Všimněme si zde základních pojmů a vzorců souvisejících s exponenciálním rozdělením spojité náhodné proměnné $ X $, aniž bychom zacházeli do podrobností jejich odvození.
Definice 1
Exponenciální nebo exponenciální distribuce spojité náhodné proměnné $ X $ je distribuce, jejíž hustota má tvar:
Obrázek 1.
Graf hustoty exponenciálního rozdělení má tvar (obr. 1):
Obrázek 2. Graf hustoty exponenciálního rozdělení.
Funkce exponenciálního rozdělení
Protože je snadné to zkontrolovat, má funkce exponenciálního rozdělení tvar:
Obrázek 3.
kde $ \\ gamma $ je kladná konstanta.
Graf funkce exponenciálního rozdělení vypadá takto:
Obrázek 4. Graf funkce exponenciálního rozdělení.
Pravděpodobnost zasažení náhodné proměnné s exponenciálním rozdělením
Pravděpodobnost, že spojitá náhodná proměnná spadne do intervalu $ (\\ alpha, \\ beta) $ s exponenciálním rozdělením, se vypočítá podle následujícího vzorce:
Očekávání: $ M \\ left (X \\ right) \u003d \\ frac (1) (\\ gamma). $
Odchylka: $ D \\ left (X \\ right) \u003d \\ frac (1) ((\\ gamma) ^ 2). $
Standardní odchylka: $ \\ sigma \\ left (X \\ right) \u003d \\ frac (1) (\\ gamma) $.
Příklad problému s exponenciálním rozdělením
Příklad 1
Náhodná proměnná $ X $ se řídí zákonem exponenciálního rozdělení. V oblasti definice $ \\ left \\
Jak již bylo zmíněno dříve, příklady rozdělení pravděpodobnosti spojitá náhodná proměnná X jsou:
- rovnoměrné rozdělení pravděpodobností spojité náhodné proměnné;
- exponenciální rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné proměnné;
- normální distribuce pravděpodobnosti spojité náhodné proměnné.
Uveďme koncept zákonů rovnoměrného a exponenciálního rozdělení, vzorce pravděpodobnosti a numerické charakteristiky uvažovaných funkcí.
| Index | Zákon rozdělení poměru | Zákon o exponenciálním rozdělení |
|---|---|---|
| Definice | Uniforma se nazývá rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné proměnné X, jejíž hustota zůstává na segmentu konstantní a má tvar | Volá se exponenciální (exponenciální) rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné proměnné X, které je popsáno hustotou tvaru |
 kde λ je konstantní kladná hodnota |
||
| Distribuční funkce |  |
 |
| Pravděpodobnost bít do intervalu |  |
 |
| Očekávaná hodnota |  |
|
| Rozptyl |  |
|
| Standardní odchylka |  |
Příklady řešení problémů na téma „Zákony rovnoměrného a exponenciálního rozdělení“
Cíl 1.
Autobusy jezdí striktně podle plánu. Interval pohybu je 7 minut. Najít: a) pravděpodobnost, že cestující, který dorazí na zastávku, počká na další autobus za méně než dvě minuty; b) pravděpodobnost, že cestující, který dorazí na zastávku, počká na další autobus nejméně tři minuty; c) matematické očekávání a směrodatná odchylka náhodné veličiny X - čekací doba cestujícího.
Rozhodnutí. 1. Podle prohlášení o problému je spojitá náhodná proměnná X \u003d (čekací doba cestujícího) rovnoměrně rozděleny mezi příchody dvou autobusů. Délka distribučního intervalu náhodné proměnné X se rovná b-a \u003d 7, kde a \u003d 0, b \u003d 7.
2. Čekací doba bude kratší než dvě minuty, pokud náhodná proměnná X spadne do intervalu (5; 7). Pravděpodobnost zasažení daného intervalu zjistíme podle vzorce: P (x 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a)
.
P (5< Х < 7) = (7-5)/(7-0) = 2/7 ≈ 0,286.
3. Čekací doba bude nejméně tři minuty (tj. Tři až sedm minut), pokud náhodná proměnná X spadá do intervalu (0; 4). Pravděpodobnost zasažení daného intervalu zjistíme podle vzorce: P (x 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a)
.
P (0< Х < 4) = (4-0)/(7-0) = 4/7 ≈ 0,571.
4. Matematické očekávání spojité, rovnoměrně rozložené náhodné veličiny X - čekací doba cestujícího, lze zjistit podle vzorce: M (X) \u003d (a + b) / 2... M (X) \u003d (0 + 7) / 2 \u003d 7/2 \u003d 3,5.
5. Střední kvadratická odchylka spojité, rovnoměrně rozložené náhodné veličiny X - čekací doba cestujícího, se stanoví podle vzorce: σ (X) \u003d √D \u003d (b-a) / 2√3... σ (X) \u003d (7-0) / 2√3 \u003d 7 / 2√3≈2,02.
Cíl 2.
Exponenciální rozdělení se udává při x ≥ 0 s hustotou f (x) \u003d 5e - 5x. Je nutné: a) napsat výraz pro distribuční funkci; b) najděte pravděpodobnost, že v důsledku testu X spadne do intervalu (1; 4); c) najděte pravděpodobnost, že v důsledku testu X ≥ 2; d) vypočítat M (X), D (X), σ (X).
Rozhodnutí. 1. Protože podmínka je nastavena exponenciální rozdělení , pak ze vzorce pro hustotu rozdělení pravděpodobnosti náhodné proměnné X získáme λ \u003d 5. Pak bude mít distribuční funkce tvar:
2. Pravděpodobnost, že výsledek testu spadne do intervalu (1; 4), zjistíme podle vzorce:
P (a< X < b) = e −λa − e −λb
.
P (1< X < 4) = e −5*1 − e −5*4 = e −5 − e −20 .
3. Pravděpodobnost, že v důsledku testu X ≥ 2 zjistíme podle vzorce: P (a< X < b) = e −λa − e −λb при a=2, b=∞.
P (X≥2) \u003d P (1< X < 4) = e −λ*2 − e −λ*∞ = e −2λ − e −∞ =
e −2λ - 0 = e −10 (т.к. предел e −х при х стремящемся к ∞ равен нулю).
4. Najděte exponenciální rozdělení:
- matematické očekávání podle vzorce M (X) \u003d 1 / λ \u003d 1/5 \u003d 0,2;
- disperze podle vzorce D (X) \u003d 1 / λ 2 \u003d 1/25 \u003d 0,04;
- směrodatná odchylka podle vzorce σ (X) \u003d 1 / λ \u003d 1/5 \u003d 1,2.
(TEORIE EXPERIMENTÁLNÍHO PLÁNOVÁNÍ A ANALÝZA STATISTICKÝCH ÚDAJŮ)
Zákon exponenciálního (exponenciálního) rozdělení
Spojitá náhodná proměnná X má zákon exponenciálního rozdělení s parametrem X, pokud má hustota pravděpodobnosti tvar Funkce rozdělení pravděpodobnosti Pravděpodobnost selhání určitého zařízení v čase x Pro náhodnou proměnnou X, distribuováno exponenciálně ...(TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI A MATEMATICKÁ STATISTIKA)
Geometrické rozdělení
Geometrické rozdělení je neoddělitelně spjato s binomickým. Rozdíl je v tom, že binomická náhodná proměnná určuje pravděpodobnost t úspěchy v p testy a geometrická - pravděpodobnost p zkoušky až do prvního úspěchu (včetně prvního úspěchu). Nechte nezávislé ...(STATISTIKA S EKONOMETRICKÝMI PRVKY)
Geometrické rozdělení a jeho zobecnění
Definice.Diskrétní náhodná proměnná X \u003d m mágeometrické rozdělenís parametrem p, pokud má hodnoty 12, ... “t ... (nekonečná, ale spočetná sada hodnot) s pravděpodobnostmi kde Geometrické distribuční řady...(TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI)
Efektivita alokace zdrojů na konkurenčním trhu
Tržní hospodářství fungující s omezenými zdroji je musí alokovat tak, aby maximalizovalo uspokojování sociálních potřeb. Ke stejnému cíli přispívá lepší využití zdrojů v každém podniku a v každém odvětví. V tomto případě je sociální produkce efektivní ...(Ekonomická teorie)
Rozdělení příjmů a sociální politika
Tržní mechanismus generování příjmu Charakteristickým rysem moderní tržní ekonomiky je její sociální orientace. Rozvoj ekonomiky na jedné straně umožňuje realizaci složitějších sociálních programů a na druhé straně je řešení sociálních problémů důležitým faktorem růstu ...(Ekonomická teorie)
Definice. Exponenciální (exponenciální)se nazývá rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné proměnné X, které je popsáno hustotou
kde l je kladné číslo.
Najdeme zákon o distribuci.
Grafy distribuční funkce a distribuční hustoty:
f (x) F (x)
Najdeme matematické očekávání náhodné proměnné podléhající exponenciálnímu rozdělení.
Výsledek je získán s využitím skutečnosti, že
Abychom našli rozptyl, najdeme hodnotu M (X 2).
Integrací po částech dvakrát, podobně jako v uvažovaném případě, získáme:
Pak 
Celkem: Je vidět, že v případě exponenciálního rozdělení jsou matematické očekávání a směrodatná odchylka stejné.
Je také snadné určit pravděpodobnost náhodné veličiny, která podléhá zákonu exponenciálního rozdělení, v daném intervalu.
V teorii spolehlivosti je široce používáno exponenciální rozdělení.
Přiznejme si to, některé zařízení v tuto chvíli začíná pracovat t 0 \u003d 0a po chvíli t zařízení selže.
Označujeme T spojitá náhodná proměnná - doba provozu zařízení.
Tak způsob, distribuční funkce F (t) \u003d P (T
Pravděpodobnost opak události(bezproblémový provoz v průběhu času t) je rovný R (t) \u003d P (T\u003e t) \u003d 1 - F (t).
Definice. Funkce spolehlivostiR (t) je funkce, která určuje pravděpodobnost bezporuchového provozu zařízení v průběhu času t.
Často na praxe provozuschopnost podléhá zákonu exponenciálního rozdělení.
Vůbec mluvení, -li zvažte nové zařízení, pak bude pravděpodobnost poruchy na začátku jeho provozu větší, poté se počet poruch sníží a po určitou dobu bude mít prakticky stejnou hodnotu. Poté (když dojde zařízení mimo provoz) se počet poruch zvýší.
Ostatní ve slovech, můžeme říci, že provoz zařízení po celou dobu jeho existence (z hlediska počtu poruch) lze popsat kombinací dvou exponenciálních zákonů (na začátku a na konci provozu) a jednotného zákona o distribuci.
Funkce spolehlivosti pro každé zařízení se zákonem exponenciálního rozdělení je:
Tento poměr se nazývá exponenciální zákon spolehlivosti.
Důležitá vlastnost, což umožňuje výrazně zjednodušit řešení problémů teorie spolehlivosti, spočívá v tom, že pravděpodobnost bezporuchového provozu zařízení na časovém intervalu t nezávisí na čase předchozí práce před začátkem uvažovaného intervalu, ale záleží pouze na délce času t.
Tak způsob, bezporuchový provoz zařízení závisí pouze na míře selhání la nezávisí na bezporuchovém provozu zařízení v minulosti.
Protože podobnou vlastnost vlastní pouze zákon exponenciálního rozdělení, tato skutečnost vám umožňuje určit, zda je zákon distribuce náhodné proměnné exponenciální nebo ne.
2.8 Distribuce chí-kvadrát
Nechť X i (i \u003d 1,2, ..., n) - normální nezávislé náhodné proměnné a matematické očekávání každé z nich je nula a standardní odchylka je jedna. Pak součet čtverců těchto veličin
distribuováno podle zákona („chí-kvadrát“) s k \u003d n stupňů volnosti; pokud jsou tyto veličiny vztaženy například jedním lineárním vztahem, pak je počet stupňů volnosti k \u003d n-1.
Hustota tohoto rozdělení
kde 
-Gamma funkce; zejména,
Odtud je to vidětže rozdělení chí-kvadrát je určeno jedním parametrem - počtem stupňů volnosti k. S nárůstem počtu stupňů volnosti se distribuce pomalu blíží normálu.
2.9 Studentova distribuce
Nechť Z je normální náhodná proměnná, kde M (Z) \u003d 0, s (Z) \u003d 1 a V je hodnota nezávislá na Z, která je podle zákona rozdělena s k stupni volnosti. Pak množství
má distribuci zvanou t-distribuce nebo Studentova distribuce, k stupňů volnosti. Takže poměr normalizované normální hodnoty k druhé odmocnině nezávislé náhodné proměnné distribuované podle zákona
« Chi-square "s k stupni volnostiděleno k děleno k distribuováno podle Studentova zákona s k stupni volnosti. ... S nárůstem počtu stupňů volnosti se distribuce pomalu blíží normálu.
2.9 Zákon o normálním rozdělení
Definice. Normálníje rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné proměnné, které je popsáno hustotou pravděpodobnosti
Normální zákon rozdělení se také nazývá Gaussovo právo.
Normální zákon rozdělení je ústřední pro teorii pravděpodobnosti. To je způsobeno skutečností, že tento zákon se projevuje ve všech případech, kdy je náhodná proměnná výsledkem velkého počtu různých faktorů. Všechny ostatní zákony o distribuci se blíží normálnímu zákonu.
Umět snadný ukázatže parametry a zahrnuté v distribuční hustotě jsou matematická očekávání a směrodatná odchylka náhodné proměnné X.
Najděte distribuční funkci F (x).
Graf hustoty normálního rozdělení se nazývá normální křivka nebo Gaussova křivka.
Normální křivka má následující vlastnosti:
1 ) Funkce je definována na celé číselné ose.
2 ) Pro všechny x distribuční funkce má pouze kladné hodnoty.
3 ) Osa OX je horizontální asymptota grafu hustoty pravděpodobnosti, protože s neomezeným zvýšením absolutní hodnoty argumentu x, hodnota funkce má sklon k nule.
4 ) Najděte extrém funkce.
Protože v y '\u003e 0 v x< m a y '< 0 v x\u003e m , pak v bodě x \u003d t funkce má maximum rovné.
5 ) Funkce je symetrická kolem přímky x \u003d aod té doby rozdíl
(x - a) je součástí funkce druhé mocniny.
6 ) Abychom našli inflexní body grafu, najdeme druhou derivaci funkce hustoty.
Když x \u003d m + s a x \u003d m - s je druhá derivace rovna nule a při průchodu těmito body mění znaménko, tj. funkce má v těchto bodech skloňování.
Spojitá náhodná proměnná $ X $ se řídí exponenciálním (exponenciálním) rozdělením pravděpodobnosti, pokud má hustota pravděpodobnosti $ f \\ left (x \\ right) $ následující tvar:
$$ f (x) \u003d \\ left \\ (\\ begin (matice)
0, \\ x< 0\\
\\ lambda e ^ (- \\ lambda x), \\ x \\ ge 0
\\ end (matice) \\ vpravo .. $$
Pak distribuční funkce:
$$ F (x) \u003d \\ left \\ (\\ begin (matice)
0, \\ x< 0\\
1-e ^ (- \\ lambda x), \\ x \\ ge 0
\\ end (matice) \\ vpravo. $$
Grafy funkcí hustoty $ f \\ left (x \\ right) $ a rozdělení $ F \\ left (x \\ right) $ jsou zobrazeny na obrázku:
Pro zákon exponenciálního rozdělení lze numerické charakteristiky vypočítat pomocí známých vzorců. Očekávaná hodnota a standardní odchylka jsou si navzájem rovny a rovny $ 1 / \\ lambda $, to znamená:
$$ M \\ left (X \\ right) \u003d \\ sigma \\ left (X \\ right) \u003d ((1) \\ over (\\ lambda)). $$
Rozptyl:
$$ D \\ left (X \\ right) \u003d ((1) \\ over ((\\ lambda) ^ 2)). $$
Distribuční parametr $ \\ lambda $ ve statistickém smyslu charakterizuje průměrný počet událostí vyskytujících se za jednotku času. Pokud je tedy průměrná doba provozu zařízení $ 1 / \\ lambda $, bude parametr $ \\ lambda $ charakterizovat průměrný počet poruch za jednotku času. Příklady náhodných proměnných podléhajících zákonu exponenciálního rozdělení mohou být:
- Doba telefonického rozhovoru;
- Čas strávený na zákaznických službách;
- Doba provozu zařízení mezi poruchami;
- Časové intervaly mezi výskytem automobilů na čerpací stanici.
Příklad
... Náhodná proměnná $ X $ je exponenciálně distribuována $ f \\ left (x \\ right) \u003d \\ left \\ (\\ begin (matrix)
0, \\ x< 0\\
5e ^ (- 5x), \\ x \\ ge 0
\\ end (matice) \\ vpravo. $. Pak očekávání $ \u003d $ standardní odchylka $ \\ sigma (X) \u003d 1 / \\ lambda \u003d 1/5 \u003d 0,2 $, odchylka $ D (X) \u003d 1 / (\\ lambda) ^ 2 \u003d 1/25 \u003d 0 , 04, $
Příklad ... Provozní doba zařízení je náhodná proměnná $ X $ podléhající exponenciálnímu rozdělení. Je známo, že průměrná provozní doba tohoto zařízení je 500 hodin. Jaká je pravděpodobnost, že toto zařízení bude fungovat alespoň 600 $ hodin?
Matematické očekávání náhodné proměnné $ X $ je $ M \\ left (X \\ right) \u003d 500 \u003d 1 / \\ lambda $, tedy distribuční parametr $ \\ lambda \u003d 1/500 \u003d 0,002. $ Můžeme napsat distribuční funkci:
$$ F (x) \u003d \\ left \\ (\\ begin (matice)
0, \\ x< 0\\
1-e ^ (- \\ lambda x) \u003d 1-e ^ (- 0,002x), \\ x \\ ge 0
\\ end (matice) \\ vpravo. $$
Pravděpodobnost, že zařízení bude pracovat méně než 600 $ $ hodin, je pak:
$$ P \\ left (X \\ ge 600 \\ right) \u003d 1-P \\ left (X< 600\right)=1-F\left(600\right)=1-\left(1-e^{-0,002\cdot 600}\right)\approx 0,301.$$