2) [] × [ ] = [].

Důkaz: Použijte definici ekvivalence párů:

@ ó c + d 1 \u003d d + c 1 (2).

Přidáním rovnosti (1) a (2) po jednotlivých bodech dostaneme:

a + b 1 + c + d 1 \u003d b + a 1 + d + c 1.

Všechny výrazy v poslední rovnosti jsou přirozená čísla, takže máme právo použít komutativní a asociativní zákony sčítání, což nás vede k rovnosti

(a + c) + (b 1 + d 1) \u003d (b + d) + (a 1 + c 1),

Abychom dokázali správnost násobení, vynásobíme rovnost (1) c, dostaneme:

ac + b 1 c \u003d bc + a 1 c.

Potom přepíšeme rovnost (1) jako b + a 1 \u003d a + b 1 a vynásobíme d:

bd + a 1 d \u003d reklama + b 1 d.

Přidejme výsledné rovnosti po jednotlivých úsecích:

ac + bd + a 1 d + b 1 c \u003d bc + ad + b 1 d + a 1 c,

Pak uděláme stejný postup s rovností (2), pouze to vynásobíme 1 a b 1. Dostaneme:

a 1 c + a 1 d 1 \u003d a 1 d + a 1 c 1

b 1 d + b 1 c 1 \u003d b 1 c + b 1 d 1,

a 1 c + b 1 d + b 1 c 1 + a 1 d 1 \u003d a 1 d + b 1 d + b 1 c 1 + a 1 c 1 ó

Je tedy prokázána správnost zavedených definic.

Dále jsou přímo kontrolovány všechny vlastnosti prstenů: asociativní zákon sčítání a násobení pro třídy párů, komutativní zákon sčítání a distributivní zákony. Uveďme jako příklad důkaz asociativního zákona sčítání:

Protože všechny komponenty párů jsou přirozená čísla

= <(a + c), (b + d)> + = ( + ) +.

Zbytek zákonů se kontroluje podobným způsobem (užitečným trikem může být samostatná transformace levé a pravé strany požadované rovnosti na stejnou formu).

Je také nutné prokázat přítomnost neutrálního doplňkového prvku. Může to být třída dvojic formuláře [<с, с>]. Opravdu,

a + c + b \u003d b + c + a (platí pro libovolná přirozená čísla).

Navíc pro každou třídu párů [ ] existuje opak. Tato třída bude třídou [ ]. Opravdu,

Lze také dokázat, že zavedená množina tříd dvojic je komutativní prsten s jednotou (třída dvojic [ ]) a že pro jejich obrázky v tomto modelu jsou zachovány všechny podmínky pro definice operací sčítání a násobení pro přirozená čísla. Zejména je rozumné zavést následující prvek pro přirozený pár podle pravidla:

Zkontrolujme pomocí tohoto pravidla platnost podmínek C1 a C2 (z definice sčítání přirozených čísel). Podmínka C1 (a + 1 \u003d a /) bude v tomto případě přepsána jako:

a + c / + b \u003d a + b + 1 + c \u003d b + c + a +1 \u003d b + c + a /

(opět si připomínáme, že všechny komponenty jsou přirozené).

Podmínka C2 bude vypadat takto:

[] + [] / = ([] + []) / .

Transformujeme odděleně levou a pravou stranu této rovnosti:

Vidíme tedy, že levá a pravá strana jsou si rovny, což znamená, že podmínka C2 je pravdivá. Čtečce je poskytnut důkaz o stavu U1. podmínka Y2 je důsledkem distributivního zákona.

Byl tedy sestaven model prstence celých čísel, a proto je axiomatická teorie celých čísel konzistentní, pokud je konzistentní axiomatická teorie přirozených čísel.

Vlastnosti operace celého čísla:

2) a × (–b) \u003d –a × b \u003d - (ab)

3) - (- a) \u003d a

4) (–a) × (–b) \u003d ab

5) a × (–1) \u003d - a

6) a - b \u003d - b + a \u003d - (b - a)

7) - a - b \u003d - (a + b)

8) (a - b) × c \u003d ac - bc

9) (a - b) - c \u003d a - (b + c)

10) a - (b - c) \u003d a - b + c.

Důkazy všech vlastností opakují důkazy odpovídajících vlastností prstenů.

1) a + a × 0 \u003d a × 1 + a × 0 \u003d a × (1 + 0) \u003d a × 1 \u003d a, tj. A × 0 je neutrální sčítací prvek.

2) a × (–b) + ab \u003d a (–b + b) \u003d a × 0 \u003d 0, tj. Prvek a × (–b) je naproti prvku a × b.

3) (- a) + a \u003d 0 (podle definice opačného prvku). Podobně (- a) + (- (- a)) \u003d 0. Rovnicí levé strany rovnosti a použitím zákona o zrušení dostaneme - (- a) \u003d a.

4) (–a) × (–b) \u003d - (a × (–b)) \u003d - (- (a × b)) \u003d ab.

5) a × (–1) + a \u003d a × (–1) + a × 1 \u003d a × (–1 + 1) \u003d a × 0 \u003d 0

a × (–1) + a \u003d 0

a × (–1) \u003d –а.

6) Podle definice je rozdíl a - b číslo x takové, že a \u003d x + b. Přidáním levé a pravé strany rovnosti –b vlevo a pomocí komutativního zákona získáme první rovnost.

- b + a + b - a \u003d –b + b + a - a \u003d 0 + 0 \u003d 0, což dokazuje druhou rovnost.

7) - a - b \u003d - 1 × a - 1 × b \u003d –1 × (a + b) \u003d - (a + b).

8) (a - b) × c \u003d (a + (- 1) × b) × c \u003d ac + (- 1) × bc \u003d ac - bc

9) (a - b) - c \u003d x,

a - b \u003d x + c,

a - (b + c) \u003d x, to znamená

(a - b) - c \u003d a - (b + c).

10) a - (b - c) \u003d a + (- 1) × (b - c) \u003d a + (- 1 × b) + (–1) × (- c) \u003d a - 1 × b + 1 × c \u003d \u003d a - b + c.

Svépomocné úkoly

Č. 2.1. V pravém sloupci tabulky vyhledejte páry ekvivalentní těm, které jsou uvedeny v levém sloupci tabulky.

U každého páru uveďte jeho opak.

Č. 2.2. Vypočítat

a) [<1, 5>] + [ <3, 2>]; b) [<3, 8>] + [<4, 7>];

v) [<7, 4>] – [<8, 3>]; d) [<1, 5>] – [ <3, 2>];

e) [<1, 5>] × [ <2, 2>]; f) [<2, 10>]× [<10, 2>].

Č. 2.3. U modelu celých čísel popsaného v této části zkontrolujte komutativní zákon sčítání, asociativní a komutativní zákony násobení a distributivní zákony.

Definice:

Součet a součin celých čísel p-adic určených sekvencemi a nazývají se celá čísla p-adic určená sekvencemi, resp.

Abychom si byli jisti správností této definice, musíme dokázat, že posloupnosti a definovat některá celá čísla - adická čísla a že tato čísla závisí pouze na, a ne na výběru definujících posloupností. Obě tyto vlastnosti jsou prokázány zřejmým ověřením.

Je zřejmé, že vzhledem k definici akcí na celá čísla - adická čísla tvoří komunikační kruh obsahující kruh racionálních celých čísel jako podřetězce.

Dělitelnost celých čísel - adická čísla se určuje stejným způsobem jako v jakémkoli jiném kruhu: pokud existuje celé číslo - adické číslo takové, že

Pro studium vlastností dělení je důležité vědět, jaká jsou celá čísla - adická čísla, pro která existují inverzní celá čísla - adická čísla. Taková čísla se nazývají dělitele nebo jedničky. Budeme jim říkat - adické jednotky.

Věta 1:

Celé číslo je adické číslo definované posloupností právě tehdy, když je jednotkou kdy.

Důkaz:

Let je jednotka, pak existuje celé číslo - adické číslo takové, že. Pokud je definována posloupností, pak to podmínka znamená. Zejména, a tedy, naopak, ať to snadno vyplývá z podmínky, že tak, že. Proto pro libovolné n lze najít takové, že srovnání je platné. Od té doby. To znamená, že posloupnost definuje celé číslo - adické číslo. Srovnání ukazují, že tj. což je jednotka.

Z prokázané věty vyplývá, že racionální celé číslo. Považováno za prvek prstenu právě tehdy, když je jednotkou kdy. Pokud je tato podmínka splněna, je obsažena v. To znamená, že každé racionální celé číslo b je dělitelné takovým in, tj. že jakékoli racionální číslo ve tvaru b / a, kde a a b jsou celá čísla a je obsaženo v Racionálních číslech tohoto tvaru, se nazývá -integer. Zjevným způsobem tvoří prsten. Výsledek, který jsme získali, lze nyní formulovat následovně:

Důsledek:

Kruh celých čísel adic obsahuje podřetězec isomorfní k kruhu racionálních celých čísel.

Zlomková čísla p-adic

Definice:

Zlomek tvaru, k\u003e \u003d 0 definuje zlomkové p -adické číslo nebo jen p -adické číslo. Dvě zlomky a definují stejné p -adické číslo, pokud je v.

Shromáždění všech p -adických čísel označuje p. Je snadné ověřit, že operace sčítání a násobení pokračují od p do p a přemění p na pole.

2.9. Teorém. Jakékoli p -adické číslo je ve formuláři jedinečně zastoupeno

kde m je celé číslo a je jednotkou kruhu p.

2.10. Teorém. Jakékoli nenulové p -adické číslo je ve formuláři jedinečně znázorněno

Vlastnosti: Pole p-adic čísel obsahuje pole racionálních čísel. Není obtížné dokázat, že jakékoli p-adické celé číslo, nikoli násobek p, je v kruhu p reverzibilní a násobek p je jednoznačně zapsán ve formě, kde x není násobkem p, a proto je reverzibilní, ale. Proto může být jakýkoli nenulový prvek pole p zapsán ve formě, kde x není násobkem p, ale jakýkoli m; je-li m záporné, pak na základě reprezentace celých čísel p-adic jako posloupnosti číslic v systému čísel p-ary můžeme takové číslo p-adic napsat jako sekvenci, tj. formálně jej představovat jako zlomek p-adic s konečnou počet desetinných míst a případně nekonečný počet nenulových desetinných míst. Rozdělení takových čísel lze také provést podobně jako u „školního“ pravidla, ale počínaje nejnižšími, nikoli nejvyššími číslicemi čísla.

Def. Kruh K se nazývá kruh celých čísel, pokud je aditivní skupina kruhu K aditivní skupinou celých čísel a násobení v kruhu K je komutativní a pokračuje v násobení přirozených čísel (v systému N přirozených čísel).

T1.Nechat je aditivní skupina celých čísel, je v ní přirozené násobení a 1 je jednotka systému N přirozených čísel. Potom algebra Z \u003d je kruh celých čísel.

Doc. Ukažme, že algebra Z je komutativní kruh. Hypotézou, algebra - aditivní skupina prstenu - existuje abelianská skupina jako aditivní skupina celých čísel.

Nechť a, b, c jsou libovolné prvky množiny Z. Mohou být reprezentovány jako radost z přirozených čísel. Nechť (1) a \u003d m-n, b \u003d p-q, c \u003d r-s (m, n, p, q, r, sN).

Přirozené násobení v Z je definováno vzorcem (2) a * b \u003d (m-n) * (p-q) \u003d (mp + nq) - (mq + np).

Přirozené násobení je komutativní, protože b * a \u003d (p-q) * (m-n) \u003d (pm + qn) - (pn + qm) a sčítání a násobení přirozených čísel je komutativní.

Přirozené množení je asociativní. Ve skutečnosti na základě (1) a (2) máme:

a * (b * c) \u003d (mn) [(pq) (rs)] \u003d (mn) [(pr + qs) - (ps-qr)] \u003d (mpr + mqs + nps + nqr) - (mps + mqr + npr + nqs);

(a * b) * c \u003d [(mn) (pq)] (rs) \u003d [(mp + nq) - (mq + np)] (rs) \u003d (mpr + nqr + mqs + nps) - (mps + nqs + mqr + npr).

Proto kvůli komutativitě sčítání přirozených čísel platí a * (b * c) \u003d (a * b) * c.

Prvek 1 je neutrální vzhledem k přirozenému množení. Ve skutečnosti pro libovolné a z 2 máme a * 1 \u003d (m-n) (1-0) \u003d m * 1-n * 1 \u003d m-n \u003d a.

Proto algebra je komutativní monoid.

Def. Pokud pro celá čísla a a b existuje přirozené číslo k takové, že a + k \u003d b a k 0, pak řeknou, že „a je menší než nebo b“, a napíše a b právě tehdy, když b

T2. Nechť Z \u003d kruh celých čísel. Pak: 1) pro všechna celá čísla a a b je splněna jedna a pouze jedna ze tří podmínek: a

2) pro jakékoli celé číslo a je splněna jedna a pouze jedna ze tří podmínek: a<0, a=0, 0

3) postoj< монотонно относительно сложения, т.е. для любых целых a, bи c

a

4) postoj<монотонно относительно умножения, т.е. для любых целых a, bи с

pokud 0, pak stříd

T. na rozdělení se zbytkem. Nechť a je celé číslo a b nenulové přirozené číslo. Rozdělit číslo aab na zbytek znamená reprezentovat jej jako a \u003d bq + r, kde 0 r

Rozdělení se zbytkem je vždy možné a neúplný kvocient a zbytek jsou jednoznačně určeny dividendou a dělitelem.

T. Pro všechna celá čísla a, b pro b\u003e 0 existuje jedinečná dvojice celých čísel q a r splňující podmínky: (1) a \u003d bq + r a 0 r

Doc. Dokážme, že existuje alespoň jeden pár čísel q, r splňující podmínky (1). Nejprve zvažte případ, kdy a je přirozené číslo. Opravte ba dokázejte indukcí na a, že (2) existuje dvojice celých čísel q, r splňující (1).

Pro a \u003d 0 platí prohlášení (2), protože 0 \u003d b * 0 + 0. Předpokládejme, že (2) platí pro a \u003d n, tj. existují celá čísla q, r taková, že (3) n \u003d bq + r a 0 r

Největší společný dělitel. Celé číslo c se nazývá společný dělitel celých čísel a 1,…, a n, pokud existuje dělitel každého z těchto čísel.

Def. Největší společný dělitel celých čísel a 1,…, a n je jejich společný dělitel, který je dělitelný jakýmkoli společným dělitelem těchto čísel.

Celá čísla 1,…, a n se nazývají coprime, pokud se jejich největší společný dělitel rovná jedné.

GCD čísel a 1, ..., a n je označeno gcd (a 1, ..., a n), pozitivní gcd těchto čísel je označeno uzlem (a 1, ..., a n).

Další 1. Pokud d je GCD celých čísel a 1,…, a n, pak se množina všech běžných dělitelů těchto čísel shoduje se sadou všech dělitelů d.

Další 2. Jakákoli dvě GCD celých čísel a 1, ..., a n jsou přidružena, tj. se mohou lišit pouze znakem. Pokud d je GCD čísel a 1, ..., a n, pak číslo (-d) je také GCD těchto čísel.

Euklidův algoritmus. Způsob, jak najít gcd dvou celých čísel.

Věta. Nechť a a b jsou dvě celá čísla, b ≠ 0 a (1) a \u003d bq + r (0 r<|b|).

Pak uzel (a, b) \u003d uzel (b, r).

Doc. Z (1) vyplývá, že jakýkoli společný dělitel čísel a a b je dělitelem čísla r \u003d a-bq a jakýkoli společný dělitel čísel b a r je dělitelem čísla a. Proto se množina všech běžných dělitelů čísel aab shoduje se množinou všech běžných dělitelů čísel b a r. Z toho vyplývá, že kladný společný dělitel čísel a a b se shoduje s kladným společným dělitelem čísel b a r, tj. uzel (a, b) \u003d uzel (b, r).

Pokud b | a, kde b≥1, pak zjevně uzel (a, b) \u003d b. Chcete-li najít uzly dvou celých čísel, použijte metodu „sekvenčního dělení“, která se nazývá euklidovský algoritmus. Podstata této metody spočívá v tom, že na základě výše uvedeného návrhu se problém hledání uzlů čísel a a b redukuje na jednodušší problém hledání uzlů čísel b a r, kde 0≤r<|b|. Если r=0, то нод(a,b)=b. Если же r≠0, то рассуждения повторяем, отправляясь от bи r. В результате получим цепочку равенств.

Pokud a \u003d 0, pak b \u003d 0 * c \u003d 0 a věta je pravdivá. Pokud a ≠ 0, pak z (1) vyplývá cd \u003d 1. Z věty vyplývá z rovnosti cd \u003d 1, že d \u003d 1. Navíc, a \u003d bd; tedy a \u003d b. Osvědčený.

Nejmenší společný násobek. Celé číslo se nazývá společný násobek celých čísel a 1, ..., a n, pokud je dělitelné každým z těchto čísel.

Def. Nejmenší společný násobek celých čísel a 1,…, a n je jejich společný násobek, který rozděluje jakýkoli společný násobek těchto čísel. Obecně: LCM (a 1, ..., a n). Kladný nejmenší společný násobek čísel a 1,…, a n, jiný než nula, prošel.

Sl-e. Jakákoli dvě nejméně běžná vícenásobná celá čísla a 1,…, a n jsou spojena v Z, tj. se mohou lišit pouze znakem. Pokud je číslo m LCM (a 1, ..., a n), pak číslo (-m) je LCM (a 1, ..., a n).

Sl-e. Pokud je m nejmenší společný násobek čísel a 1,…, a n, pak se množina všech běžných násobků těchto čísel shoduje se množinou všech násobků m.

Příklady

• Obecněji pro jakékoli celé číslo bez čtverce d (\\ Displaystyle d) Q (d) (\\ Displaystyle \\ mathbb (Q) ((\\ sqrt (d)))) bude rozšíření kvadratického pole Q (\\ Displaystyle \\ mathbb (Q)).
• Kruhové pole Q (ζ n) (\\ Displaystyle \\ mathbb (Q) (\\ zeta _ (n))) získá se přidáním do Q (\\ Displaystyle \\ mathbb (Q)) primitivní kořen nth stupeň jednoho. Pole musí také obsahovat všechny jeho stupně (tj. Všechny kořeny) n-tý stupeň jednoty), její rozměr přes Q (\\ Displaystyle \\ mathbb (Q)) se rovná Eulerově funkci φ (n) (\\ Displaystyle \\ varphi (n)).
• Reálná a komplexní čísla mají nekonečný stupeň nad racionálními čísly, nejde tedy o numerická pole. To vyplývá z nespočtu: jakékoli numerické pole je počítatelné.
• Pole všech algebraických čísel A (\\ Displaystyle \\ mathbb (A)) není číselné. Ačkoli expanze A ⊃ Q (\\ Displaystyle \\ mathbb (A) \\ supset \\ mathbb (Q)) algebraické, není to konečné.

Pole čísel v kruhu celých čísel

Protože číselné pole je algebraickým rozšířením pole Q (\\ Displaystyle \\ mathbb (Q)), kterýkoli z jeho prvků je kořenem nějakého polynomu s racionálními koeficienty (to znamená, že je algebraický). Kromě toho je každý prvek kořenem polynomu s celočíselnými koeficienty, protože všechny racionální koeficienty lze vynásobit součinem jmenovatelů. Pokud je daný prvek kořenem nějakého jednotného polynomu s celočíselnými koeficienty, nazývá se celočíselný prvek (nebo algebraické celé číslo). Ne všechny prvky číselného pole jsou celé číslo: je například snadné ukázat, že jediné celočíselné prvky Q (\\ Displaystyle \\ mathbb (Q)) jsou obyčejná celá čísla.

Lze dokázat, že součet a součin dvou algebraických celých čísel je opět algebraické celé číslo, takže celočíselné prvky tvoří podřetězec číselného pole K (\\ Displaystyle K)volala kruh celých čísel pole K (\\ Displaystyle K) a označil. Pole neobsahuje nulové dělitele a tato vlastnost se zdědí při přechodu na podřetězec, proto je celé číslo celé; pole soukromého kruhu O K (\\ Displaystyle (\\ mathcal (O)) _ (K)) je samotné pole K (\\ Displaystyle K)... Kruh celých čísel libovolného číselného pole má následující tři vlastnosti: je integrálně uzavřený, noetherovský a jednorozměrný. Komutativní prsten s takovými vlastnostmi se nazývá Dedekindův prsten na počest Richarda Dedekinda.

Rozklad na prvočíslo a skupinu tříd

Libovolný prsten Dedekindu také obsahuje jedinečný rozklad nenulových ideálů na produkt prvočísel. Ne každý kruh celých čísel však splňuje vlastnost faktoriálnosti: již pro kruh celých čísel kvadratického pole OQ (- 5) \u003d Z [- 5] (\\ Displaystyle (\\ mathcal (O)) _ (\\ mathbb (Q) ((\\ sqrt (-5)))) \u003d \\ mathbb (Z) [(\\ sqrt ( -5))]) rozklad není jedinečný:

Zavedením normy na tomto kruhu lze ukázat, že tyto expanze jsou opravdu odlišné, to znamená, že nelze získat od druhé násobením invertibilním prvkem.

Stupeň narušení faktoriální vlastnosti se měří pomocí skupiny ideálních tříd; tato skupina pro kruh celých čísel je vždy konečná a její pořadí se nazývá počet tříd.

Číselné základny polí

Celý základ

Celý základ číselné pole F stupeň n je hodně

z n prvky kruhu celočíselných polí Ftakový, že jakýkoli prvek kruhu celých čísel O F pole F lze zapsat jediným způsobem jako Z-lineární kombinace prvků B; to znamená pro všechny x z O F existuje pouze jeden rozklad

kde m i jsou obyčejná celá čísla. V tomto případě libovolný prvek F lze psát jako

kde m i jsou racionální čísla. Po tom celé prvky F se vyznačují vlastností, že se jedná přesně o prvky, pro které všechny m i Celý.

Pomocí nástrojů, jako je lokalizace a Frobeniova endomorfismus, lze vytvořit takový základ pro jakékoli pole čísel. Jeho konstrukce je integrovanou funkcí v mnoha systémech počítačové algebry.

Silový základ

Nechat F - číselné silové pole n... Mezi všemi možnými základnami F (tak jako Q-vector space), existují energetické základny, tj. základny formy

pro některé x ∈ F... Podle věty o primitivním prvku, např x vždy existuje, nazývá se to primitivní prvek toto rozšíření.

Hodnotit a sledovat

Algebraické číselné pole je konečný trojrozměrný vektorový prostor Q (\\ Displaystyle \\ mathbb (Q)) (jeho rozměr označíme n (\\ Displaystyle n)) a násobení libovolným prvkem pole je lineární transformací tohoto prostoru. Nechat e 1, e 2,… e n (\\ Displaystyle e_ (1), e_ (2), \\ ldots e_ (n)) - nějaký základ F, pak transformace x ↦ α x (\\ Displaystyle x \\ mapsto \\ alpha x) odpovídá matici A \u003d (a já j) (\\ Displaystyle A \u003d (a_ (ij)))definováno podmínkou

α e i \u003d ∑ j \u003d 1 n a i j e j, a i j ∈ Q. (\\ Displaystyle \\ alpha e_ (i) \u003d \\ součet _ (j \u003d 1) ^ (n) a_ (ij) e_ (j), \\ quad a_ (ij) \\ v \\ mathbf (Q).)

Prvky této matice závisí na volbě základny, ale všechny maticové invarianty, jako je determinant a stopa, na ní nezávisí. V kontextu algebraických rozšíření se nazývá determinant matice násobení prvků normou tohoto prvku (označeno N (X) (\\ Displaystyle N (x))); stopa matice - další prvek (označeno Tr (X) (\\ Displaystyle (\\ text (Tr)) (x))).

Stopa prvku je lineární funkční F:

Norma je multiplikativní a homogenní funkce:

Jako počáteční základ můžete zvolit celočíselný základ, násobení celočíselným algebraickým číslem (tj. Prvkem kruhu celých čísel) v tomto základu bude odpovídat matici s celočíselnými prvky. V důsledku toho jsou stopa a norma jakéhokoli prvku kruhu celých čísel celá čísla.

Příklad použití normy

Nechat d (\\ Displaystyle d) - je celočíselný prvek, protože je kořenem redukovaného polynomu X 2 - d (\\ Displaystyle x ^ (2) -d)). Na tomto základě vynásobení a + b d (\\ Displaystyle a + b (\\ sqrt (d))) odpovídá matici

Proto, N (a + b d) \u003d a 2 - d b 2 (\\ Displaystyle N (a + b (\\ sqrt (d))) \u003d a ^ (2) -db ^ (2))... Tato norma přebírá celočíselné hodnoty na prvcích kruhu. Normou je homomorfismus multiplikativní skupiny Z [d] (\\ Displaystyle \\ mathbb (Z) [(\\ sqrt (d))]) na multiplikativní skupinu Z (\\ Displaystyle \\ mathbb (Z)), proto se norma vratných prvků prstence může rovnat pouze 1 (\\ Displaystyle 1) nebo - 1 (\\ Displaystyle -1)... Vyřešit Pellovu rovnici a 2 - d b 2 \u003d 1 (\\ Displaystyle a ^ (2) -db ^ (2) \u003d 1), stačí najít všechny invertibilní prvky kruhu celých čísel (nazývaných také vyzváněcí jednotky) a vyberte z nich ty, kteří mají normu 1 (\\ Displaystyle 1)... Podle věty o Dirichletových jednotkách jsou všechny invertibilní prvky daného kruhu mocninami jednoho prvku (až do násobení - 1 (\\ Displaystyle -1)), proto k nalezení všech řešení Pellovy rovnice stačí najít jedno základní řešení.

viz také

Literatura

• H. Koch. Algebraická teorie čísel. - M .: VINITI, 1990. - T. 62. - 301 s. - (Výsledky vědy a techniky. Řada "Moderní problémy matematiky. Základní směry".).
• Chebotarev N.G. Základy Galoisovy teorie. Část 2. - M .: Redakční URSS, 2004.
• Weil G. Algebraická teorie čísel. Za. z angličtiny .. - M .: Editorial URSS, 2011.
• Serge lang, Algebraic Number Theory, druhé vydání, Springer, 2000

Federální agentura pro vzdělávání

Státní vzdělávací instituce vyššího odborného vzdělávání

Státní humanitární univerzita Vyatka

Matematická fakulta

Katedra matematické analýzy a metodiky
výuka matematiky

Závěrečná kvalifikační práce

na téma: Kruh Gaussových celých čísel.

Dokončeno:

student 5. ročníku

matematická fakulta

V.V. Gnusov

___________________________

Dozorce:

odborný asistent katedry

algebra a geometrie

Semenov A.N ..

___________________________

Recenzent:

kandidát fyz.-matematika Vědy, docent

katedra algebry a geometrie

Kovyazina E.M.

___________________________

Přiznal se k ochraně ve Státním leteckém výboru

Hlava Oddělení ________________ Vechtomov E.M.

« »________________

Děkan fakulty ___________________ V.I. Varankina