s (obecně řečeno) složitými termíny, pro které se řada sbližuje
Pro absolutní konvergenci řady (1) je nezbytné a dostatečné (Cauchyovo kritérium pro absolutní konvergenci řady), že pro jakékoli existuje číslo takové, že pro všechna čísla a všechna celá čísla
Pokud je řada absolutně konvergentní, pak konverguje. Řádek
absolutně konverguje 
a číslo
konverguje, ale ne absolutně. Nech být
Řada složená ze stejných termínů jako řada (1), ale obecně přijímaná v jiném pořadí. Absolutní konvergence řady (1) znamená, že absolutní hodnoty řady (3) a série (3) mají stejnou částku jako série (1). Pokud se řadí
pak konvergujte absolutně: jakákoli jejich lineární kombinace
také absolutně konverguje; řada získaná ze všech druhů párových produktů členů těchto řad, uspořádaných v libovolném pořadí, se také absolutně sblíží a její součet se rovná součtu součtů těchto řad. Uvedené vlastnosti absolutně konvergentních řad se přenášejí do více sérií
konverguje absolutně, tj. všechny řady získané postupným sčítáním podmínek řady (4) přes indexy jsou absolutně konvergentní a součty více sérií (4) a opakovaných (5) jsou stejné a shodují se se součtem jakékoli jednotlivé řady vytvořené ze všech podmínek řady (4) ).
Pokud jsou termíny řady (1) prvky nějakého Banachova prostoru s normou prvků, pak se nazývá řada (1). absolutně konvergentní, pokud série
V případě A. s. R. prvků Banachova prostoru, vlastnosti absolutně konvergentní numerické řady uvažované výše jsou také zobecněny, zejména A. s. R. prvky Banachova prostoru se v tomto prostoru sbíhají. Podobně je koncept A. s. R. přenáší do více sérií v prostoru Banach.
Encyklopedie matematiky. - M.: Sovětská encyklopedie... I. M. Vinogradov. 1977-1985.
Podívejte se, co je v jiných slovnících „ABSOLUTNĚ KONVERGINGOVÁ SÉRIE“:
Funkční řada (1) s (obecně řečeno) složitými termíny, konvergujícími na množině X, a taková, že pro jakékoli e\u003e 0 existuje číslo ne takové, že pro všechny n\u003e ne a všechny nerovnosti kde a Jinými slovy, sekvence částečných ... ... Encyklopedie matematiky
Obsah. 1) Definice. 2) Číslo definované řadou. 3) Konvergence a divergence řady. 4) Podmíněná a absolutní konvergence. 5) Jednotná konvergence. 6) Rozklad funkcí v sérii. 1. Definice. R. je posloupnost prvků, ... ... Encyklopedický slovník F.A. Brockhaus a I.A. Efron
Nekonečná suma, sled prvků (nazývaný termín) určité lineární topologické. mezery a určitá nekonečná množina jejich konečných součtů (nazývaná částečně as ma m a ma p ... Encyklopedie matematiky
Série, nekonečná částka, například ve tvaru u1 + u2 + u3 + ... + un + ... nebo zkrátka. (1) Jeden z nejjednodušších příkladů R., který se již nachází v elementární matematice, je součet nekonečně klesající geometrické progrese 1 + q + q 2 + ... + q ... ...
Např. Nekonečná částka ve tvaru u1 + u2 + u3 + ... + un + ... nebo zkrátka jedním z nejjednodušších příkladů R., který se již nachází v elementární matematice, je součet nekonečně klesající ... ... Velká sovětská encyklopedie
Posloupnost funkcí, které konvergují k přirozenému logaritmu v nestínované oblasti (červená). V tomto případě se jedná o částečný součet mocninové řady N i, kde N označuje počet termínů. Funkční rozsah ... Wikipedia
S více řad, výraz ve formě členů tabulky Každý člen této tabulky je očíslován indexy m, n ,. ... ... , p, které běží nezávisle na sobě všechna přirozená čísla. Teorie K. p. je podobný teorii dvojitých řad. Viz také…… Encyklopedie matematiky
Řada v kosinech a sinech více oblouků, tj. Řada tvaru nebo ve složité formě, kde se nazývá ak, bk nebo ck. koeficienty T. p. Poprvé T. r. nalezeno v L. Euler (L. Euler, 1744). Dostal rozklad v ser. 18. století ve spojení s ... ... Encyklopedie matematiky
Řada, kde funkce, které jsou holomorfní v určité oblasti nezávislé na k. Pokud pro všechny, pak se nazývá řada (*). vedle Hartogs. Jakákoli funkce holomorfní v oblasti Hartogs v doméně D formy se rozkládá na absolutně a jednotně se sbíhající uvnitř DG. L. r. Plně ... ... Encyklopedie matematiky
Definice 1
Numerická řada $ \\ sum \\ limity _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) u_ (n) $, jejíž členové mají libovolné znaky (+), (?), Nazývá se střídavá řada.
Střídavé řady uvažované výše jsou zvláštním případem střídavých řad; je zřejmé, že ne každá řada střídající se znaménka se střídá. Například série $ 1- \\ frac (1) (2) - \\ frac (1) (3) + \\ frac (1) (4) + \\ frac (1) (5) - \\ frac (1) (6) - \\ frac (1) (7) + \\ ldots - $ alternující, ale nikoli alternující série.
Všimněte si, že ve střídavé sérii termínů s oběma (+) a (-) znaky jsou nekonečně mnoho. Pokud tomu tak není, například řada obsahuje konečný počet negativních výrazů, pak mohou být vyřazeny a může být uvažována řada složená pouze z pozitivních termínů a naopak.
Definice 2
Pokud číselná řada $ \\ sum \\ limity _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) u_ (n) $ konverguje a její součet je S a částečná suma je $ S_n $, pak $ r_ (n) \u003d S-S_ ( n) $ se nazývá zbytek série a $ \\ mathop (\\ lim) \\ limity_ (n \\ až \\ infty) r_ (n) \u003d \\ mathop (\\ lim) \\ limity_ (n \\ až \\ infty) (S-S_ (n )) \u003d SS \u003d 0 $, tj. zbytek konvergující řady má sklon k 0.
Definice 3
Řada $ \\ sum \\ limity _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) u_ (n) $ se nazývá absolutně konvergentní, pokud série složená z absolutních hodnot jejích členů $ \\ sum \\ limity _ (n \u003d 1) ^ (\\ $.
Definice 4
Pokud číselné řady $ \\ sum \\ limity _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) u_ (n) $ konvergují a série $ \\ sum \\ limity _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) \\ left | u_ (n ) \\ right | $, složený z absolutních hodnot svých členů, se liší, pak se původní řada nazývá podmíněně (ne absolutně) konvergentní.
Věta 1 (dostatečné kritérium pro konvergenci střídavých řad)
Střídavá řada $ \\ sum \\ limity _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) u_ (n) $ konverguje a absolutně, pokud série, tvořená absolutními hodnotami jejích členů $ \\ sum \\ limity _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) \\ left | u_ (n) \\ right | $.
Komentář
Věta 1 dává pouze dostatečnou podmínku pro konvergenci střídavých řad. Konverzní věta není pravdivá, tzn. Pokud se střídající se řada $ \\ sum \\ limity _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) u_ (n) $ konverguje, není nutné, aby série složená z modulů $ \\ sum \\ limity _ (n \u003d 1) ^ ( \\ infty) \\ left | u_ (n) \\ right | $ (může to být konvergující nebo divergující). Například řádek $ 1- \\ frac (1) (2) + \\ frac (1) (3) - \\ frac (1) (4) + ... \u003d \\ sum \\ limity _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty ) \\ frac ((- 1) ^ (n-1)) (n) $ konverguje podle Leibnizova znaménka a série složená z absolutních hodnot jeho členů $ \\ sum \\ limity _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) \\, \\ frac (1) (n) $ (harmonická řada) se liší.
Vlastnost 1
Pokud je řada $ \\ sum \\ limity _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) u_ (n) $ absolutně konvergentní, pak absolutně konverguje pro jakoukoli permutaci svých členů a součet řady nezávisí na pořadí členů. Pokud $ S "$ je součet všech jeho kladných podmínek a $ S" "$ je součet všech absolutních hodnot negativních podmínek, pak součet řady $ \\ sum \\ limity _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) u_ (n) $ se rovná $ S \u003d S "-S" "$.
Vlastnost 2
Pokud řada $ \\ sum \\ limity _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) u_ (n) $ absolutně konverguje a $ C \u003d (\\ rm const) $, pak řada $ \\ sum \\ limity _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) C \\ cdot u_ (n) $ je také absolutně konvergentní.
Vlastnost 3
Pokud série $ \\ sum \\ limity _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) u_ (n) $ a $ \\ sum \\ limity _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) v_ (n) $ absolutně konvergují, pak série $ \\ sum \\ limity _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) (u_ (n) \\ pm v_ (n)) $ také absolutně konvergují.
Vlastnost 4 (Riemannova věta)
Pokud se řada podmíněně sblíží, pak ať už vezmeme číslo A, můžeme změnit uspořádání této řady tak, aby její součet byl přesně roven A; navíc je možné změnit uspořádání podmíněně konvergujících řad tak, aby se poté rozcházely.
Příklad 1
Prozkoumejte podmíněnou a absolutní konvergenci v řadě
\\ [\\ suma \\ limity _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) \\ frac ((- 1) ^ (n) \\ cdot 9 ^ (n)) (n .\] !}
Rozhodnutí. Tato série je střídavé znaménko, běžný termín, který označujeme: $ \\ frac ((- 1) ^ (n) \\ cdot 9 ^ (n)) (n =u_{n} $. Составим ряд из абсолютных величин $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ и применим к нему признак Даламбера. Составим предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } $, где $a_{n} =\frac{9^{n} }{n!} $, $a_{n+1} =\frac{9^{n+1} }{(n+1)!} $. Проведя преобразования, получаем $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n+1} \cdot n!}{(n+1)!\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n} \cdot 9\cdot n!}{n!\cdot (n+1)\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9}{n+1} =0$. Таким образом, ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ сходится, а значит, исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} $ абсолютно сходится.!}
Příklad 2
Prozkoumejte sérii $ \\ sum \\ limity _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) \\ frac ((- 1) ^ (n) \\ cdot \\ sqrt (n)) (n + 1) $ pro absolutní a podmíněnou konvergenci.
- Prozkoumejme sérii absolutní konvergenci. Označte $ \\ frac ((- 1) ^ (n) \\ cdot \\ sqrt (n)) (n + 1) \u003d u_ (n) $ a vytvořte řadu absolutních hodnot $ a_ (n) \u003d \\ left | u_ (n ) \\ right | \u003d \\ frac (\\ sqrt (n)) (n + 1) $. Dostáváme řádek $ \\ sum \\ limity _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) \\ left | u_ (n) \\ right | \u003d \\ sum \\ limity _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) \\, \\ frac (\\ sqrt (n)) (n + 1) $ s kladnými podmínkami, na které použijeme limitní kritérium pro porovnávání sérií. Pro srovnání s řadou $ \\ sum \\ limity _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) a_ (n) \u003d \\ sum \\ limity _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) \\, \\ frac (\\ sqrt (n) ) (n + 1) $ zvažte řadu, která vypadá jako $ \\ sum \\ limity _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) \\, b_ (n) \u003d \\ sum \\ limity _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty ) \\, \\ frac (1) (\\ sqrt (n)) \\, $. Tato série je Dirichletova řada s exponentem $ p \u003d \\ frac (1) (2)
- Dále prozkoumáme původní řadu $ \\ sum \\ limity _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) \\ frac ((- 1) ^ (n) \\ cdot \\ sqrt (n)) (n + 1) $ za podmíněnou konvergenci. Za tímto účelem zkontrolujte splnění podmínek kritéria Leibniz. Podmínka 1): $ u_ (n) \u003d (- 1) ^ (n) \\ cdot a_ (n) $, kde $ a_ (n) \u003d \\ frac (\\ sqrt (n)) (n + 1)\u003e 0 $ , tj. tento řádek se střídá. Ke kontrole podmínky 2) monotónního poklesu podmínek řady používáme následující metodu. Zvažte pomocnou funkci $ f (x) \u003d \\ frac (\\ sqrt (x)) (x + 1) $, definovanou pro $ x \\ in (| a_ (n) |)))... Pak
Prohlášení o konvergenci v Cauchyho a d'Alembertově testu je odvozeno z porovnání s geometrickou postupností (s jmenovateli) lim ¯ n → ∞ \u2061 | a n + 1 a n | (\\ displaystyle \\ varlimsup _ (n \\ to \\ infty) \\ left | (\\ frac (a_ (n + 1)) (a_ (n))) \\ right |) a α (\\ displaystyle \\ alpha) ), o odchylce - od skutečnosti, že běžný termín řady nemá sklon k nule.
Cauchyův test je silnější než d'Alembertův test v tom smyslu, že pokud d'Alembertův test ukazuje konvergenci, pak Cauchyův test také naznačuje konvergenci; pokud nám Cauchyův test nedovolí vyvodit závěr o konvergenci, pak ani d'Alembertův test neumožňuje vyvodit žádné závěry; existují řady, pro které Cauchyův test ukazuje konvergenci, a d'Alembertův test neindikuje konvergenci.
Integrální test Cauchy - Maclaurin
Nechť je dána řada ∑ n \u003d 1 ∞ a n, a ⩾ 0 (\\ displaystyle \\ sum _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) a_ (n), a_ (n) \\ geqslant 0) a funkce f (x): R → R (\\ displaystyle f (x): \\ mathbb (R) \\ to \\ mathbb (R)) takový, že:
Pak série ∑ n \u003d 1 ∞ a n (\\ displaystyle \\ sum _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) a_ (n)) a integrál ∫ 1 ∞ f (x) d x (\\ displaystyle \\ int \\ limity _ (1) ^ (\\ infty) f (x) dx) sblížit se nebo odklonit se současně a ∀ k ⩾ 1 ∑ n \u003d k ∞ an ⩾ ∫ k ∞ f (x) dx ⩾ ∑ n \u003d k + 1 ∞ an (\\ displaystyle \\ forall k \\ geqslant 1 \\ \\ sum _ (n \u003d k) ^ (\\ infty ) a_ (n) \\ geqslant \\ int \\ limity _ (k) ^ (\\ infty) f (x) dx \\ geqslant \\ sum _ (n \u003d k + 1) ^ (\\ infty) a_ (n))
Raabeovo znamení
Nechť je dána řada ∑ a n (\\ displaystyle \\ sum a_ (n)), a n\u003e 0 (\\ displaystyle a_ (n)\u003e 0) a R n \u003d n (a n a n + 1 - 1) (\\ displaystyle R_ (n) \u003d n \\ left ((\\ frac (a_ (n)) (a_ (n + 1))) - 1 \\ right)).
Raabeho test je založen na srovnání s generalizovanou harmonickou řadou
Nad řádky
Příklady
Zvažte sérii 1 2 + 1 3 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 2 3 +. ... ... (\\ displaystyle (\\ frac (1) (2)) + (\\ frac (1) (3)) + (\\ frac (1) (2 ^ (2))) + (\\ frac (1) (3 ^ ( 2))) + (\\ frac (1) (2 ^ (3))) + ...)... Pro tento řádek:
Cauchyův test tedy naznačuje konvergenci, zatímco d'Alembertův test neumožňuje vyvodit žádné závěry.
Zvažte sérii ∑ n \u003d 1 ∞ 2 n - (- 1) n (\\ displaystyle \\ sum _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) 2 ^ (n - (- 1) ^ (n)))
Znamení Cauchy tedy naznačuje divergenci, zatímco znamení d'Alembert neumožňuje vyvodit žádné závěry.
Řádek ∑ n \u003d 1 ∞ 1 n α (\\ displaystyle \\ sum _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) (\\ frac (1) (n ^ (\\ alfa)))) konverguje v α\u003e 1 (\\ displaystyle \\ alfa\u003e 1) a rozchází se na α ⩽ 1 (\\ displaystyle \\ alpha \\ leqslant 1), Nicméně:
Znamení Cauchyho a D'Alemberta tedy neumožňují vyvodit žádné závěry.
Řádek ∑ n \u003d 1 ∞ (- 1) n n (\\ displaystyle \\ sum _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) (\\ frac ((-1) ^ (n)) (n))) konverguje podmíněně podle Leibnizova kritéria, ale ne absolutně, od harmonické řady ∑ n \u003d 1 ∞ | (- 1) n n | \u003d ∑ n \u003d 1 ∞ 1 n (\\ displaystyle \\ sum _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) \\ left | (\\ frac ((-1) ^ (n)) (n)) \\ right | \u003d \\ sum _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) (\\ frac (1) (n))) diverguje.
, není vázán v levém sousedství bodu b (\\ displaystyle b)... Nesprávný integrál druhého druhu ∫ a b f (x) d x (\\ displaystyle \\ int \\ limity _ (a) ^ (b) f (x) dx) volal naprosto konvergentnípokud je integrál ∫ a b | f (x) | d x (\\ displaystyle \\ int \\ limity _ (a) ^ (b) | f (x) | dx).