Vaše dobrá práce ve znalostní bázi je jednoduchá. Použijte formulář níže

Studenti, postgraduální studenti, mladí vědci využívající znalostní základnu při studiu a práci vám budou velmi vděční.

Federální agentura pro vzdělávání

Státní vzdělávací instituce vyššího odborného vzdělávání

Státní humanitární univerzita Vyatka

Matematická fakulta

Katedra matematické analýzy a metodiky
výuka matematiky

Závěrečná kvalifikační práce

na téma: Kruh Gaussových celých čísel.

Dokončeno:

student 5. ročníku

matematická fakulta

V.V. Gnusov

___________________________

Dozorce:

odborný asistent katedry

algebra a geometrie

Semenov A.N ..

___________________________

Recenzent:

kandidát fyz.-matematika Vědy, docent

katedra algebry a geometrie

Kovyazina E.M.

___________________________

Přiznal se k ochraně ve Státním leteckém výboru

Hlava Oddělení ________________ Vechtomov E.M.

« »________________

Děkan fakulty ___________________ V.I. Varankina

« »________________

Kirov 2005

• Úvod. 2
• 3
• 4
• 1.2 DIVIZE S ZBYTKEM. 5
• 1,3 GCD. ALGORITMUS euklidy. 6
• 9
• 12
• 17
• Závěr. 23

Úvod.

Kruh komplexních celých čísel objevil Carl Gauss a pojmenoval ho jako Gaussian.

K. Gauss přišel k myšlence možnosti a nutnosti rozšíření konceptu celého čísla v souvislosti s hledáním algoritmů pro řešení srovnání druhého stupně. Koncept celého čísla přenesl do čísel ve tvaru, kde jsou libovolná celá čísla, a - je kořenem rovnice. Na této množině K. Gauss jako první vytvořil teorii dělitelnosti, podobnou teorii dělitelnosti celých čísel. Zdůvodnil platnost základních vlastností dělitelnosti; ukázal, že v kruhu komplexních čísel existují pouze čtyři reverzibilní prvky :; prokázal platnost věty o dělení se zbytkem, věta o jedinečnosti rozkladu na primární faktory; ukázal, která prvočísla přirozená čísla zůstávají prvkem v kruhu; zjistil podstatu jednoduchých celých komplexních čísel.

Teorie vyvinutá K. Gaussem a popsaná v jeho práci „Arithmetic Investigations“ byla základním objevem pro teorii čísel a algebry.

V závěrečné práci byly stanoveny následující cíle:

1. Rozvíjet teorii dělitelnosti v kruhu Gaussových čísel.

2. Zjistěte podstatu jednoduchých Gaussových čísel.

3. Ukažte použití Gaussových čísel při řešení běžných diofantických problémů.

KAPITOLA 1. ROZDĚLITELNOST V RUCE POČTŮ POČET GUSŮ

Zvažte sadu komplexních čísel. Analogicky se sadou reálných čísel lze v ní rozlišit určitou podmnožinu celých čísel. Sada čísel formuláře, kde se bude nazývat celá komplexní čísla nebo Gaussova čísla. Je snadné zkontrolovat, zda prstencové axiomy pro tuto sadu drží. Tato sada komplexních čísel je tedy prsten a je volána kruh Gaussových celých čísel ... Pojďme to označit jako, protože se jedná o rozšíření prstenu o prvek :.

Protože prstenec gaussovských čísel je podmnožinou komplexních čísel, jsou pro něj platné některé definice a vlastnosti komplexních čísel. Například každé gaussovské číslo odpovídá vektoru začínajícímu v bodě a končícím v. Proto, modul existuje Gaussovo číslo. Všimněte si, že v uvažované sadě je submodulární výraz vždy nezáporné celé číslo. Proto je v některých případech jeho použití pohodlnější normou , tj. čtverec modulu. Takto. Lze rozlišit následující vlastnosti normy. Pro všechna Gaussova čísla platí:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Platnost těchto vlastností se triviálně kontroluje pomocí modulu. Mimochodem si všimneme, že (2), (3), (5) platí také pro všechna komplexní čísla.

Kruh Gaussových čísel je komutativní kruh bez dělitelů 0, protože se jedná o podřetězec pole komplexních čísel. Z toho vyplývá multiplikativní kontraktilita prstence

1.1 OBOUSTRANNÉ A PŘIDĚLENÉ PRVKY.

Podívejme se, která Gaussova čísla jsou reverzibilní. Násobení neutrální je. Pokud je Gaussovo číslo reverzibilně , pak, podle definice, tam je takový to. Při splnění norem, podle vlastnosti 3, dostaneme. Ale tyto normy jsou proto přirozené. Proto, podle nemovitosti 4 ,. Naopak, všechny prvky dané množiny jsou od té doby reverzibilní. Proto budou čísla s normou rovnou jedné reverzibilní, tj.

Jak vidíte, ne všechna Gaussova čísla budou reverzibilní. Je proto zajímavé zvážit otázku dělitelnosti. Jako obvykle to říkáme akcie zapnuto, pokud existuje takové. Pro všechna Gaussova čísla i pro invertibilní čísla jsou vlastnosti pravdivé.

(7)

(8)

(9)

(10)

, kde (11)

(12)

(8), (9), (11), (12) jsou snadno ověřitelné. Platnost (7) vyplývá z (2) a (10) vyplývá z (6). Na základě vlastnosti (9) se prvky množiny chovají s ohledem na dělitelnost přesně stejným způsobem jako a nazývají se spojenecký z. Je proto přirozené uvažovat o dělitelnosti gaussovských čísel až po sjednocení. Geometricky se ve složité rovině budou spojenecká čísla od sebe lišit otočením o více úhlů.

1.2 DIVIZE S ZBYTKEM.

Nechť je nutné dělit, ale je nemožné udělat celé dělení. Musíme obdržet a musí jich být „málo“. Pak si ukážeme, co vzít jako neúplný kvocient při dělení zbytkem v množině gaussovských čísel.

Lemma 1. O rozdělení se zbytkem.

V ringu je možné rozdělení se zbytkem, ve kterém je zbytek menší než dělitel podle normy. Přesněji řečeno, pro všechny a bude takhle ... Tak jako můžete vzít nejblíže komplexnímu číslu Gaussovo číslo.

Důkaz.

Vydělte v sadě komplexních čísel. To je možné, protože množina komplexních čísel je pole. Nech být. Pojďme zaokrouhlit reálná čísla a na celá čísla, dostaneme, respektive, a. Řekněme. Pak

.

Nyní vynásobením obou stran nerovnosti získáme, díky multiplikativitě normy komplexních čísel, to. Jako neúplný kvocient lze tedy vzít Gaussovo číslo, které, jak je dobře vidět, je nejblíže.

Ch.T.D.

1,3 GCD. ALGORITMUS euklidy.

Používáme obvyklou definici největšího společného dělitele prstenů. Gcd „ohm dvě Gaussova čísla se nazývají jejich společný dělitel, který je dělitelný jakýmkoli jiným společným dělitelem.

Stejně jako v množině celých čísel, v množině gaussovských čísel se k nalezení GCD používá euklidovský algoritmus.

Nechť daná Gaussova čísla a. Se zbytkem vydělte. Pokud je zbytek odlišný od 0, vydělíme jej tímto zbytkem a budeme pokračovat v postupném dělení zbytků, pokud je to možné. Dostaneme řetězec rovností:

kde

kde

kde

……………………….

kde

Tento řetězec nemůže pokračovat donekonečna, protože máme klesající posloupnost norem a normy jsou nezáporná celá čísla.

Věta 2. O existenci GCD.

V Euklidově algoritmu aplikovaném na Gaussova čísla a poslední nenulový zbytek je gcd ( ).

Důkaz.

Dokažme, že v euklidovském algoritmu skutečně dostaneme GCD.

1. Zvažte rovnosti zdola nahoru.

Z poslední rovnosti je zřejmé, že. V důsledku toho jako součet čísel dělitelných. Od a, další řádek dá. A tak dále. Je tedy vidět, že a. To znamená, že se jedná o běžného dělitele čísel a.

Ukažme, že se jedná o největšího společného dělitele, to znamená, že je dělitelný jakýmkoli jiným společným dělitelem.

2. Zvažte rovnosti shora dolů.

Dovolit být libovolný společný dělitel čísel a. Pak, jako rozdíl mezi čísly dělitelnými, skutečně od první rovnosti. Z druhé rovnosti to máme. Tedy, představující v každé rovnosti zbytek jako rozdíl čísel dělitelných, dostaneme z předposlední rovnosti, která je dělitelná.

Ch.T.D.

Lemma 3. O reprezentaci GCD.

Pokud gcd ( , )= , pak existují taková celočíselná Gaussova čísla a , co .

Důkaz.

Zvažte zdola nahoru řetězec rovností získaný v Euklidově algoritmu. Nahrazujeme postupně místo zbytků jejich výrazů předchozími zbytky, vyjadřujeme prostřednictvím a.

Volá se gaussovské číslo jednoduchý pokud jej nelze vyjádřit jako součin dvou nevratných faktorů. Další tvrzení je zřejmé.

Prohlášení 4.

Když vynásobíte Gaussian prime prvkem invertible, získáte znovu Gaussian prime.

Prohlášení 5.

Vezmeme-li nevratný dělitel s nejmenší normou pro Gaussovo číslo, pak to bude jednoduchý Gaussian.

Důkaz.

Nechť takový dělitel je složené číslo. Pak, kde a jsou nevratná Gaussova čísla. Pojďme přejít k normám a podle (3) to získáme. Jelikož jsou tyto normy přirozené, máme to a na základě (12) jde o nevratný dělitel daného Gaussova čísla, což je v rozporu s výběrem.

Prohlášení 6.

Pokud není dělitelné primárním gaussovským číslem , pak GCD ( , )=1.

Důkaz.

Opravdu, prvočíslo dělitelné pouze čísly spojenými s 1 nebo s ... A protože to není dělitelné , pak se spojil s není také rozdělena. To znamená, že jejich společnými děliteli budou pouze reverzibilní čísla.

Lemma 7. Euklidovské lemma.

Pokud je součin gaussovských čísel dělitelný prvotním gaussovským číslem , pak je alespoň jeden z faktorů dělitelný .

Důkaz.

Jako důkaz postačuje vzít v úvahu případ, kdy produkt obsahuje pouze dva faktory. To znamená, ukážeme, že pokud je dělitelné , pak buď dělitelné nebo děleno .

Nechť to není dělitelné , pak gcd (, ) \u003d 1. Proto existují taková Gaussova čísla a taková. Vynásobíme obě strany rovnosti , dostaneme to, z toho vyplývá, že jako součet čísel dělitelných .

1.4 ZÁKLADNÍ VĚRA ARITMETIKY.

Jakékoli nenulové Gaussovo číslo lze reprezentovat jako součin jednoduchých Gaussových čísel a toto vyjádření je jedinečné až po sjednocení a pořadí faktorů.

Poznámka 1.

Invertibilní číslo má nulové primární faktory ve svém rozkladu, to znamená, že je reprezentováno samo sebou.

Poznámka 2.

Přesněji řečeno, jedinečnost je formulována následovně. Pokud existují dvě jednoduché Gaussovy faktorizace, je to tak pak a můžete takto přečíslovat čísla , co bude spojen s , se vším od 1 do včetně.

Důkaz.

Důkaz provádíme indukcí podle normy.

Základna. U čísla s jednotkovou normou je tvrzení zřejmé.

Nechť je nyní nenulové nevratné Gaussovo číslo a pro všechna Gaussova čísla s menší normou je tvrzení prokázáno.

Ukažme možnost rozkladu na hlavní faktory. K tomu označíme nevratný dělitel, který má nejmenší normu. Tento dělitel musí být prvočíslo podle Prohlášení 5. Potom. Máme tedy a indukční hypotézou můžeme být reprezentováni jako produkt prvočísel. Proto se rozkládá na produkt těchto jednoduchých a.

Ukažme jedinečnost faktorizace do hlavních faktorů. Chcete-li to provést, vezměte dvě libovolná rozšíření:

Podle Euklidova lematu musí být jeden z faktorů v produktu dělitelný. Můžeme předpokládat, že je dělitelné, jinak přečíslujeme. Protože jsou jednoduché, kde je reverzibilní. Zrušení obou stran naší rovnosti o, dostaneme primární faktorizaci čísla v normě menší než.

Indukční hypotézou je možné přečíslovat čísla tak, aby byla spojena s, s, ..., s. Poté je s tímto číslováním spojeno pro všechny od 1 do včetně. Proto je faktorizace do hlavních faktorů jedinečná.

Příklad jednorozeného prstenu bez OTA.

Uvažujme. Prvky tohoto kruhu jsou čísla formuláře, kde a jsou libovolná celá čísla. Ukažme, že hlavní věta aritmetiky v ní nedrží. Normu čísla v tomto kruhu definujeme takto :. To je skutečně norma, protože není obtížné to ověřit. Nechte a. Pak

Všimněte si, že.

Ukažme, že čísla v uvažovaném kruhu jsou prvočísla. Opravdu - jeden z nich a. Pak máme: Protože v tomto prstenci nejsou žádná čísla s normou 2, pak nebo. Reverzibilní prvky budou čísla s jednotkovou rychlostí a pouze oni. Proto v libovolné faktorizaci existuje invertibilní faktor, proto je to jednoduché.

KAPITOLA 2. PRVNÍ POČTY GAUSŮ.

Abyste pochopili, která Gaussova čísla jsou prvočísla, zvažte několik výroků.

Věta 8.

Každý gaussovský prvočíslo je dělitelem přesně jednoho prvočísla přirozeného.

Důkaz.

Pojďme - tedy jednoduchý Gaussian. Hlavní teorémem aritmetiky přirozených čísel se rozkládá na produkt prvočísel přirozených čísel. A podle Euklidova lematu je alespoň jeden z nich dělitelný.

Ukažme si nyní, že jednoduchý Gaussian nemůže rozdělit dvě různé jednoduché přirozenosti. Ve skutečnosti, i když různé jednoduché přirozené prvky dělitelné. Protože GCD () \u003d 1, pak podle věty o reprezentaci GCD v celých číslech existují a - celá čísla taková. To je tedy v rozporu s jednoduchostí.

Rozkládáme-li tedy každou jednoduchou přirozenost na jednoduchou Gaussian, iterujeme po celé jednoduché Gaussian a bez opakování.

Další věta ukazuje, že každé jednoduché přirozené číslo „se ukáže“ jako nanejvýš dvě jednoduché gaussovské.

Věta 9.

Pokud je prvočíslo přirozené látky rozloženo na produkt tří prvočíselných Gaussianů, pak je alespoň jeden z faktorů invertibilní.

Důkaz.

Nech být - jednoduché přírodní takové ... Přejdeme k normám a dostaneme:

.

Z této rovnosti v přirozených číslech vyplývá, že alespoň jedna z norem se rovná 1. Proto alespoň jedna z čísel - reverzibilní.

Lemma 10.

Pokud je Gaussovo číslo dělitelné prvočíslem, pak a.

Důkaz.

Nech být , tj ... Pak , , tj , .

Ch.T.D.

Lemma 11.

Pro prvočíslo přirozeného čísla tvaru existuje přirozené takové.

Důkaz.

Wilsonova věta říká, že celé číslo je prvočíslo právě tehdy. Ale odtud. Pojďme rozšířit a transformovat faktoriál:

Z toho získáme to, tj. ...

Takže to máme kde = .

Nyní jsme připraveni popsat všechna Gaussova prvočísla.

Věta 12.

Všechny jednoduché Gaussian lze rozdělit do tří skupin:

1). Jednoduché přírodní druhy jsou jednoduché gaussovské;

2). Dva jsou spojeny s druhou mocninou prvočíselného Gaussova čísla;

3). Jednoduché přírodní druhy se rozkládají na produkt dvou jednoduchých konjugovaných gaussovských.

Důkaz.

1). Předpokládejme, že je to jednoduché přirozené druh není jednoduchý gaussian. Pak , a a ... Pojďme k normám: ... S přihlédnutím k těmto nerovnostem získáme , tj - součet čtverců dvou celých čísel. Součet čtverců celých čísel však nemůže dát zbytek 3, když se dělí 4.

2). všimněte si, že

.

Číslo - jednoduchá Gaussova, protože jinak by se dva rozložili na tři nevratné faktory, což je v rozporu s Věrou 9.

3). Nechte jednoduchý přirozený vzhled , pak u Lemmy 11 existuje celé číslo takhle ... Nech být - jednoduchý Gaussian. Protože , poté podle Euklidova lemmatu alespoň jeden z faktorů je rozdělen. Nech být , pak existuje Gaussovo číslo takhle ... Vyrovnáme-li koeficienty imaginárních částí, dostaneme to ... Proto, , což je v rozporu s naším předpokladem jednoduchosti ... Prostředek - složený Gaussian, reprezentovaný jako produkt dvou jednoduchých konjugovaných Gaussianů.

Ch.T.D.

Prohlášení.

Gaussovský konjugát s prvočíslem je prvočíslo samo.

Důkaz.

Nechť prvočíslo je Gaussian. Za předpokladu, že je složený. Uvažujme o konjugátu:, tj. Prezentovaném jako produkt dvou nevratných faktorů, které nemohou být.

Prohlášení.

Gaussovo číslo, jehož normou je prvočíslo přirozeného čísla, je prvočíslo Gaussova čísla.

Důkaz.

Nechť je to tedy složené číslo. Zvažte normy.

To znamená, že jsme dostali, že normou je složené číslo a podle podmínky je to prvočíslo. Náš předpoklad proto není pravdivý a existuje prvočíslo.

Prohlášení.

Pokud prvočíslo přirozeného čísla není prvočíslo gaussovské číslo, pak jej lze vyjádřit jako součet dvou čtverců.

Důkaz.

Nechť prvočíslo přirozené číslo a nebýt prvočíslo Gaussian. Pak. Vzhledem k tomu, že čísla jsou stejná, jejich normy jsou také stejné. To znamená, že odtud pocházíme.

Existují dva možné případy:

1). , tj. prezentován jako součet dvou čtverců.

2). , to znamená, že to znamená reverzibilní číslo, které nemůže být, pak nás tento případ neuspokojuje.

KAPITOLA 3. APLIKACE ČÍSEL GAUSS.

Prohlášení.

Součin čísel reprezentovatelných jako součet dvou čtverců je také reprezentovatelný jako součet dvou čtverců.

Důkaz.

Dokážme tuto skutečnost dvěma způsoby, pomocí gaussovských čísel a bez použití gaussovských čísel.

1. Nechť jsou přirozená čísla reprezentovatelná jako součet dvou čtverců. Pak a. Uvažujme součin, tj. Vyjádřený jako součin dvou konjugovaných gaussovských čísel, který je vyjádřen jako součet dvou čtverců přirozených čísel.

2. Nechť ,. Pak

Prohlášení.

Pokud, kde je jednoduchý přirozený druh, pak a.

Důkaz.

Z podmínky vyplývá, že v tomto případě se také jedná o jednoduchou Gaussian. Pak je podle Euklidova lematu jeden z faktorů dělitelný. Nechť, pak u Lemmy 10 máme to a.

Popíšeme obecnou formu přirozených čísel reprezentovatelných jako součet dvou čtverců.

Fermatova vánoční věta nebo Fermatova věta-- Euler.

Nenulové přirozené číslo lze reprezentovat jako součet dvou čtverců právě tehdy, když v kanonickém rozkladu jsou všechny hlavní faktory tvaru jsou zahrnuty v sudých stupních.

Důkaz.

Všimněte si, že 2 a všechna prvočísla formuláře jsou reprezentovatelná jako součet dvou čtverců. Nechť v kanonickém rozkladu čísla existují liché faktory formy zahrnuté v lichém stupni. Dáme do závorek všechny činitele reprezentovatelné jako součet dvou čtverců, pak faktory tvaru zůstanou, a to vše v prvním stupni. Ukažme, že součin takových faktorů nelze reprezentovat jako součet dvou čtverců. Skutečně, pokud to předpokládáme, pak máme, že jeden z faktorů musí být rozdělen nebo, ale pokud rozděluje jedno z těchto gaussovských čísel, musí také rozdělovat druhý jako svůj konjugát. To znamená, a pak to musí být na druhém stupni a musí to být na prvním stupni. V důsledku toho nelze produkt libovolného počtu prvočíselných faktorů ve formě prvního stupně představovat jako součet dvou čtverců. To znamená, že naše hypotéza není pravdivá a všechny hlavní faktory formy v kanonické expanzi čísla se vyskytují v sudých silách.

Cíl 1.

Podívejme se na aplikaci této teorie na příkladu řešení diafantické rovnice.

Řešení v celých číslech.

Všimněte si, že pravá strana je reprezentovatelná jako produkt konjugovaných Gaussových čísel.

Tj. Nechť je dělitelné nějakým prvočíselným Gaussovým číslem a konjugát je jím také rozdělen. Vezmeme-li v úvahu rozdíl těchto gaussovských čísel, který by měl být dělitelný, dostaneme to, které by mělo vydělit 4. Ale to znamená, že je spojen s.

Všechny prvočíselné faktory v expanzi čísla jsou zahrnuty v mocninách násobku tří a faktory formy v mocninách násobku šesti, protože prvočíslo Gaussovo číslo je získáno z rozkladu na prvočíslo Gaussian 2, ale proto. Kolikrát se to stane při prvočíselné faktorizaci čísla, stejný počet opakování se stane při prvočíselné faktorizaci čísla. Vzhledem k tomu, že je dělitelný tím, zda a jen tehdy, když je dělitelný. Ale spojen s. To znamená, že budou rozděleni rovnoměrně, což znamená, že budou zahrnuti do rozšíření těchto čísel v pravomoci násobku tří. Všechny ostatní hlavní faktory zahrnuté do rozšíření čísla se objeví pouze v rozšíření čísla nebo čísla. To znamená, že při rozkladu na jednoduché gaussovské faktory čísla se všechny faktory objeví v mocninách násobku tří. Proto je číslo krychle. To tedy máme. Z toho dostaneme, to znamená, že by měl být dělitelem 2. Proto, nebo. Odkud máme čtyři možnosti, které nás uspokojí.

1.,. Kde to najdeme.

2.,. Proto,.

3.,. Proto,.

4.,. Proto,.

Cíl 2.

Řešení v celých číslech.

Představme si levou stranu jako součin dvou gaussovských čísel. Rozložme každé z čísel na jednoduché Gaussovské faktory. Mezi jednoduchými budou ty, které jsou v rozkladu a. Seskupme všechny tyto faktory a označme výsledný produkt. Pak v expanzi zůstanou pouze ty faktory, které v expanzi nejsou. Všechny Gaussovy hlavní faktory zahrnuté do expanze jsou zahrnuty v rovnoměrné síle. Ti, kteří nejsou zahrnuti do, budou přítomni pouze v nebo v. Číslo je tedy čtverec. Tj. Rovnáním skutečné a imaginární části to dostaneme.

Cíl 3.

Počet reprezentací přirozeného čísla jako součet dvou čtverců.

Problém je ekvivalentní problému reprezentace daného přirozeného čísla jako normy nějakého gaussovského čísla. Dovolit být Gaussovo číslo, jehož norma je. Rozložme se na hlavní přírodní faktory.

Kde jsou prvočísla formuláře a jsou prvočísla formuláře. Pak, aby byl reprezentovatelný jako součet dvou čtverců, je nutné, aby všechny byly sudé. Rozložíme tedy číslo na jednoduché Gaussovské faktory

kde jsou prvočísla Gaussova čísla, na která se mají rozložit.

Porovnání normy s číslem vede k následujícím poměrům, které jsou nezbytné a dostatečné pro:

Počet zobrazení se počítá z celkového počtu možností výběru indikátorů. Existuje možnost indikátorů, protože počet lze rozdělit na dva nezáporné výrazy následujícím způsobem:

U dvojice indikátorů existuje příležitost atd. Spojením všech možných způsobů přípustných hodnot pro ukazatele získáme všechny různé hodnoty pro součin jednoduchých Gaussových čísel s normou tvaru nebo 2. Ukazatele jsou vybírány jednoznačně. Nakonec lze reverzibilitě přiřadit čtyři významy: Číslo tedy má všechny možnosti, a proto číslo ve formě normy Gaussova čísla, tj. Ve formě, kterou lze reprezentovat různými způsoby.

V tomto výpočtu jsou všechna řešení rovnice považována za odlišná. Na některá řešení však lze pohlížet tak, že definují stejnou reprezentaci dvou čtverců. Pokud tedy - řešení rovnice, můžete zadat dalších sedm řešení, která určují stejnou reprezentaci čísla jako součet dvou čtverců :.

Je zřejmé, že z osmi řešení odpovídajících jednomu zastoupení mohou zůstat pouze čtyři různá právě tehdy a jen tehdy, nebo, nebo. Taková znázornění jsou možná, pokud je celý čtverec nebo zdvojnásobený plný čtverec, a navíc může existovat pouze jeden takový příklad :.

Máme tedy následující vzorce:

Pokud ne všechny jsou sudé a

Pokud jsou všechny sudé.

Závěr.

V tomto článku byla studována teorie dělitelnosti v prstenci Gaussových celých čísel a také povaha prvočíselných čísel. Těmto otázkám se věnujeme v prvních dvou kapitolách.

Třetí kapitola se zabývá aplikací Gaussových čísel na řešení známých klasických problémů, jako jsou:

· Otázka možnosti reprezentovat přirozené číslo jako součet dvou čtverců;

· Problém najít počet reprezentací přirozeného čísla jako součet dvou čtverců;

· Nalezení obecných řešení neurčité Pythagorovy rovnice;

stejně jako k řešení Diaphantine rovnice.

Všimněte si také, že práce byla provedena bez použití další literatury.

Podobné dokumenty

Vlastnosti dělitelnosti celých čísel v algebře. Vlastnosti dělení se zbytkem. Základní vlastnosti prvočísel a složených čísel. Dělitelnost několika čísly. Koncepty a metody výpočtu největšího společného dělitele (GCD) a nejméně společného násobku (LCM).

přednáška přidána 5. 7. 2013


Přehled Gaussových kvadraturních vzorců, jejich definice, integrální konstrukce, příklady jasně popisující Gaussovy kvadratury. Vlastnosti použití některých algoritmů, které umožňují sledovat postup řešení problémů pomocí Gaussových kvadraturních vzorců.

test, přidáno 16. 12. 2015


Sčítání a násobení celých čísel p-adic, definované jako sčítání výrazů a násobení sekvencí. Kruh celých čísel p-adic, studium vlastností jejich dělení. Vysvětlení těchto čísel zavedením nových matematických objektů.

semestrální práce přidána 22. 6. 2015


Koncept matice. Gaussova metoda. Druhy matic. Cramerova metoda řešení lineárních systémů. Akce na matice: sčítání, násobení. Řešení soustav lineárních rovnic Gaussovou metodou. Základní transformace systémů. Matematické transformace.

přednáška přidána 06/02/2008


Zákon zachování počtu čísel JDC v přirozené řadě čísel jako princip zpětné vazby čísel v matematice. Struktura přirozených čísel. Izomorfní vlastnosti řady sudých a lichých čísel. Fraktální povaha distribuce prvočísel.

monografie, přidáno 28. 3. 2012


Johann Karl Friedrich Gauss je největším matematikem všech dob. Gaussovy interpolační vzorce, které poskytují přibližné vyjádření funkce y \u003d f (x) pomocí interpolace. Oblasti použití Gaussových vzorců. Hlavní nevýhody Newtonových interpolačních vzorců.

test, přidáno 12. 6. 2014


Rozšířený Euklidův algoritmus, jeho použití k nalezení největšího společného dělitele přirozených čísel pomocí modulu. Matematický problém kalendáře. Euklidovské kruhy - analogy Fibonacciho čísel v kruhu polynomů, jejich vlastnosti.

abstrakt, přidáno 09/25/2009


Vivchennya síly přirozených čísel. Nekonečný počet prvočísel. Síto Eratosthenes. Předchozí základní věty aritmetiky. Asymptotický zákon distribuce prvočísel. Charakteristika algoritmu podle počtu prvočísel na interval.

semestrální práce přidána 27. 7. 2015


Výpočet hodnot komplexních čísel v algebraické, trigonometrické a exponenciální formě. Určuje vzdálenost mezi body v komplexní rovině. Řešení rovnice na množině komplexních čísel. Cramerova, inverzní a Gaussova metoda.

test, přidáno 11/12/2012


Teoretická základna čísla pro konstrukci RNS. Věta o dělení se zbytkem. Euklidův algoritmus. Čínská věta o zbytku a její role v reprezentaci čísel v RNS. Modely modulárního znázornění a paralelního zpracování informací. Modulární operace.

Jak již bylo uvedeno, prstenec má oproti semiringu tu výhodu, že rovnice je v kruhu jedinečně řešitelná a + x \u003d b pro všechny prstenové prvky a a B. To zejména odlišuje kruh celých čísel od semiring přirozených čísel. Schopnost vždy jednoznačně vyřešit takovou rovnici vám umožňuje definovat novou operaci v kruhu - odčítání.

3.1.5. Definice. Nechte prsten dát (NA, + ,?). Pro všechny a, beK definovat b-a jako řešení rovnice a + x \u003d b.Zobrazit KhK -» NAkterý odpovídá jakékoli seřazené dvojici prvků (B\u003e a) živel b-aje nazýván odčítánía prvek b-a volal rozdíl elementy bekot.

Zajistíme přímým ověřením, že prvek B + (-a)je řešení rovnice a + x \u003d b, a z jedinečnosti řešení, které získáme b-a \u003d b + (-a).

Pomocí konceptu rozdílu mezi prvky prstenu zavedeme ještě jednu charakteristiku systému celých čísel, kterou lze také brát jako jeho definici.

3.1.6. Teorém. Systém (K, +, ) je systém celých čísel právě tehdy, když se jedná o prsten obsahující semirování přirozených čísel (N 9 +, ), navíc může být jakýkoli prvek K reprezentován jako rozdílpřírodníčísla, tedy pro libovolné a e K.existujepondělíp E N takový, že a = t -n.

Důkaz. (\u003d\u003e) Nechť K, +,) je systém celých čísel května K. Dokážme, že prvek a představují ve formě

rozdíl přirozených čísel. Podmínkou 2) z definice 3.1.2, K \u003d Z\u003d N ^ j (0) kj-N. EcnuaeN, tedy a \u003d(A+ 1) -1; pokud d g (0), pak a \u003d n-n, Kde n e N; -li e -Npak a = -P a a = 1 - (Str +1).

(К, +,) obsahuje semiring přirozených čísel (N, +,) a jakýkoli prvek z NA představují ve formě

rozdíl přirozených čísel. Dokažme to NA \u003d; Vu (0) u-; V \u003d Z. Podle hypotézy pro libovolné aeK existuje t, n eN takhle a \u003d m-n.Ale pro přirozená čísla t a p jeden a pouze jeden ze vztahů platí: buď t = p + na s nějakým k e Nnebo t = pnebo n \u003d m + 1 pro některé / e N... V prvním případě dostaneme a \u003d m-n \u003d k e N, ve druhém a \u003d m - n \u003d 0 € (0) a ve třetím a = m - n \u003d -le -N. ?

Cvičení

• 1. Uveďte příklady semiringsů, ve kterých je rovnice tvaru a + .v \u003d h ne vždy řešitelné.
• 2. Dokažte, že v kruhu je rovnice a + x - b má pouze jedno řešení.
• 3. Uveďte příklady prstenů: komutativní a nekomutativní, s jednotou nebo bez jednoty, konečné a nekonečné.
• 4. Má přidání v jakémkoli kruhu vlastnost kontraktility (tj. Od a + c \u003d b + c by měl a-b) 1 A násobení (je to vždy od ac \u003d bca z* 0 následuje a \u003d podle\u003e
• 5. Dokažte, že izomorfní obraz prstence celých čísel je prsten celých čísel.
• 6. Říká se, že prsten (NA, +,) s jednotkou e má charakteristiku 0, pokud existuje p Nerovnost ne * 0. Dokažte, že v kruhu charakteristiky 0 podmnožina ( ne | «E Z J je izomorfní podřetězec s kruhem celých čísel. Z toho získáme další definici systému celých čísel, stručnou formou: kruh celých čísel ? toto je minimální charakteristický prsten 0.
• 7. Nechte prsten dát (NA, +,\u003e s jedním e. Živel aeK volal reverzibilnípokud pro ni existuje inverzní prvek ~ ~ takhle a a ~ [\u003d a "a \u003d e. Dokažte, že množina invertibilních prvků prstenu je uzavřena při násobení, patří do 1 a pro každý prvek této sady je v ní inverzní prvek. Kvůli těmto vlastnostem se tato sada nazývá multiplikativní kruhová skupina a označil NA*.Najděte multiplikativní skupiny prstenů (Z, +,\u003e a (? Л +,).
• 8. Dokažte, že průsečík dvou podřetězců je podřetězec. Najděte průsečíky dílčích kroužků 2Z a 3Z, 6Z a 15Z, kZ a mZ.
• 9. Podřetězec // komutativního kruhu (NA, je voláno +,\u003e ideál, pokud vydrží násobení jakýmkoli prvkem prstenu, tj. pokud pro nějaké h E H

a do eK funguje kh a hk patřit H... Dokažte to u všech prvků a, a2 * ... "e LH, nastaveno H = {ka + k2 (tj2 + - + k n a n) je ideální prsten (NA, +,), které je označeno (q, a 2 "-" i n\u003e (číst: ideál generovaný prvky A |, a 2, a"). Když ;; \u003d 1 takový ideál se nazývá hlavní a je označen (a,). Ukaž to mZ je hlavní ideál prstence celých čísel (Z, +,\u003e.

10. Dokažte, že každý ideál je principálem v kruhu celých čísel. (Poznámka e. Pokud H je nenulový ideál kruhu (Z, +,\u003e, pak H = (t)kde t je nejmenší přirozené číslo na Ya.)

Def. Kruh K se nazývá kruh celých čísel, pokud je aditivní skupina kruhu K aditivní skupinou celých čísel a násobení v kruhu K je komutativní a pokračuje v násobení přirozených čísel (v systému N přirozených čísel).

T1.Nech být je aditivní skupina celých čísel, je v ní přirozené násobení a 1 je jednotka systému N přirozených čísel. Potom algebra Z \u003d je kruh celých čísel.

Doc. Ukažme, že algebra Z je komutativní kruh. Hypotézou, algebra - aditivní skupina prstenu - existuje abelianská skupina jako aditivní skupina celých čísel.

Nechť a, b, c jsou libovolné prvky množiny Z. Mohou být reprezentovány jako radost z přirozených čísel. Nechť (1) a \u003d m-n, b \u003d p-q, c \u003d r-s (m, n, p, q, r, sN).

Přirozené násobení v Z je definováno vzorcem (2) a * b \u003d (m-n) * (p-q) \u003d (mp + nq) - (mq + np).

Přirozené násobení je komutativní, protože b * a \u003d (p-q) * (m-n) \u003d (pm + qn) - (pn + qm) a sčítání a násobení přirozených čísel je komutativní.

Přirozené množení je asociativní. Ve skutečnosti na základě (1) a (2) máme:

a * (b * c) \u003d (mn) [(pq) (rs)] \u003d (mn) [(pr + qs) - (ps-qr)] \u003d (mpr + mqs + nps + nqr) - (mps + mqr + npr + nqs);

(a * b) * c \u003d [(mn) (pq)] (rs) \u003d [(mp + nq) - (mq + np)] (rs) \u003d (mpr + nqr + mqs + nps) - (mps + nqs + mqr + npr).

Proto kvůli komutativitě sčítání přirozených čísel platí a * (b * c) \u003d (a * b) * c.

Prvek 1 je neutrální vzhledem k přirozenému množení. Ve skutečnosti pro libovolné a z 2 máme a * 1 \u003d (m-n) (1-0) \u003d m * 1-n * 1 \u003d m-n \u003d a.

Proto algebra je komutativní monoid.

Def. Pokud pro celá čísla a a b existuje přirozené číslo k takové, že a + k \u003d b a k 0, pak říkají, že „a je menší než nebo b“, a napište a b právě když b

T2. Nechť Z \u003d kruh celých čísel. Pak: 1) pro všechna celá čísla a a b je splněna jedna a pouze jedna ze tří podmínek: a

2) pro jakékoli celé číslo a je splněna jedna a pouze jedna ze tří podmínek: a<0, a=0, 0

3) postoj< монотонно относительно сложения, т.е. для любых целых a, bи c

a

4) postoj<монотонно относительно умножения, т.е. для любых целых a, bи с

pokud 0, pak stříd

T. na rozdělení se zbytkem. Nechť a je celé číslo a b nenulové kladné celé číslo. Rozdělit číslo aab na zbytek znamená reprezentovat jej jako a \u003d bq + r, kde 0 r

Dělení se zbytkem je vždy možné a neúplný kvocient a zbytek jsou jednoznačně určeny dividendou a dělitelem.

T. Pro všechna celá čísla a, b pro b\u003e 0 existuje jedinečná dvojice celých čísel q a r splňující podmínky: (1) a \u003d bq + r a 0 r

Doc. Dokážme, že existuje alespoň jeden pár čísel q, r splňující podmínky (1). Nejprve zvažte případ, kdy a je přirozené číslo. Opravte ba dokázejte indukcí na a, že (2) existuje dvojice celých čísel q, r splňující (1).

Pro a \u003d 0 je prohlášení (2) true, protože 0 \u003d b * 0 + 0. Předpokládejme, že (2) platí pro a \u003d n, tj. existují celá čísla q, r taková, že (3) n \u003d bq + r a 0 r

Největší společný dělitel. Celé číslo c se nazývá společný dělitel celých čísel a 1,…, a n, pokud existuje dělitel každého z těchto čísel.

Def. Největší společný dělitel celých čísel a 1,…, a n je jejich společný dělitel, který je dělitelný jakýmkoli společným dělitelem těchto čísel.

Celá čísla 1,…, a n se nazývají coprime, pokud se jejich největší společný dělitel rovná jedné.

GCD čísel a 1, ..., a n je označeno gcd (a 1, ..., a n), pozitivní gcd těchto čísel je označeno uzlem (a 1, ..., a n).

Další 1. Pokud d je GCD celých čísel a 1,…, a n, pak se množina všech běžných dělitelů těchto čísel shoduje se sadou všech dělitelů d.

Další 2. Jakákoli dvě GCD celých čísel a 1, ..., a n jsou spojena, tj. se mohou lišit pouze znakem. Pokud d je GCD čísel a 1, ..., a n, pak číslo (-d) je také GCD těchto čísel.

Euklidův algoritmus. Způsob, jak najít gcd dvou celých čísel.

Věta. Nechť a a b jsou dvě celá čísla, b ≠ 0 a (1) a \u003d bq + r (0 r<|b|).

Pak uzel (a, b) \u003d uzel (b, r).

Doc. Z (1) vyplývá, že jakýkoli společný dělitel čísel a a b je dělitelem čísla r \u003d a-bq a jakýkoli společný dělitel čísel b a r je dělitelem čísla a. Proto se množina všech běžných dělitelů čísel aab shoduje se množinou všech běžných dělitelů čísel b a r. Z toho tedy vyplývá, že kladný společný dělitel čísel a a b se shoduje s kladným společným dělitelem čísel b a r, tj. uzel (a, b) \u003d uzel (b, r).

Pokud b | a, kde b≥1, pak zjevně uzel (a, b) \u003d b. Chcete-li najít uzly dvou celých čísel, použijte metodu „sekvenčního dělení“, která se nazývá euklidovský algoritmus. Podstata této metody spočívá v tom, že na základě výše dokázaného návrhu se problém hledání uzlů čísel a a b redukuje na jednodušší problém hledání uzlů čísel b a r, kde 0≤r<|b|. Если r=0, то нод(a,b)=b. Если же r≠0, то рассуждения повторяем, отправляясь от bи r. В результате получим цепочку равенств.

Pokud a \u003d 0, pak b \u003d 0 * c \u003d 0 a věta je pravdivá. Pokud a ≠ 0, pak z (1) vyplývá cd \u003d 1. Z věty vyplývá z rovnosti cd \u003d 1, že d \u003d 1. Navíc, a \u003d bd; tedy a \u003d b. Osvědčený.

Nejmenší společný násobek. Celé číslo se nazývá společný násobek celých čísel a 1,…, a n, pokud je dělitelné každým z těchto čísel.

Def. Nejmenší společný násobek celých čísel a 1,…, a n je jejich společný násobek, který rozděluje jakýkoli společný násobek těchto čísel. Obecně: LCM (a 1, ..., a n). Kladný nejméně běžný násobek čísel a 1,…, n, nenulový, skrz.

Sl-e. Jakákoli dvě nejméně běžná vícenásobná celá čísla a 1,…, a n jsou přidružena k Z, tj. se mohou lišit pouze znakem. Pokud je číslo m LCM (a 1, ..., a n), pak číslo (-m) je LCM (a 1, ..., a n).

Sl-e. Pokud je m nejmenší společný násobek čísel a 1,…, a n, pak se množina všech běžných násobků těchto čísel shoduje se množinou všech násobků m.

V různých oborech matematiky i při aplikaci matematiky v technologii často dochází k situaci, kdy se algebraické operace neprovádějí na číslech, ale na objektech jiné povahy. Například sčítání matic, násobení matic, sčítání vektorů, operace s polynomy, operace s lineárními transformacemi atd.

Definice 1. Prsten je sada matematických objektů, ve kterých jsou definovány dvě akce - „sčítání“ a „násobení“, které porovnávají uspořádané dvojice prvků s jejich „součtem“ a „součinem“, což jsou prvky stejné množiny. Tyto akce splňují následující požadavky:

1. a + b \u003d b + a (komutovatelnost sčítání).

2. (a + b) + c \u003d a + (b + c) (asociativita sčítání).

3. Existuje nulový prvek 0 takový, že a+0=a, pro všechny a.

4. Pro kohokoli a existuje opačný prvek - a takhle a+(−a)=0.

5. (a + b) c \u003d ac + bc (vlevo distribuční).

5". c (a + b) \u003d ca + cb (správná distribuce).

Požadavky 2, 3, 4 znamenají, že množina matematických objektů tvoří skupinu a spolu s položkou 1 máme co do činění s komutativní (abelianskou) skupinou s ohledem na sčítání.

Jak je patrné z definice, v obecné definici prstenu nejsou na množení kladena žádná omezení, s výjimkou distributivity s přidáním. V různých situacích je však nutné zvážit prsteny s dalšími požadavky.

6. (ab) c \u003d a (bc)(asociativita násobení).

7. ab \u003d ba (komutativita násobení).

8. Existence jediného prvku 1, tj. takový a1 \u003d 1 a \u003d a, pro libovolný prvek a.

9. Pro jakýkoli prvek prvku a inverzní existuje a -1 takové, že aa −1 =a −1 a \u003d1.

V různých kroužcích 6, 7, 8, 9 lze provádět samostatně i v různých kombinacích.

Kroužek se nazývá asociativní, pokud je splněna podmínka 6, komutativní, pokud je splněna podmínka 7, komutativní a asociativní, pokud jsou splněny podmínky 6 a 7. Kroužek se nazývá prsten s jednotkou, pokud je splněna podmínka 8.

Příklady prstenů:

1. Spousta čtvercových matic.

Opravdu. Plnění bodů 1-5, 5 "je zřejmé. Nulovým prvkem je nulová matice. Kromě toho se provádí bod 6 (asociativita násobení), bod 8 (matice identity je jednotkový prvek). Body 7 a 9 se neprovádějí, protože v obecném případě násobení čtvercové matice nejsou komutativní a inverze čtvercové matice nemusí vždy existovat.

2. Sada všech komplexních čísel.

3. Sada všech reálných čísel.

4. Sada všech racionálních čísel.

5. Sada všech celých čísel.

Definice 2. Je volána jakákoli soustava čísel obsahující součet, rozdíl a součin libovolných dvou jejích čísel číselný prsten.

Příklady 2-5 jsou číselná zazvonění. Číselné kroužky jsou také všechna sudá čísla, stejně jako všechna celá čísla dělitelná beze zbytku přirozeným číslem n. Všimněte si, že sada lichých čísel není od té doby vyzváněním součet dvou lichých čísel je sudé číslo.

Definice:

Součet a součin celých čísel p-adic určených sekvencemi a nazývají se celá čísla p-adic určená sekvencemi, resp.

Abychom si byli jisti správností této definice, musíme dokázat, že posloupnosti a definovat některá celá čísla - adická čísla a že tato čísla závisí pouze na, a ne na výběru definujících posloupností. Obě tyto vlastnosti jsou prokázány zřejmým ověřením.

Je zřejmé, že vzhledem k definici akcí na celá čísla - adická čísla tvoří komunikační kruh obsahující kruh racionálních celých čísel jako podřetězce.

Dělitelnost celých čísel - adická čísla se určuje stejným způsobem jako v jakémkoli jiném kruhu: pokud existuje celé číslo - adické číslo takové, že

Pro studium vlastností dělení je důležité vědět, jaká jsou celá čísla - adická čísla, pro která existují inverzní celá čísla - adická čísla. Taková čísla se nazývají dělitele nebo jedničky. Budeme jim říkat - adické jednotky.

Věta 1:

Celé číslo je adické číslo definované posloupností právě tehdy, když je jednotkou kdy.

Důkaz:

Let je jednotka, pak existuje celé číslo - adické číslo takové, že. Pokud je definována posloupností, pak podmínka znamená, že. Zejména, a tedy, naopak, ať to snadno vyplývá z podmínky, že tak, že. Proto pro libovolné n lze najít takové, že srovnání je platné. Od té doby. To znamená, že posloupnost definuje celé číslo - adické číslo. Srovnání ukazují, že tj. což je jednotka.

Z prokázané věty vyplývá, že celé číslo je racionální číslo. Považuje se za prstenový prvek právě tehdy, když je jednotkou kdy. Pokud je tato podmínka splněna, je obsažena v. Z toho tedy vyplývá, že každé racionální celé číslo b je dělitelné takovým in, tj. že jakékoli racionální číslo ve tvaru b / a, kde a a b jsou celá čísla a je obsaženo v Racionálních číslech tohoto tvaru, se nazývá -integer. Zjevným způsobem tvoří prsten. Výsledek, který jsme získali, lze nyní formulovat následovně:

Důsledek:

Kruh celých čísel adic obsahuje podřetězec isomorfní k kruhu racionálních celých čísel.

Zlomková čísla p-adic

Definice:

Zlomek tvaru, k\u003e \u003d 0 definuje zlomkové p -adické číslo nebo jen p -adické číslo. Dvě zlomky a definují stejné p -adické číslo, pokud je v.

Shromáždění všech p -adických čísel označuje p. Je snadné ověřit, že operace sčítání a násobení pokračují od p do p a přemění p na pole.

2.9. Teorém. Jakékoli p -adické číslo je ve formuláři jedinečně znázorněno

kde m je celé číslo a a je jednotka kruhu p.

2.10. Teorém. Jakékoli nenulové p -adické číslo je ve formuláři jedinečně znázorněno

Vlastnosti: Pole p-adic čísel obsahuje pole racionálních čísel. Není obtížné dokázat, že jakékoli p-adické celé číslo, ne násobek p, je v kruhu p reverzibilní a násobek p je jednoznačně zapsán ve formě, kde x není násobkem p, a proto je reverzibilní, ale. Proto může být jakýkoli nenulový prvek pole p zapsán ve formě, kde x není násobkem p, ale jakýkoli m; je-li m záporné, pak na základě reprezentace celých čísel p-adic jako posloupnosti číslic v systému čísel p-ary můžeme takové číslo p-adic napsat jako sekvenci, tj. formálně jej představovat jako zlomek p-adic s konečnou počet desetinných míst a případně nekonečný počet nenulových desetinných míst. Rozdělení takových čísel lze také provést podobně jako u „školního“ pravidla, ale počínaje nejnižšími, nikoli nejvyššími číslicemi čísla.