F * (x) \u003d .

Punctul estimativ:

Estimarea nepărtinitoare a mediei generale ( mat.expectations):

, x i - opțiune de eșantionare; m i - opțiuni de frecvență x i, - marime de mostra.

Estimare părtinitoare variație generală - variația probei:

, la fel de

.

Estimare nepărtinitoare variație generală este „variația corectată”:

. Când n<30.

Coeficientul de variație:

.

Moment central la-ordinea a doua:

.

Moment inițial la-ordinea a doua:

.

Asimetrie: , t 3 \u003d

Exces: Unde t 4 \u003d

Media grupului: .

Media generală: Unde .

Varianță totală: .

Estimări ale intervalului:

Interval de încredere pentru mat.expectations și cantitatea normal distribuită a unei caracteristici X :

.

Testul de bunătate al lui Pearson:

Dacă numărul de observații este foarte mare, atunci legea distribuției SW nu depinde de ce lege este supusă populației generale. Se apropie de distribuție cu la grade de libertate și se numește criteriul în sine criteriul de bunătate al lui Pearson:

Unde la - numărul de intervale ale rândului grupat; m i\u003e 0,05n .

Numărul de grade de libertate: r \u003d k-p-1Unde la - numărul de intervale, r - numărul de parametri ai legii.

Nivelul de semnificație α:

α \u003d 0,05 și α \u003d 0,01.

În cazul în care un apoi H 0 admis, adică legea de distribuție asumată este în concordanță cu datele empirice. În același timp, greșim în 5 cazuri din 100, acceptând o ipoteză posibil eronată (eroare de tip 2).

În cazul în care un apoi H 0 respins, adică legea presupusă nu corespunde datelor empirice. Mai mult, greșim în primul caz din 100, respingând ipoteza corectă (eroare de primul fel).

În cazul în care un , atunci noi avem incertitudine și alte criterii pot fi utilizate.

Corelație

- suma frecvențelor din eucoloana a;

- suma frecvențelor din la-a linia a treia;

- numărul de perechi (x i; y k).

Media condiționată: .

Ecuații de linie de regresie teoretică:

.

Calcularea caracteristicilor numerice:

Indicatorul de etanșeitate a conexiunii de corelație este raportul de corelație empirică:

Unde .

.

Proprietăți:

1. 0≤η≤1.

2.Dacă η \u003d 1, atunci y (x) este o conexiune funcțională.

3. η \u003d 0, atunci nu există nicio conexiune.

4. η≥ .

5.If η = , atunci există o dependență de corelație liniară exactă.

6.de mai aproape η la 0, cu cât corelația este mai slabă, cu atât mai aproape de 1, cu atât corelația este mai puternică și în limită se transformă într-o dependență funcțională.

Coeficient de corelație:

.

Verificarea semnificației parametrilor de corelație:

1. Verificarea semnificației corelației liniare (semnificația regresiei).

Pentru mărimile mari ale eșantionului, coeficientul de corelație respectă legea normală. unde .

2. Verificarea semnificației regresiei:

.

În cazul în care un τ p\u003e 2,58, apoi cu o certitudine de 99% se poate afirma că dependența de corelație este semnificativă (regresia este semnificativă). Acestea. relația de corelație există nu numai în eșantion, ci și în întreaga populație generală.

τ p<1,96, то с уверенностью 95% можно утверждать, что корреляционная зависимость не явл. существенной, т.е. она характерна только для данной выборки и может не существовать в генеральной совокупности.

1,96<τ p< 2,58 – несущественная корреляционная зависимость.

3. Verificarea liniarității modelului selectat (verificarea adecvării):

.

P \u003d 99% (α \u003d 0,01): t \u003d 2,58

P \u003d 95% (α \u003d 0,05): t \u003d 1,96

Dacă valoarea η y / x satisface această inegalitate, apoi modelul ales este adecvat, corespunde datelor empirice.

Criteriul lui Fisher:

, p - numărul de observații; la - numărul de intervale de X.

La niveluri de semnificație:

α \u003d 0,05 și α \u003d 0,01: F 0,05 (k-1; n-1); F 0,01 (k-1; n-k).

Dacă F y / x

Verificarea semnificației regresiei:

, conform tabelului. F 0,01 (1; n-2), F 0,05 (1; n-2).

Dacă F R\u003e F 0,01, atunci regresia este semnificativă, dacă F R

Adecvarea modelului Fischer:

.

F 0,01 (k-2; n-k), F 0,05 (k-2; n-k).

Dacă F A\u003e F 0,01, atunci modelul este inadecvat, dacă F A

Criteriul Romanovsky:

Unde r - numărul pașilor libertății. În cazul în care un ρ<3 , atunci discrepanța dintre distribuțiile teoretice și empirice ar trebui considerată nesemnificativă.

Criteriul de coerență al lui Kalmagorov:

- cea mai mare diferență de valoare absolută între frecvențele acumulate ale distribuției empirice și teoretice.

la - numărul de intervale.

Din tabel, găsim valoarea corespunzătoare a probabilității P (λ). Dacă Р (λ)<0,05, то расхождение между распределениями существенно, оно не может быть вызвано случайными причинами. Чем ближе эта вероятность к 1, тем лучше теоретическое распределение согласовывается с эмпирическим.

În factorii de bază, vom face legătura între factorii 1 și 7 de factorii din secțiunea VI. 3 în ordinea în care sunt scrise, adică factorul 1 este trunchiere, factorul 2 este simetria etc. Apoi vom lega nivelurile + și - ale factorilor din tabel. 4 cu două niveluri de factori VI. 3 la întâmplare. Această ordine aleatorie a fost obținută folosind un tabel cu numere aleatorii și compararea acestor numere cu 1/2. Rezultatele acestei proceduri sunt prezentate în tabel. 5. Combinarea mesei. 4 și 5 oferă planul în factorii inițiali, prezentați în tabel. 6, unde A1, (i \u003d 1, ..., 4) notează variabile aleatorii necunoscute având o distribuție exponențială cu parametrul br - b. Ca exemplu, luați în considerare combinația 1 din tabel. 6. Factorii 1 și 2 sunt la nivelul + din tabel. 4. În consecință, din tabel. 5 ar trebui să luăm o distribuție trunchiată, înclinată cu cozile în sus. Masa 1 vedem că această distribuție este o distribuție exponențială a unei variabile aleatoare x. Factorul 6 este la nivel

În cazul nostru, motivele obiective ale produselor tehnologice nu permit utilizarea acestor legi de distribuție. În primul rând, condiția obținerii unei legi normale este acțiunea comună a multor factori aleatori, dintre care niciunul nu este dominant. Acest lucru nu corespunde condițiilor de funcționare și respingerii produselor în scopuri tehnologice, unde apar neapărat factori dominanți. În al doilea rând, legea exponențială necesită condițiile de obișnuință, de staționare și de afecțiune, care nu sunt adesea îndeplinite pentru aceste produse. În special, fluxul de eșecuri nu poate fi considerat staționar datorită modificării regimului probabilistic în timp.

Aceste informații reflectă condițiile predominante ale proceselor de producție și, prin urmare, reprezintă un eșantion din populația generală. Pe baza legii numărului mare, se poate susține că, dacă populația generală respectă o anumită lege a distribuției, atunci eșantionul din această populație, cu un volum suficient de mare, se va supune acestei legi. Cel mai adesea, această lege nu este cunoscută, iar definiția ei provoacă dificultăți considerabile. În astfel de cazuri, se preferă legile de distribuție cunoscute, cel mai adesea exponențiale și normale.

Prin cuvânt, vom însemna din greșeală că probabilitatea ca o mașină să ajungă la benzinărie pentru orice interval de timp mic, care începe la un moment de timp arbitrar / și care are o lungime m, până la valori neglijabile, este proporțională cu m cu un anumit coeficient de proporționalitate X\u003e 0. Valoarea lui K poate fi interpretată ca număr mediu de mașini care apar la stație pe unitate de timp și valoarea sa inversă 1L, ca timp mediu de apariție a unei mașini. Probabilitatea ca nici o mașină să nu ajungă în această perioadă de timp este considerată a fi aproximativ egală cu 1 m, iar probabilitatea sosirii a două sau mai multe mașini este o valoare neglijabilă în comparație cu valoarea lui Yal. Următoarele concluzii pot fi trase din presupunerile făcute. În primul rând, intervalele de timp / între două sosiri consecutive ale mașinilor satisfac distribuția exponențială

Pierderile care decurg din funcționarea echipamentelor de automatizare în această perioadă pot fi calculate pe baza utilizării teoriei fiabilității, conform căreia defecțiunile bruște sunt definite ca eșecuri din sistem datorită apariției unor concentrații neprevăzute, bruște de sarcini externe și tensiuni interne care le depășesc pe cele calculate. Dacă unele dintre elemente și conexiuni sunt realizate sau reparate slab, atunci acestea vor defecta la sarcini mai mici. Prin urmare, eșecurile elementelor defecte sunt distribuite exponențial (se consideră natura Poisson a distribuției eșecurilor bruște), cu un timp mediu de funcționare de câteva ori mai mic decât cel al altor elemente.

Distribuție exponențială. Această distribuție, de regulă, se supune timpului de funcționare al defecțiunilor bruște (adică eșecurilor datorate defectelor tehnologiei latente) și distribuției timpului între două defecțiuni succesive, dacă produsele funcționează în stare constantă.

Luați în considerare cazul când parametrul investigat este distribuit exponențial.

Ya.B. Shor oferă următoarea formulă pentru determinarea intervalului de încredere pentru media generală în cazul unei distribuții exponențiale a unei variabile aleatorii

În ciuda aparentă ușurință a condițiilor în care s-a obținut ultima expresie, în termeni teoretici, pentru o serie de cazuri interesante, acestea se dovedesc a fi imposibile. Acest lucru se întâmplă când derivata g (x) în punctul x \u003d v devine infinită. În special, acesta este cazul distribuției exponențiale pe două fețe, pe care am întâlnit-o deja în exemplele 2 și 3 din. Într-o versiune de construire a optimului

În acest capitol, vom lua în considerare cele mai comune legi de distribuție a variabilelor aleatorii, precum și principalii parametri ai acestor legi. Se vor da metode pentru găsirea funcției de distribuție a probabilității unei variabile aleatorii în cazul unei densități de probabilitate neintegrabile, precum și algoritmi pentru obținerea secvențelor variabilelor aleatorii cu o lege de distribuție arbitrară, care este necesară la modelarea proceselor aleatorii. O atenție specială va fi acordată distribuției exponențiale generalizate, care este cea mai potrivită pentru studierea prețurilor activelor.

Una dintre cele mai importante distribuții din statistici este distribuția normală (distribuția Gaussiană), care aparține clasei exponențiale. Densitatea probabilității acestei distribuții este

Un alt tip de distribuție exponențială, împreună cu cea normală, este distribuția Laplace, a cărei densitate este exprimată prin formula

Distribuție exponențială generalizată.

La începutul acestui capitol au fost luate în considerare două tipuri de distribuții exponențiale ale Gauss și Laplace. Au multe în comun, sunt simetrice, depind de doi parametri (//, s),

În VI. 2, descriem pe scurt MMD și scopul experimentului, adică studiul sensibilității MMD la încălcarea premiselor sale. În VI.3, discutăm în detaliu diferiții factori care pot influența această sensibilitate. Vom defini anomalia de distribuție ca factor 1. Acest factor descrie posibilitatea sau imposibilitatea ca variabilele aleatorii să devină mai mici decât o constantă dată (așa-numitul factor de distribuție trunchiat), asimetria și cozile distribuției, vom lua factorul 2. Combinând factorii 1 și 2, alegem patru tipuri de distribuții (exponențiale , Erlang, diferența ponderată a două variabile aleatorii cu distribuție exponențială și suma diferențelor variabilelor aleatorii cu distribuție exponențială). Eterogenitatea varianței va fi notată ca factor 3. Aceasta înseamnă că variația celei mai bune populații (afki) poate fi fie mai mare sau mai mică decât variația populației celei mai slabe concurente (în situația cea mai puțin favorabilă). Factorul 4 măsoară dacă cele două variații diferă foarte mult sau deloc. Factorul 5 arată dacă variațiile populațiilor cele mai grave (în situația cea mai favorabilă) sunt egale sau sunt diferite. Factorul 6 determină numărul de populații (trei sau șapte); factorul 7 determină distanța 8 \u003d 6 între cele mai bune și următoarele populații în situația cea mai puțin favorabilă. Este considerat factorul P, care garantează valoarea minimă a probabilității de alegere corectă

Astfel de informații sunt un eșantion din populația generală, care are o anumită lege de distribuție. Mai des, această lege nu este cunoscută, iar definiția ei provoacă dificultăți constructive. În astfel de cazuri, se preferă legile de distribuție x\u003e oso cunoscute, cel mai des - exponențiale și normale.

legi de distribuție. În special, pentru b \u003d 1 se transformă într-o lege exponențială, pentru b \u003d 2 - în legea lui Rayleigh, iar pentru b \u003d 3,25 - este aproape de normal. Această circumstanță face posibilă utilizarea unuia și aceluiași aparat matematic în studiul unei mari varietăți de fluxuri de defectare a produsului. Mai mult, aceasta

O serie de studii susțin că pentru defecțiunile produselor tehnice datorate uzurii, oboselii, coroziunii și îmbătrânirii, o lege de distribuție normală sau logaritmică va fi destul de satisfăcătoare, în timp ce în cazul eșecurilor bruște provenite din supraîncărcări aleatorii, accidente etc., o exponențială legea distribuției.

Universalitatea acestei legi se explică prin faptul că pentru diferite valori ale parametrului b se apropie de o serie de legi de distribuție. În special, când b \u003d se transformă într-o lege exponențială, când 6 \u003d 2 - în legea lui Rayleigh, când b \u003d 3,25 - este aproape de normal.

În acest exemplu, am considerat cel mai simplu caz de flux de intrare Poisson, timp de serviciu exponențial, o singură instalare a serverului. De fapt, în realitate, distribuțiile sunt mult mai complicate, iar benzinăriile includ mai multe benzinării. Pentru a eficientiza clasificarea sistemelor de coadă, matematicianul american D. Kendall a propus un sistem de notare convenabil, care a devenit răspândit până acum. Kendall a desemnat tipul de sistem de coadă folosind trei simboluri, primul dintre care descrie tipul fluxului de intrare, al doilea descrie tipul de descriere probabilistică a sistemului de servicii și al treilea descrie numărul dispozitivelor de servire. Simbolul M denota distribuția Poisson a fluxului de intrare (cu o distribuție exponențială a intervalelor între revendicări), același simbol a fost utilizat pentru distribuția exponențială a duratei serviciului. Astfel, sistemul de cozi descris și studiat în această secțiune are denumirea M / M / 1. Sistemul M / G / 3, de exemplu, reprezintă un sistem cu un flux de intrare Poisson, o funcție de alocare a timpului general (în engleză - general) și trei servere. Există, de asemenea, și alte notări: D este o distribuție deterministă a intervalelor între creanțe sau durate de serviciu, E este o distribuție Erlang a ordinului n și așa mai departe.

Pe baza metodelor prezentate aici pentru construirea secvențelor de numere aleatorii cu distribuții diferite, este posibil să se construiască procedurile randl și rand2, care au fost utilizate în programul Algol pentru calcule pe modelul benzinăriei. Dacă intervalele aleatorii utilizate între mașini și durata serviciului au o distribuție exponențială, atunci este mai bine să folosiți metoda funcției inverse și dacă există o anumită distribuție empirică, atunci o metodă bazată pe stocarea valorilor discrete în memoria RAM a computerului.

Să trecem la descrierea timpului de funcționare a mașinii. Întrucât șoferii preiau cantități diferite de benzină și diferă în calificare, timpul de serviciu poate fi cu greu considerat constant. Permiteți ca serviciul unei mașini, care se află la o benzinărie în orice moment t, să fie finalizat într-un interval mic U, f + rJ, să fie aproximativ egal cu JLIT, unde u\u003e 0. Probabilitatea ca serviciul în acest interval de timp să nu se încheie este considerată aproximativ egală cu 1 - ct și probabilitatea ca serviciul să fie finalizat este. baie de două sau mai multe mașini, este neglijabilă. Apoi

Distribuție exponențială (exponențială)

Luați în considerare o familie de distribuții utilizate pe scară largă în luarea deciziilor manageriale și în alte cercetări aplicate - o familie de distribuții exponențiale. Haideți să analizăm probabilisticul !! model care duce la astfel de distribuții. Pentru a face acest lucru, luați în considerare „fluxul evenimentelor”, adică o succesiune de evenimente care au loc una după alta la un moment dat. Printre exemple se numără: timpul de funcționare al unui sistem informatic, intervalul dintre sosirile succesive ale mașinilor la linia de groază a intersecției, fluxul de apeluri ale clienților către o sucursală bancară; fluxul de cumpărători care solicită bunuri și servicii; fluxul de apeluri la centrala telefonică; fluxul defecțiunilor echipamentelor din lanțul tehnologic etc.

În teoria fluxurilor de evenimente, teorema rezumării fluxurilor de evenimente este valabilă. Un flux total constă dintr-un număr mare de fluxuri private independente, niciunul dintre acestea nu are un efect dominant asupra fluxului total. Astfel, fluxul de apeluri care ajunge la o centrală telefonică constă dintr-un număr mare de fluxuri de apeluri independente provenite de la abonați individuali. În cazul în care caracteristicile fluxurilor nu depind de timp, fluxul total este complet descris de un singur număr X - debitul. Pentru fluxul total, funcția de distribuție a unei variabile aleatorii X - durata intervalului de timp dintre evenimentele succesive este următoarea:

Această distribuție se numește distribuție exponențială (exponențială). Parametrul shift s este uneori introdus în această funcție.

Distribuția exponențială are un singur parametru, care îi determină caracteristicile. Densitatea de distribuție este următoarea:

unde X - valoare pozitivă constantă.

Grafic funcțional / (X) prezentat în Fig. 9.12.

Fig. 9.12.

În fig. 9.13 prezintă un grafic al densității distribuției exponențiale pentru diferiți parametri X.

Distribuția exponențială caracterizează distribuția timpului între evenimentele independente care apar cu intensitate constantă. Legea exponențială este tipică pentru distribuția variabilelor aleatorii, modificarea căreia se datorează influenței unui factor dominant. În teoria fiabilității, această distribuție descrie distribuția eșecurilor bruște, deoarece acestea din urmă sunt evenimente rare. Distribuția exponențială servește și pentru a descrie

Fig. 9.13. Densitatea de distribuție exponențială pentru diferiți parametri X

timpul de operare al sistemelor complexe care au trecut de perioada de funcționare și pentru a descrie timpul de funcționare al unui sistem cu un număr mare de elemente conectate în serie, fiecare dintre acestea nu are un impact mare asupra defecțiunii sistemului.

Frecvențele teoretice pentru legea distribuției exponențiale sunt determinate de formulă

unde N - volumul populației; 1g până la - lungimea intervalului; e - baza logaritmului natural; X - abateri condiționate ale claselor de mijloc:

Luați în considerare alinierea distribuției empirice (tabelul 9.4) exponențial.

Tabelul 9.4

Frecvențe empirice pentru egalizarea exponențială a distribuției

Noi avem N \u003d 160; B k \u003d 41; x \u003d 54.59. Calcularea valorilor abaterilor condiționale ale mijlocului claselor, valori auxiliare e _1 și frecvențele teoretice sunt produse în tabel. 9.5.

Tabelul 95

Egalizarea exponențială a frecvențelor empirice

Dovada empirica x	Frecvența empirică, t			Frecvențe teoretice

Frecvențele empirice și teoretice ale distribuției exponențiale sunt redate grafic în Fig. 9.14.

Distribuția exponențială este un caz special al distribuției Weibull - Gnedenko (corespunzător valorii parametrului de formă b \u003d 1).