенств.

Dacă a \u003d 0, atunci b \u003d 0 * c \u003d 0 și teorema este adevărată. Dacă a ≠ 0, atunci din (1) urmează cd \u003d 1. Prin teoremă, rezultă din egalitatea cd \u003d 1 că d \u003d 1. Mai mult, a \u003d bd; deci a \u003d b. Dovedit.

Cel mai mic multiplu comun. Un întreg este numit multiplu comun de numere întregi a 1, ..., a n, dacă este divizibil cu fiecare dintre aceste numere.

Def. Cel mai mic multiplu comun al întregilor a 1, ..., a n este multiplul lor comun care împarte orice multiplu comun al acestor numere. General: LCM (a 1, ..., a n). Cel mai mic multiplu pozitiv comun al numerelor a 1, ..., a n, altul decât zero, este prin.

Sl-e. Orice două numere întregi multiple cel mai puțin comune a 1, ..., a n sunt asociate în Z, adică poate diferi numai în semn. Dacă numărul m este un LCM (a 1, ..., a n), atunci numărul (-m) este un LCM (a 1, ..., a n).

Sl-e. Dacă m este cel mai mic multiplu comun al numerelor a 1, ..., a n, atunci mulțimea tuturor multiplilor comuni ai acestor numere coincide cu mulțimea tuturor multiplilor lui m.

Exemple de

• Mai general, pentru orice număr întreg fără pătrat d (\\ displaystyle d) Q (d) (\\ displaystyle \\ mathbb (Q) ((\\ sqrt (d)))) va fi extensia câmpului pătratic Q (\\ displaystyle \\ mathbb (Q)).
• Câmp circular Q (ζ n) (\\ displaystyle \\ mathbb (Q) (\\ zeta _ (n))) obținută prin adăugarea la Q (\\ displaystyle \\ mathbb (Q)) rădăcină primitivă ngradul unu. Câmpul trebuie să conțină, de asemenea, toate gradele sale (adică toate rădăcinile n-grada a unității), dimensiunea sa este peste Q (\\ displaystyle \\ mathbb (Q)) este egal cu funcția Euler φ (n) (\\ displaystyle \\ varphi (n)).
• Numerele reale și complexe au un grad infinit față de numerele raționale, deci nu sunt câmpuri numerice. Acest lucru rezultă din necontabilitate: orice câmp numeric este numărabil.
• Câmpul tuturor numerelor algebrice A (\\ displaystyle \\ mathbb (A)) nu este numeric. Deși extinderea A ⊃ Q (\\ displaystyle \\ mathbb (A) \\ supset \\ mathbb (Q)) algebric, nu este finit.

Câmpul Numărului Inelului Întregurilor

Deoarece un câmp numeric este o extensie algebrică a câmpului Q (\\ displaystyle \\ mathbb (Q)), oricare dintre elementele sale este o rădăcină a unui polinom cu coeficienți raționali (adică este algebric). Mai mult, fiecare element este o rădăcină a unui polinom cu coeficienți întregi, deoarece toți coeficienții raționali pot fi înmulțiți cu produsul numitorilor. Dacă un element dat este o rădăcină a unui polinom unitar cu coeficienți întregi, se numește element întreg (sau un întreg algebric). Nu toate elementele unui câmp numeric sunt întregi: de exemplu, este ușor să se arate că singurele elemente întregi Q (\\ displaystyle \\ mathbb (Q)) sunt numere întregi obișnuite.

Se poate dovedi că suma și produsul a două numere întregi algebrice este din nou un număr întreg algebric, deci elementele întregi formează un subinel al câmpului numeric K (\\ displaystyle K)numit inel de numere întregi câmpuri K (\\ displaystyle K) și notat. Câmpul nu conține divizori zero și această proprietate este moștenită atunci când treceți la un subinel, prin urmare inelul numerelor întregi este integral; câmp de inel privat O K (\\ displaystyle (\\ mathcal (O)) _ (K)) este câmpul în sine K (\\ displaystyle K)... Inelul numerelor întregi ale oricărui câmp numeric are următoarele trei proprietăți: este închis integral, noetherian și unidimensional. Un inel comutativ cu astfel de proprietăți se numește inel Dedekind în onoarea lui Richard Dedekind.

Descompunerea în prim și grup de clase

Un inel Dedekind arbitrar conține, de asemenea, o descompunere unică a idealurilor diferite de zero într-un produs al primelor. Cu toate acestea, nu fiecare inel de numere întregi îndeplinește proprietatea factorialității: deja pentru inelul de numere întregi ale unui câmp pătratic OQ (- 5) \u003d Z [- 5] (\\ displaystyle (\\ mathcal (O)) _ (\\ mathbb (Q) ((\\ sqrt (-5)))) \u003d \\ mathbb (Z) [(\\ sqrt ( -cinci))]) descompunerea nu este unică:

Prin introducerea unei norme pe acest inel, se poate arăta că aceste expansiuni sunt cu adevărat diferite, adică una nu poate fi obținută din cealaltă prin multiplicarea cu un element inversabil.

Gradul de încălcare a proprietății factoriale se măsoară folosind grupul de clase ideale; acest grup pentru un inel de numere întregi este întotdeauna finit și ordinea acestuia se numește numărul de clase.

Bazele câmpului numeric

Întreaga bază

Întreaga bază câmp numeric F grad n este mult

de n elemente ale inelului câmpurilor întregi Fastfel încât orice element al inelului numerelor întregi DE câmpuri F poate fi scris în singurul mod ca. Z-combinație liniară de elemente B; adică pentru orice x de DE există o singură descompunere

unde m i sunt numere întregi obișnuite. În acest caz, orice element F poate fi scris ca

unde m i sunt numere raționale. După acele elemente întregi F se disting prin proprietatea că acestea sunt exact elementele pentru care toate m i întreg.

Folosind instrumente precum localizarea și endomorfismul Frobenius, se poate construi o astfel de bază pentru orice câmp numeric. Construcția sa este o funcție încorporată în multe sisteme de algebră computerizată.

Baza puterii

Lasa F - câmpul de putere numeric n... Printre toate bazele posibile F (la fel de Î-spatiul vectorial), exista baze de putere, adica baze ale formei

pentru unii x ∈ F... Conform teoremei elementului primitiv, astfel x există întotdeauna, se numește element primitiv această extensie.

Evaluați și urmăriți

Un câmp numeric algebric este un spațiu vectorial cu dimensiuni finite Q (\\ displaystyle \\ mathbb (Q)) (denotăm dimensiunea sa prin n (\\ displaystyle n)), iar multiplicarea cu un element arbitrar al câmpului este o transformare liniară a acestui spațiu. Lasa e 1, e 2,… e n (\\ displaystyle e_ (1), e_ (2), \\ ldots e_ (n)) - o oarecare bază F, apoi transformare x ↦ α x (\\ displaystyle x \\ mapsto \\ alpha x) se potriveste matricea A \u003d (a i j) (\\ displaystyle A \u003d (a_ (ij)))definit de condiție

α e i \u003d ∑ j \u003d 1 n a i j e j, a i j ∈ Q. (\\ displaystyle \\ alpha e_ (i) \u003d \\ sum _ (j \u003d 1) ^ (n) a_ (ij) e_ (j), \\ quad a_ (ij) \\ in \\ mathbf (Q).)

Elementele acestei matrice depind de alegerea bazei, dar toate invarianții de matrice, cum ar fi determinant și urme, nu depind de ea. În contextul extensiilor algebrice, se numește determinantul unei matrice de multiplicare a elementelor norma a acestui element (notat N (x) (\\ displaystyle N (x))); urmele matricei - elementul următor (notat Tr (x) (\\ displaystyle (\\ text (Tr)) (x))).

Urma unui element este o funcționalitate liniară pe F:

Norma este o funcție multiplicativă și omogenă:

Ca bază inițială, puteți alege o bază întreagă, multiplicarea cu un număr întreg algebric (adică cu un element al inelului de numere întregi) din această bază va corespunde unei matrice cu elemente întregi. În consecință, urma și norma oricărui element al inelului numerelor întregi sunt numere întregi.

Exemplu de utilizare a normei

Lasa d (\\ displaystyle d) - este un element întreg, deoarece este rădăcina polinomului redus x 2 - d (\\ displaystyle x ^ (2) -d)). În această bază, multiplicarea cu a + b d (\\ displaystyle a + b (\\ sqrt (d))) se potriveste matricea

Prin urmare, N (a + b d) \u003d a 2 - d b 2 (\\ displaystyle N (a + b (\\ sqrt (d))) \u003d a ^ (2) -db ^ (2))... Această normă ia valori întregi pe elementele inelului. Norma este un omomorfism al grupului multiplicativ Z [d] (\\ displaystyle \\ mathbb (Z) [(\\ sqrt (d))]) pe grup multiplicativ Z (\\ displaystyle \\ mathbb (Z)), prin urmare, norma elementelor reversibile ale inelului poate fi egală cu 1 (\\ displaystyle 1) sau - 1 (\\ displaystyle -1)... Pentru a rezolva ecuația Pell a 2 - d b 2 \u003d 1 (\\ displaystyle a ^ (2) -db ^ (2) \u003d 1), este suficient să găsiți toate elementele inversabile ale inelului de numere întregi (numit și unități inelare) și selectați dintre ei pe cei care au norma 1 (\\ displaystyle 1)... Conform teoremei unității lui Dirichlet, toate elementele inversabile ale unui inel dat sunt puteri ale unui element (până la înmulțirea cu - 1 (\\ displaystyle -1)), prin urmare, pentru a găsi toate soluțiile ecuației Pell, este suficient să găsim o soluție fundamentală.

Vezi si

Literatură

• H. Koch. Teoria numerelor algebrice. - M .: VINITI, 1990 .-- T. 62 .-- 301 p. - (Rezultate ale științei și tehnologiei. Seria "Probleme contemporane de matematică. Direcții fundamentale.").
• Chebotarev N.G. Fundamentele teoriei lui Galois. Partea 2. - M .: Editorial URSS, 2004.
• Weil G. Teoria numerelor algebrice. Pe. din engleză .. - M .: Editorial URSS, 2011.
• Serge Lang, Teoria numerelor algebrice, ediția a doua, Springer, 2000

Agenția Federală pentru Educație

Instituție de învățământ de stat de învățământ profesional superior

Universitatea umanitară de stat Vyatka

Facultatea de Matematică

Departamentul de analiză matematică și metodologie
predarea matematicii

Lucrare finală de calificare

pe tema: Inelul numerelor întregi gaussiene.

Efectuat:

student anul 5

facultatea de Matematică

V.V. Gnusov

___________________________

Supervizor:

lector superior al catedrei

algebră și geometrie

Semenov A.N ..

___________________________

Referent:

candidat fiz.-matematică. Științe, profesor asociat

departamentul de Algebră și Geometrie

Kovyazina E.M.

___________________________

Admis la apărare în cadrul Comitetului aerian de stat

Cap Departamentul ________________ Vechtomov E.M.

« »________________

Decanul Facultății ___________________ V.I. Varankina