Să notăm aici conceptele și formulele de bază legate de distribuția exponențială a unei variabile aleatoare continue $ X $ fără a intra în detaliile derivării lor.
Definiția 1
O distribuție exponențială sau exponențială a unei variabile aleatoare continue $ X $ este o distribuție a cărei densitate are forma:
Imaginea 1.
Graficul exponențial al densității distribuției are forma (Fig. 1):
Figura 2. Grafic al densității distribuției exponențiale.
Funcția de distribuție exponențială
Deoarece este ușor de verificat, funcția de distribuție exponențială are forma:
Figura 3.
unde $ \\ gamma $ este o constantă pozitivă.
Graficul funcției de distribuție exponențială arată astfel:
Figura 4. Graficul funcției de distribuție exponențială.
Probabilitatea de a lovi o variabilă aleatorie cu o distribuție exponențială
Probabilitatea ca o variabilă continuă aleatorie să cadă în intervalul $ (\\ alpha, \\ beta) $ cu distribuție exponențială este calculată prin următoarea formulă:
Așteptare: $ M \\ left (X \\ right) \u003d \\ frac (1) (\\ gamma). $
Varianță: $ \u200b\u200bD \\ left (X \\ right) \u003d \\ frac (1) ((\\ gamma) ^ 2). $
Abaterea standard: $ \\ sigma \\ left (X \\ right) \u003d \\ frac (1) (\\ gamma) $.
Exemplu de problemă de distribuție exponențială
Exemplul 1
Variabila aleatoare $ X $ respectă o lege de distribuție exponențială. În regiunea de definiție $ \\ left \\
După cum sa menționat anterior, exemple de distribuții de probabilitate variabila aleatorie continua X sunt:
- distribuția uniformă a probabilităților unei variabile aleatoare continue;
- distribuția exponențială a probabilității unei variabile aleatoare continue;
- distributie normala probabilitățile unei variabile aleatoare continue.
Vom da conceptul de legi uniforme și exponențiale de distribuție, formule de probabilitate și caracteristici numerice ale funcțiilor luate în considerare.
| Index | Legea distribuției raportului | Legea distribuției exponențiale |
|---|---|---|
| Definiție | Se numește uniformă distribuția probabilității unei variabile aleatoare continue X, a cărei densitate rămâne constantă pe un segment și are forma | Se numește exponențial (exponențial) distribuția probabilității unei variabile aleatoare continue X, care este descrisă printr-o densitate a formei |
 unde λ este o valoare pozitivă constantă |
||
| Funcția de distribuție |  |
 |
| Probabilitate lovind intervalul |  |
 |
| Valorea estimata |  |
|
| Dispersie |  |
|
| Deviație standard |  |
Exemple de rezolvare a problemelor pe tema „Legi uniforme și exponențiale de distribuție”
Obiectivul 1.
Autobuzele circulă strict conform programului. Intervalul de mișcare este de 7 minute. Găsiți: a) probabilitatea ca un pasager care ajunge la stație să aștepte următorul autobuz în mai puțin de două minute; b) probabilitatea ca un pasager care ajunge la stație să aștepte următorul autobuz timp de cel puțin trei minute; c) așteptarea matematică și deviația standard a variabilei aleatoare X - timpul de așteptare al pasagerului.
Decizie. 1. Prin declarația problemei, o variabilă continuă aleatorie X \u003d (timpul de așteptare a pasagerului) distribuite uniform între sosirile a două autobuze. Lungimea intervalului de distribuție a variabilei aleatoare X este egală cu b-a \u003d 7, unde a \u003d 0, b \u003d 7.
2. Timpul de așteptare va fi mai mic de două minute dacă variabila aleatorie X se încadrează în intervalul (5; 7). Probabilitatea de a atinge un anumit interval se găsește prin formula: P (x 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a)
.
P (5< Х < 7) = (7-5)/(7-0) = 2/7 ≈ 0,286.
3. Timpul de așteptare va fi de cel puțin trei minute (adică de la trei la șapte minute), dacă variabila aleatorie X se încadrează în intervalul (0; 4). Probabilitatea de a atinge un anumit interval se găsește prin formula: P (x 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a)
.
P (0< Х < 4) = (4-0)/(7-0) = 4/7 ≈ 0,571.
4. Așteptarea matematică a unei variabile aleatorii X continue, uniform distribuite - timpul de așteptare al pasagerului, se găsește prin formula: M (X) \u003d (a + b) / 2... M (X) \u003d (0 + 7) / 2 \u003d 7/2 \u003d 3,5.
5. Deviația pătrată medie a unei variabile aleatorii X, continuă, uniform distribuită - timpul de așteptare al pasagerului, se găsește prin formula: σ (X) \u003d √D \u003d (b-a) / 2√3... σ (X) \u003d (7-0) / 2√3 \u003d 7 / 2√3≈2.02.
Obiectivul 2.
Distribuția exponențială este dată la x ≥ 0 cu densitatea f (x) \u003d 5e - 5x. Este necesar: a) să scrieți o expresie pentru funcția de distribuție; b) găsiți probabilitatea ca, în urma testului, X să cadă în intervalul (1; 4); c) găsiți probabilitatea ca, ca rezultat al testului X ≥ 2; d) calculați M (X), D (X), σ (X).
Decizie. 1. Deoarece condiția este setată distribuție exponențială , apoi din formula pentru densitatea de distribuție a probabilității variabilei aleatorii X obținem λ \u003d 5. Atunci funcția de distribuție va avea forma:
2. Probabilitatea ca rezultatul testului X să intre în intervalul (1; 4) va fi găsită prin formula:
P (a< X < b) = e −λa − e −λb
.
P (1< X < 4) = e −5*1 − e −5*4 = e −5 − e −20 .
3. Probabilitatea ca rezultatul testului X ≥ 2 să fie găsită prin formula: P (a< X < b) = e −λa − e −λb при a=2, b=∞.
P (X≥2) \u003d P (1< X < 4) = e −λ*2 − e −λ*∞ = e −2λ − e −∞ =
e −2λ - 0 = e −10 (т.к. предел e −х при х стремящемся к ∞ равен нулю).
4. Găsiți distribuția exponențială:
- așteptare matematică conform formulei M (X) \u003d 1 / λ \u003d 1/5 \u003d 0,2;
- dispersie conform formulei D (X) \u003d 1 / λ 2 \u003d 1/25 \u003d 0,04;
- abaterea standard conform formulei σ (X) \u003d 1 / λ \u003d 1/5 \u003d 1.2.
(TEORIA PLANIFICĂRII EXPERIMENTALE ȘI ANALIZEI DATELOR STATISTICE)
Legea distribuției exponențiale (exponențiale)
Variabilă continuă aleatorie X are o lege de distribuție exponențială cu parametrul X dacă densitatea sa de probabilitate are forma Funcția de distribuție a probabilităților Probabilitatea de eșec al unui anumit dispozitiv în timp x Pentru o variabilă aleatorie X, distribuite exponențial ...(TEORIA PROBABILITĂȚII ȘI STATISTICILOR MATEMATICE)
Distribuția geometrică
Distribuția geometrică este indisolubil legată de binom. Diferența este că variabila aleatoare binomială determină probabilitatea t succese în p teste, și geometrice - probabilitatea p încercări până la primul succes (inclusiv primul succes). Să fie independent ...(STATISTICI CU ELEMENTE DE ECONOMETRIE)
Distribuția geometrică și generalizările acesteia
Definiție.O variabilă discretă aleatorie X \u003d m aredistribuție geometricăcu parametrul p dacă ia valori 12, ... "t ... (un set infinit, dar numărabil de valori) cu probabilități unde Seria de distribuție geometrică...(TEORIA PROBABILITĂȚII)
Eficiența alocării resurselor pe o piață competitivă
O economie de piață care operează cu resurse limitate trebuie să le aloce astfel încât să maximizeze satisfacerea nevoilor sociale. O mai bună utilizare a resurselor în fiecare întreprindere și în fiecare industrie contribuie la același obiectiv. În acest caz, producția socială este eficientă ...(Teorie economică)
Distribuția veniturilor și politica socială
Mecanismul pieței de generare a veniturilor O caracteristică distinctivă a economiei moderne de piață este orientarea sa socială. Dezvoltarea economiei, pe de o parte, permite implementarea unor programe sociale mai complexe, iar pe de altă parte, soluția problemelor sociale este un factor important în creștere ...(Teorie economică)
Definiție. Exponențial (exponențial)se numește distribuția probabilității unei variabile aleatoare continue X, care este descrisă prin densitate
unde l este un număr pozitiv.
Să găsim legea distribuției.
Graficele funcției de distribuție și densității de distribuție:
f (x) F (x)
Să găsim așteptarea matematică a unei variabile aleatorii supuse distribuției exponențiale.
Rezultatul se obține folosind faptul că
Pentru a găsi varianța, găsim valoarea lui M (X 2).
Integrând pe părți de două ori, în mod similar cu cazul luat în considerare, obținem:
Atunci 
Total: Se poate observa că, în cazul unei distribuții exponențiale, așteptarea matematică și deviația standard sunt egale.
De asemenea, este ușor să se determine probabilitatea unei variabile aleatorii, supusă unei legi de distribuție exponențială, într-un interval dat.
Distribuția exponențială este utilizată pe scară largă în teoria fiabilității.
Să recunoaștem, unele dispozitive încep să funcționeze în acest moment t 0 \u003d 0, și după un timp t dispozitivul eșuează.
Denotăm T variabilă aleatorie continuă - durata activității dispozitivului.
Asa de cale, funcția de distribuție F (t) \u003d P (T
Probabilitate opusul evenimente(funcționare fără probleme în timp t) este egal cu R (t) \u003d P (T\u003e t) \u003d 1 - F (t).
Definiție. Funcția de fiabilitateR (t) este o funcție care determină probabilitatea funcționării fără eșec a dispozitivului în timp t.
De multe ori pe practică durata timpului de funcționare este supusă unei legi de distribuție exponențială.
Deloc vorbitor, dacă luați în considerare un dispozitiv nou, atunci probabilitatea de defecțiune la începutul funcționării sale va fi mai mare, atunci numărul de defecțiuni va scădea și va avea practic aceeași valoare de ceva timp. Apoi (când dispozitivul nu mai funcționează) numărul de defecțiuni va crește.
Alții in cuvinte, putem spune că funcționarea unui dispozitiv de-a lungul existenței sale (în ceea ce privește numărul de defecțiuni) poate fi descrisă printr-o combinație de două legi exponențiale (la începutul și sfârșitul funcționării) și o lege de distribuție uniformă.
Funcția de fiabilitate pentru orice dispozitiv cu o lege de distribuție exponențială este:
Acest raport se numește legea exponențială a fiabilității.
O proprietate importantă, ceea ce face posibilă simplificarea semnificativă a soluției problemelor teoriei fiabilității, este că probabilitatea funcționării fără eșec a dispozitivului pe intervalul de timp t nu depinde de timpul lucrării anterioare înainte de începutul intervalului considerat, ci depinde doar de durata timpului t.
Asa de cale, funcționarea fără eșec a dispozitivului depinde doar de rata de eșec l și nu depinde de funcționarea fără eșec a dispozitivului în trecut.
Întrucât o proprietate similară o posedă doar o lege de distribuție exponențială, acest fapt vă permite să determinați dacă legea de distribuție a unei variabile aleatorii este exponențială sau nu.
2.8 Distribuția chi-pătrat
Fie X i (i \u003d 1,2, ..., n) - variabile aleatoare independente normale, iar așteptarea matematică a fiecăreia dintre ele este zero, iar abaterea standard este una. Apoi suma pătratelor acestor cantități
distribuite conform legii („Chi-pătrat”) cu k \u003d n grade de libertate; dacă aceste mărimi sunt corelate printr-o relație liniară, de exemplu, atunci numărul de grade de libertate k \u003d n-1.
Densitatea acestei distribuții
unde 
-Funcția Gamma; în special,
De aici este văzutcă distribuția Chi-pătrat este determinată de un parametru - numărul de grade de libertate k. Odată cu creșterea numărului de grade de libertate, distribuția se apropie încet de normal.
2.9 Distribuția t a elevului
Fie Z o variabilă normală aleatorie, unde M (Z) \u003d 0, s (Z) \u003d 1 și V este o valoare independentă de Z, care este distribuită conform legii cu k grade de libertate. Apoi cantitatea
are o distribuție numită distribuție t sau distribuție Student, k grade de libertate. Deci raportul dintre valoarea normală normală și rădăcina pătrată a unei variabile aleatoare independente distribuite conform legii
« Chi-pătrat "cu k grade de libertateîmpărțit la k împărțit la k distribuit conform legii lui Student cu k grade de libertate. ... Odată cu creșterea numărului de grade de libertate, distribuția se apropie încet de normal.
2.9 Legea distribuției normale
Definiție. Normaleste distribuția probabilității unei variabile aleatoare continue, care este descrisă prin densitatea probabilității
Legea distribuției normale se mai numește și lege gaussiană.
Legea distribuției normale este esențială pentru teoria probabilităților. Acest lucru se datorează faptului că această lege se manifestă în toate cazurile când o variabilă aleatorie este rezultatul unui număr mare de factori diferiți. Toate celelalte legi de distribuție se apropie de legea normală.
Poate sa uşor spectacolcă parametrii și incluși în densitatea distribuției sunt, respectiv, așteptarea matematică și deviația standard a variabilei aleatoare X.
Găsiți funcția de distribuție F (x).
Graficul densității unei distribuții normale se numește curbă normală sau curbă gaussiană.
Curba normală are următoarele proprietăți:
1 ) Funcția este definită pe întreaga axă numerică.
2 ) Pentru toți x funcția de distribuție ia numai valori pozitive.
3 ) Axa OX este asimptota orizontală a graficului densității probabilității, deoarece cu o creștere nelimitată a valorii absolute a argumentului x, valoarea funcției tinde la zero.
4 ) Găsiți extremitatea funcției.
pentru că la y ’\u003e 0 la x< m și tu< 0 la x\u003e m , apoi la punct x \u003d t funcția are un maxim egal cu.
5 ) Funcția este simetrică față de o linie dreaptă x \u003d ade cand diferență
(x - a) este inclus în funcția de densitate pătrată.
6 ) Pentru a găsi punctele de inflexiune ale graficului, găsim a doua derivată a funcției densității.
Cand x \u003d m + s și x \u003d m - s a doua derivată este egală cu zero, iar la trecerea prin aceste puncte schimbă semnul, adică funcția are o flexiune în aceste puncte.
O variabilă continuă aleatorie $ X $ respectă o distribuție de probabilitate exponențială (exponențială) dacă densitatea sa de probabilitate $ f \\ left (x \\ right) $ are următoarea formă:
$$ f (x) \u003d \\ left \\ (\\ begin (matrix)
0, \\ x< 0\\
\\ lambda e ^ (- \\ lambda x), \\ x \\ ge 0
\\ end (matrix) \\ right .. $$
Apoi funcția de distribuție:
$$ F (x) \u003d \\ left \\ (\\ begin (matrix)
0, \\ x< 0\\
1-e ^ (- \\ lambda x), \\ x \\ ge 0
\\ end (matrix) \\ right. $$
Graficele funcțiilor de densitate $ f \\ left (x \\ right) $ și distribuția $ F \\ left (x \\ right) $ sunt prezentate în figură:
Pentru o lege de distribuție exponențială, caracteristicile numerice pot fi calculate folosind formule bine cunoscute. Valorea estimata și deviație standard sunt egale între ele și egale cu $ 1 / \\ lambda $, adică:
$$ M \\ left (X \\ right) \u003d \\ sigma \\ left (X \\ right) \u003d ((1) \\ over (\\ lambda)). $$
Dispersie:
$$ D \\ left (X \\ right) \u003d ((1) \\ over ((\\ lambda) ^ 2)). $$
Parametrul de distribuție $ \\ lambda $ în sens statistic caracterizează numărul mediu de evenimente care apar pe unitatea de timp. Deci, dacă durata medie de funcționare a dispozitivului este de 1 $ / \\ lambda $, atunci parametrul $ \\ lambda $ va caracteriza numărul mediu de eșecuri pe unitate de timp. Exemple de variabile aleatorii supuse unei legi de distribuție exponențială pot fi:
- Durata unei convorbiri telefonice;
- Timpul petrecut pentru serviciul pentru clienți;
- Perioada de timp în care dispozitivul funcționează între defecțiuni;
- Intervalele de timp dintre apariția mașinilor la benzinărie.
Exemplu
... Variabila aleatoare $ X $ este distribuită exponențial $ f \\ left (x \\ right) \u003d \\ left \\ (\\ begin (matrix)
0, \\ x< 0\\
5e ^ (- 5x), \\ x \\ ge 0
\\ end (matrice) \\ right. $. Apoi, așteptarea $ \u003d $ deviație standard $ \\ sigma (X) \u003d 1 / \\ lambda \u003d 1/5 \u003d 0.2 $, varianța $ D (X) \u003d 1 / (\\ lambda) ^ 2 \u003d 1/25 \u003d 0 , 04. $
Exemplu ... Durata de funcționare a dispozitivului este o variabilă aleatorie $ X $ supusă unei distribuții exponențiale. Se știe că durata medie de funcționare a acestui dispozitiv este de 500 de ore. Care este probabilitatea ca acest dispozitiv să funcționeze timp de cel puțin 600 USD $ ore?
Așteptarea matematică a variabilei aleatoare $ X $ este egală cu $ M \\ left (X \\ right) \u003d 500 \u003d 1 / \\ lambda $, de unde parametrul de distribuție $ \\ lambda \u003d 1/500 \u003d 0,002. $ Putem scrie funcția de distribuție:
$$ F (x) \u003d \\ left \\ (\\ begin (matrix)
0, \\ x< 0\\
1-e ^ (- \\ lambda x) \u003d 1-e ^ (- 0,002x), \\ x \\ ge 0
\\ end (matrix) \\ right. $$
Atunci probabilitatea ca dispozitivul să funcționeze mai puțin de 600 $ de ore este:
$$ P \\ left (X \\ ge 600 \\ right) \u003d 1-P \\ left (X< 600\right)=1-F\left(600\right)=1-\left(1-e^{-0,002\cdot 600}\right)\approx 0,301.$$