Střídavé řádky
Definice 5. Numerické řady obsahující kladné i záporné výrazy se nazývají střídavé řady.
Řada, jejíž všichni členové jsou záporná čísla, nepředstavuje ve srovnání s kladnou řadou nic nového, protože se získá vynásobením kladné řady číslem – 1.
Studii střídavých sérií začneme zvláštním případem - střídavou řadou.
Definice 6. Číselná řada formuláře u 1 -u 2 + u 3 -u 4 + ... + + (-1) n - 1. u n +... kde u n - modul člena řady, se nazývá střídavá číselná řada.
Věta 9. (Leibnizův test )
Pokud pro střídavou číselnou řadu
Jsou splněny dvě podmínky:
Členové série modulo zmenšují u 1>u 2>…>u n>…,
pak řada (19) konverguje a její součet je kladný a nepřesahuje první člen řady.
Důkaz... Zvažte částečný součet sudého počtu členů v řadě S 2 n=(u 1 -u 2) + (u 3 -u 4) + ... + (u 2 n -1 -u 2 n).
Podle stavu u 1>u 2>…>u 2 n -1>u 2 n, to znamená, že všechny rozdíly v závorkách jsou pozitivní, proto S 2 n se zvyšuje s rostoucí n a S 2 n\u003e 0 pro všechny n.
Na druhou stranu S 2 n=u 1 - [(u 2 -u 3) + (u 4 -u 5) + ... + (u 2 n -2 -u 2 n -1) + u 2 n]. Výraz v hranatých závorkách je kladný a S 2 n\u003e 0, proto S 2 n<u 1 pro každého n... Posloupnost dílčích součtů S 2 nzvyšuje a je omezená, proto existuje konečná S 2 n=S... Navíc 0<S≤u 1.
Uvažujme nyní částečný součet lichého počtu členů v řadě S 2 n +1=S 2 n+u 2 n +1... Pojďme předat poslední rovnost na hranici n → ∞: S 2 n +1 \u003d S 2 n + u 2 n +1 \u003d S +0\u003d S. Dílčí součty sudého i lichého počtu členů řady tedy mají stejný limit S, tak S n=S, tj. tato řada konverguje. Věta je prokázána.
Příklad.
Prozkoumejte konvergenci řady
Aplikujme Leibnizův test.
u n= >u n +1=
Obě podmínky Leibnizova kritéria jsou splněny, proto řada konverguje.
Poznámky.
1. Leibnizova věta je také platná, pokud je podmínka splněna u n\u003e u n + 1 se provádí počínaje od nějakého čísla N.
2. Stav u n\u003e u n +1 není nutné. Série se může sblížit, pokud selže. Například série
konverguje jako rozdíl dvou konvergujících řad, i když podmínka u n\u003e u n +1 neprovedeno.
Definice 8... Pokud se střídavá řada konverguje a řada složená z absolutních hodnot členů této řady se rozchází, pak říkají, že střídavá řada konverguje podmíněně.
Definice 9... Pokud se střídavá řada sama sbíhá a řada složená z absolutních hodnot jejích členů, pak se říká, že střídavá řada konverguje absolutně.
Příklad.
Zjistěte povahu konvergence řady
Je zřejmé, že tato řada konverguje na základě Leibnize. Opravdu: a u n=
Řada složená z absolutních hodnot členů dané řady je rozbíhající se harmonická řada. Proto tato řada podmíněně konverguje.
Definice 6.1 Číselná řada obsahující nekonečnou množinu kladných a nekonečných množin záporných členů se nazývá střídavá. Zvláštní případ střídavé řady je střídavá řada, tj. Řada, ve které mají následující členové opačné znaky.
Leibnizovo znamení
Pro střídavé znaménka platí dostatečné kritérium pro Leibnizovu konvergenci.
Nechť (an) je číselná posloupnost taková, že
1.an + 1< an ;
Potom se střídavé řádky sbíhají.
Absolutní a podmíněná konvergence
Definice 6.2 Řada se nazývá absolutně konvergentní, pokud také konverguje. Pokud řada absolutně konverguje, pak je konvergentní (v obvyklém smyslu). Opak není pravdivý.
Řada se nazývá podmíněně konvergentní, pokud sama konverguje, a řada složená z modulů jejích členů se rozchází.
Použijme dostatečné Leibnizovo kritérium pro střídání sérií. Dostaneme
protože. Proto tato řada konverguje.
Prozkoumejte řadu pro konvergenci.
Zkusme použít Leibnizovo znamení:
Je vidět, že modul obecného pojmu nemá u n\u003e? Sklon k nule. Proto se tato řada rozchází
Aplikujeme d'Alembertův test na řadu složenou z modulů odpovídajících členů a zjistíme
Proto tato řada absolutně konverguje.
Určete, zda je řada absolutně konvergentní, podmíněně konvergentní nebo divergentní?
Nejprve použijeme Leibnizův test a najdeme limit. Počítáme tento limit podle pravidla L'Hôpital:
Původní série se tedy rozcházejí.
Prozkoumejte konvergenci řady
Obecný termín v této sérii je. Pojďme použít znak d'Alembert na sérii složenou z modulů:
Proto. původní série absolutně konverguje.
Prozkoumejte, zda je řada absolutně konvergentní, podmíněně konvergentní nebo divergentní?
Při použití Leibnizova kritéria vidíme, že řada je konvergentní:
Uvažujme nyní o konvergenci řady složené z modulů odpovídajících členů. Pomocí integrálního kritéria pro konvergenci získáme
Proto původní řada podmíněně konverguje.
Určete, zda je řada absolutně konvergentní, podmíněně konvergentní nebo divergentní?
Nejprve aplikujme Leibnizův test:
Proto tato řada konverguje. Zjistíme, zda je tato konvergence absolutní nebo podmíněná. Použijme kritérium omezujícího srovnání a porovnejme odpovídající řadu modulů s odlišnou harmonickou řadou:
Vzhledem k tomu, že řada složená z modulů se rozchází, je původní střídavá řada podmíněně konvergentní.
1. Hodnosti s kladnými členy. Konvergenční kritéria
Určení konvergence řady (1.1) a nalezení jejího součtu v případě konvergence přímo podle definice 1.1 jako limitu posloupnosti dílčích součtů je velmi obtížné. Proto existují dostatečné indikace pro určení, zda se řada sbližuje nebo rozchází. Pokud konverguje, součet odpovídajícího počtu prvních n členů řady může sloužit jako přibližná hodnota jeho součtu s jakýmkoli stupněm přesnosti.
Zde budeme uvažovat o sérii (1.1) s kladnými (nezápornými) podmínkami, tj. O sérii, pro kterou se Taková řada bude nazývat pozitivní řada.
Věta 3.1. (srovnávací značka)
Nechť jsou uvedeny dvě pozitivní řady
a podmínky jsou splněny pro všechna n \u003d 1,2, ...
Pak: 1) konvergence řady (3.2) implikuje konvergenci řady (3.1);
2) divergence řady (3.1) implikuje divergenci řady (3.2).
Důkaz. 1. Nechte řadu (3.2) konvergovat a její součet se rovná B. Posloupnost dílčích součtů řady (3.1) je neklesající číslo B ohraničené výše, tj.
Potom z vlastností takových posloupností vyplývá, že má konečný limit, to znamená, že řada (3.1) konverguje.
2. Nechte sérii (3.1) se rozcházet. Pokud by pak konvergovala řada (3.2), pak by se na základě výše uvedené položky 1 konvergovala i původní řada, což je v rozporu s naším stavem. Proto se řada (3.2) také rozchází.
Je vhodné použít toto kritérium na definici konvergence řad porovnáním s řadami, jejichž konvergence je již známa.
Příklad 3.1. Prozkoumejte konvergenci řady
Členové řady jsou kladní a menší než odpovídající členové sbíhající se řady geometrického postupu
protože n \u003d 1,2, ...
Proto podle srovnávacího kritéria konverguje i původní řada.
Příklad 3.2. Prozkoumejte konvergenci řady
Členové této řady jsou kladní a více než odpovídající členové divergentní harmonické řady
V důsledku toho se původní série na základě srovnání rozcházejí.
Věta 3.2. (Konečné znamení d'Alemberta).
Pak: 1) pro q< 1 ряд (1.1) сходится;
- 2) pro q\u003e 1 se řada (1.1) rozchází;
Poznámka: Série (1.1) se budou lišit i v případě, že
Příklad 3.3. Prozkoumejte konvergenci řady
Aplikujme d'Alembertův limitní test.
V našem případě.
Příklad 3.4. Prozkoumejte konvergenci řady
V důsledku toho původní řada konverguje.
Příklad 3.5. Prozkoumejte konvergenci řady
Aplikujme d'Alembertův limitní test:
Proto se původní série rozcházejí.
Komentář. Aplikace d'Alembertovy limitní zkoušky na harmonickou řadu nedává odpověď na konvergenci této řady, protože pro tuto řadu
Věta 3.3. (Mezní znak Cauchy Cauchy Augustin Louis (1789 - 1857), francouzský matematik.).
Nechť jsou podmínky kladné řady (1.1) takové, aby existoval limit
Pak: 1) pro q< 1 ряд (1.1) сходится;
- 2) pro q\u003e 1 se řada (1.1) rozchází;
- 3) pro q \u003d 1 nelze nic říci o konvergenci řad (1.1); je zapotřebí dalšího výzkumu.
Příklad 3.6. Prozkoumejte konvergenci řady
Aplikujeme omezující Cauchyho test:
V důsledku toho původní řada konverguje.
Věta 3.4. (Integrovaný Cauchyho test).
Nechť funkce f (x) je spojitá nezáporná nezvýšená funkce na intervalu
Potom se řada a nesprávný integrál konvergují nebo rozcházejí současně.
Příklad 3.7. Prozkoumejte konvergenci harmonické řady
Použijeme integrální Cauchyho kritérium.
V našem případě funkce splňuje podmínku věty 3.4. Prozkoumejme nesprávný integrál
Nesprávný integrál se rozchází, proto se rozchází i původní harmonická řada.
Příklad 3.8. Prozkoumejte konvergenci zobecněné harmonické řady
Funkce splňuje podmínku věty 3.4.
Prozkoumejme nesprávný integrál
Zvažte následující případy:
- 1) Nechť Pak je zobecněná harmonická řada harmonická řada, která se rozchází, jak ukazuje příklad 3.7.
- 2) pak
Nesprávný integrál se rozchází, a proto se řada rozchází;
3) pak
Nesprávný integrál konverguje, a proto řada konverguje.
Konečně máme
Poznámky. 1. Zobecněná harmonická řada se bude lišit, protože v tomto případě není splněno nutné kritérium konvergence: společný termín řady nemá sklon k nule.
2. Zobecněná harmonická řada je vhodná pro použití při použití srovnávacího kritéria.
Příklad 3.9. Prozkoumejte konvergenci řady
Podmínky řady jsou kladné a menší než odpovídající podmínky konvergující generalizované harmonické řady
od a parametr
V důsledku toho původní řada konverguje (porovnáním).
Pojďme se nyní zabývat řadou, jejíž podmínky mohou být pozitivní i negativní.
Definice 1
Číselná řada $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) u_ (n) $, jejíž členové mají libovolné znaky (+), (?), Se nazývá střídavá řada.
Střídavá řada uvažovaná výše je speciální případ střídavé řady; je jasné, že ne každá řada se střídáním znamení se střídá. Například řada $ 1- \\ frac (1) (2) - \\ frac (1) (3) + \\ frac (1) (4) + \\ frac (1) (5) - \\ frac (1) (6) - \\ frac (1) (7) + \\ ldots - střídavé $, ale ne střídavé řady.
Všimněte si, že ve střídavé sérii výrazů se znaménky (+) a (-) je nekonečně mnoho. Pokud tomu tak není, například řada obsahuje konečný počet záporných výrazů, pak je lze zahodit a lze uvažovat o sérii složené pouze z kladných výrazů a naopak.
Definice 2
Pokud číselná řada $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) u_ (n) $ konverguje a její součet je S a částečný součet je $ S_n $, pak $ r_ (n) \u003d S-S_ ( n) $ se nazývá zbytek série a $ \\ mathop (\\ lim) \\ limits_ (n \\ to \\ infty) r_ (n) \u003d \\ mathop (\\ lim) \\ limits_ (n \\ to \\ infty) (S-S_ (n )) \u003d SS \u003d 0 $, tj. zbytek konvergující řady má tendenci k 0.
Definice 3
Řada $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) u_ (n) $ se nazývá absolutně konvergentní, pokud řada složená z absolutních hodnot jejích členů $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ $.
Definice 4
Pokud číselná řada $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) u_ (n) $ konverguje a řada $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) \\ left | u_ (n ) \\ vpravo | $, složený z absolutních hodnot jeho členů, se rozchází, poté se původní řada nazývá podmíněně (ne absolutně) konvergentní.
Věta 1 (dostatečné kritérium pro konvergenci střídavých řad)
Střídavá řada $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) u_ (n) $ konverguje a absolutně, pokud je řada, složená z absolutních hodnot jejích členů $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) \\ left | u_ (n) \\ right | $.
Komentář
Věta 1 dává pouze dostatečnou podmínku pro konvergenci střídavých řad. Konverzní věta není pravdivá, tj. konverguje-li střídavá řada $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) u_ (n) $, není nutné, aby řada složená z modulů $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ ( \\ infty) \\ left | u_ (n) \\ right | $ (může to být konvergující nebo divergentní). Například řádek $ 1- \\ frac (1) (2) + \\ frac (1) (3) - \\ frac (1) (4) + ... \u003d \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty ) \\ frac ((- - 1) ^ (n-1)) (n) $ konverguje podle Leibnizova znaménka a řada složená z absolutních hodnot jeho členů $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) \\, \\ frac (1) (n) $ (harmonická řada) se liší.
Majetek 1
Pokud je řada $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) u_ (n) $ absolutně konvergentní, pak absolutně konverguje pro jakoukoli permutaci jejích členů a součet řady nezávisí na pořadí členů. Pokud $ S "$ je součet všech jeho kladných členů a $ S" "$ je součet všech absolutních hodnot záporných členů, pak součet řady $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) u_ (n) $ se rovná $ S \u003d S "-S" "$.
Nemovitost 2
Pokud řada $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) u_ (n) $ absolutně konverguje a $ C \u003d (\\ rm const) $, pak řada $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) C \\ cdot u_ (n) $ je také naprosto konvergentní.
Nemovitost 3
Pokud série $ \\ sum \\ limity _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) u_ (n) $ a $ \\ sum \\ limity _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) v_ (n) $ absolutně konvergují, pak řada $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) (u_ (n) \\ pm v_ (n)) $ také absolutně konvergují.
Vlastnost 4 (Riemannova věta)
Pokud řada podmíněně konverguje, pak bez ohledu na číslo A, které vezmeme, můžeme uspořádat podmínky této řady tak, aby se její součet přesně rovnal A; navíc je možné uspořádat podmínky podmíněně konvergující řady tak, aby se poté rozcházely.
Příklad 1
Prozkoumejte podmíněnou a absolutní konvergenci řady
\\ [\\ suma \\ limity _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) \\ frac ((- 1) ^ (n) \\ cdot 9 ^ (n)) (n .\] !}
Rozhodnutí. Tato řada se střídá, běžný termín, který označujeme: $ \\ frac ((- 1) ^ (n) \\ cdot 9 ^ (n)) (n =u_{n} $. Составим ряд из абсолютных величин $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ и применим к нему признак Даламбера. Составим предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } $, где $a_{n} =\frac{9^{n} }{n!} $, $a_{n+1} =\frac{9^{n+1} }{(n+1)!} $. Проведя преобразования, получаем $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n+1} \cdot n!}{(n+1)!\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n} \cdot 9\cdot n!}{n!\cdot (n+1)\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9}{n+1} =0$. Таким образом, ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ сходится, а значит, исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} $ абсолютно сходится.!}
Příklad 2
Prozkoumejte řadu $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) \\ frac ((- 1) ^ (n) \\ cdot \\ sqrt (n)) (n + 1) $ pro absolutní a podmíněnou konvergenci.
- Prozkoumejme sérii pro absolutní konvergenci. Označte $ \\ frac ((- - 1) ^ (n) \\ cdot \\ sqrt (n)) (n + 1) \u003d u_ (n) $ a skládejte řadu absolutních hodnot $ a_ (n) \u003d \\ left | u_ (n ) \\ vpravo | \u003d \\ frac (\\ sqrt (n)) (n + 1) $. Dostaneme řádek $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) \\ left | u_ (n) \\ right | \u003d \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) \\, \\ frac (\\ sqrt (n)) (n + 1) $ s kladnými výrazy, na které použijeme limitní kritérium pro porovnání řad. Pro srovnání s řadou $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) a_ (n) \u003d \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) \\, \\ frac (\\ sqrt (n) ) (n + 1) $ zvažte řadu, která vypadá jako $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) \\, b_ (n) \u003d \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty ) \\, \\ frac (1) (\\ sqrt (n)) \\, $. Tato řada je Dirichletova řada s exponentem $ p \u003d \\ frac (1) (2)
- Dále prozkoumáme původní řadu $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) \\ frac ((- 1) ^ (n) \\ cdot \\ sqrt (n)) (n + 1) $ pro podmíněnou konvergenci. Chcete-li to provést, zkontrolujte splnění podmínek atributu Leibniz. Podmínka 1): $ u_ (n) \u003d (- 1) ^ (n) \\ cdot a_ (n) $, kde $ a_ (n) \u003d \\ frac (\\ sqrt (n)) (n + 1)\u003e 0 $ , tj. tento řádek se střídá. Ke kontrole podmínky 2) na monotónním snižování členů řady použijeme následující metodu. Zvažte pomocnou funkci $ f (x) \u003d \\ frac (\\ sqrt (x)) (x + 1) $, definovanou na $ x \\ in)