При изучении поведения большой совокупности молекул вместо силы взаимодействия молекул удобнее пользоваться потенциальной энергией.
Нужно вычислять средние характеристики системы, а понятие средней силы взаимодействия молекул лишено смысла, так как сумма всех сил, действующих между молекулами, в соответствии с третьим законом Ньютона равна нулю. Средняя же потенциальная энергия в существенной мере определяет состояние и свойства вещества.
Зависимость потенциальной энергии от расстояния между молекулами
Так как изменение потенциальной энергии определяется работой силы, то по известной зависимости силы от расстояния можно найти зависимость от расстояния потенциальной энергии. Но нам достаточно знать лишь примерный вид потенциальной кривой Е р (r ). Прежде всего вспомним, что потенциальная энергия определяется с точностью до произвольной постоянной, потому что непосредственный смысл имеет не сама потенциальная энергия, а разность потенциальных энергий в двух точках, равная работе, взятой с противоположным знаком. Будем считать, как принято в физике, Е = 0 при r → ∞. Потенциальную энергию системы можно рассматривать как работу, которую система может совершить, причем потенциальная энергия определяется расположением тел, но не их скоростями. Чем больше расстояние между молекулами, тем большую работу совершат силы притяжения между ними при их сближении. Поэтому при уменьшении r , начиная от очень больших значений, потенциальная энергия будет уменьшаться. Мы приняли, что при r → ∞ потенциальная энергия равна нулю, следовательно, при уменьшении r потенциальная энергия становится отрицательной (рис. 2.12).
В точке r = r 0 сила равна нулю (см. рис. 2.10). Поэтому если молекулы расположены на этом расстоянии, то они будут покоиться, и никакую работу система совершать не может. Это означает, что при r = r 0 потенциальная энергия имеет минимум. Мы могли бы это значение потенциальной энергии Е p 0 принять за начало отсчета потенциальной энергии. Тогда она была бы всюду положительной (рис. 2.13). Обе кривые (см. рис. 2.12 и 2.13) одинаково характеризуют взаимодействие молекул. Разность значений Е р для двух точек одинакова у обеих кривых, а только она и имеет смысл.
При r < r 0 появляются быстро растущие силы отталкивания. Они также могут совершать работу. Поэтому потенциальная энергия при дальнейшем сближении молекул растет, причем очень быстро.
Потенциальная кривая будет иметь форму, изображенную на рисунке 2.12, если молекулы сближаются в плоскости А вдоль линии, соединяющей их центры (рис. 2.14). Если же молекулы сближаются в плоскости В или в плоскости С, то потенциальная кривая будет иметь вид, показанный соответственно на рисунках 2.15, а и 2.15, б.
Главная задача
Можно многое объяснить и понять, исходя из определенных представлений о характере взаимодействия молекул в веществе. Мы остановимся только на одном очень общем вопросе: каким образом знание зависимости потенциальной энергии от расстояния между молекулами позволяет установить количественный критерий различия между газами, жидкостями и твердыми телами с точки зрения молекулярно-кинетической теории.
Предварительно рассмотрим движение молекул с энергетической точки зрения.
Позволяет провести анализ общих закономерностей движения, если известна зависимость потенциальной энергии от координат. Рассмотрим для примера одномерное движение материальной точки (частицы), вдоль оси 0x в потенциальном поле, показанном на рис. 4.12.
Рис.4.12. Движение частицы вблизи положений устойчивого и неустойчивого равновесия
Поскольку в однородном поле сил тяжести потенциальная энергия пропорциональна высоте подъема тела, можно представить себе ледяную горку (пренебрегаем трением) с профилем, соответствующим функции П(x) на рисунке.
Из закона сохранения энергии E = К + П и из факта, что кинетическая энергия К = Е - П всегда неотрицательна, следует, что частица может находиться лишь в областях, где E > П . На рисунке частица с полной энергией E может двигаться только в областях
В первой области ее движение будет ограничено (финитно): при данном запасе полной энергии частица не может преодолеть «горок» на своем пути (их называют потенциальными барьерами ) и обречена вечно оставаться в «долине» между ними. Вечно - с точки зрения классической механики, которую мы сейчас изучаем. В конце курса мы увидим, как квантовая механика помогает частице выбраться из заточения в потенциальной яме - области
Во второй области движение частицы не ограничено (инфинитно), она может удалиться бесконечно далеко от начала координат направо, но слева ее движение по-прежнему ограничено потенциальным барьером:
Видео 4.6. Демонстрация финитного и инфинитного движений.
В точках экстремума потенциальной энергии x MIN и x MAX сила, действующая на частицу, равна нулю, потому что равна нулю производная потенциальной энергии:
Если поместить в эти точки покоящуюся частицу, то она оставалась бы там... опять-таки вечно, если бы не флуктуации ее положения. В этом мире нет ничего строго покоящегося, частица может испытывать небольшие отклонения (флуктуации ) от положения равновесия. При этом, естественно, возникают силы. Если они возвращают частицу к положению равновесия, то такое равновесие называется устойчивым . Если же при отклонении частицы возникающие силы еще дальше уводят ее от равновесного положения, то мы имеем дело с неустойчивым равновесием, и частица в таком положении обычно долго не задерживается. По аналогии с ледяной горкой можно догадаться, что устойчивым будет положение в минимуме потенциальной энергии, а неустойчивым - в максимуме.
Докажем, что это действительно так. Для частицы в точке экстремума x M (x MIN или x MAX ) действующая на нее сила F x (x M) = 0 . Пусть вследствие флуктуации координата частицы изменяется на небольшую величину x . При таком изменении координаты на частицу начнет действовать сила
(штрихом обозначена производная по координате x ). Учитывая, что F x =-П" , получаем для силы выражение
В точке минимума вторая производная потенциальной энергии положительна: U"(x MIN) > 0 . Тогда при положительных отклонениях от положения равновесия x > 0 возникающая сила отрицательна, а при x <0 сила положительна. В обоих случаях сила препятствует изменению координаты частицы, и положение равновесия в минимуме потенциальной энергии устойчиво.
Наоборот, в точке максимума вторая производная отрицательна: U"(x MAX)<0 . Тогда увеличение координаты частицы Δx приводит к возникновению положительной же силы, еще больше увеличивающей отклонение от положения равновесия. При x <0 сила отрицательна, то есть и в этом случае способствует дальнейшему отклонению частицы. Такое положение равновесия неустойчиво.
Таким образом, положение устойчивого равновесия может быть найдено при совместном решении уравнения и неравенства
Видео 4.7. Потенциальные ямы, потенциальные барьеры и равновесие: устойчивое и неустойчивое.
Пример . Потенциальная энергия двухатомной молекулы (например, Н 2 или О 2 ) описывается выражением вида
где r - расстояние между атомами, а A , B - положительные постоянные. Определить равновесное расстояние r М между атомами молекулы. Устойчива ли двухатомная молекула?
Решение . Первый член описывает отталкивание атомов на малых расстояниях (молекула сопротивляется сжатию), второй - притяжение на больших расстояниях (молекула сопротивляется разрыву). В соответствии со сказанным, равновесное расстояние находится при решении уравнения
Дифференцируя потенциальную энергию, получаем
Находим теперь вторую производную потенциальной энергии
и подставляем туда значение равновесного расстояния r M :
Положение равновесия устойчиво.
На рис. 4.13 представлен опыт по изучению потенциальных кривых и условий равновесия шарика. Если на модели потенциальной кривой поместить шарик на высоту большую высоты потенциального барьера (энергия шарика больше энергии барьера), то шарик преодолевает потенциальный барьер. Если начальная высота шарика меньше высоты барьера, то шарик остается в пределах потенциальной ямы.
Шарик, помещенный в наивысшую точку потенциального барьера, находится в неустойчивом равновесии, поскольку любое внешнее воздействие приводит к переходу шарика в нижнюю точку потенциальной ямы. В нижней точке потенциальной ямы шарик находится в устойчивом равновесии, поскольку любое внешнее воздействие приводит к возвращению шарика в нижнюю точку потенциальной ямы.
Рис. 4.13. Экспериментальное изучение потенциальных кривых
Дополнительная информация
http://vivovoco.rsl.ru/quantum/2001.01/KALEID.PDF – Приложение к журналу «Квант» - рассуждения об устойчивом и неустойчивом равновесии (А. Леонович);
http://mehanika.3dn.ru/load/24-1-0-3278 – Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики, Изд,Высшая школа, 1986 г. – стр. 11–15, §2 – исходные положения статики.
Характер взаимодействия между молекулами лучше всего показать с помощью приведенной на рис. 6 кривой, изображающей взаимную потенциальную энергию двух молекул как функцию расстояния r между их центрами. При построении этой кривой потенциальная энергия молекул, находящихся на бесконечно большом расcтоянии друг от друга (т. е. когда они не взаимодействуют), положена равной нулю. Следовательно, кривая идет так, что при r , стремящемся к бесконечности, асимптотически приближается к оси r.
Рис.6. Зависимость потенциальной энергии взаимодействия молекул от расстояния между молекулами
Зная потенциальную энергию как функцию r , можно определить силу, с которой взаимодействуют молекулы на разных расстояниях друг от друга. Для этого нужно воспользоваться известным из механики соотношением
Знак «–» здесь отражает то обстоятельство, что силы, с которыми взаимодействуют молекулы, стремятся перевести их в состояние с наименьшей потенциальной энергией. Следовательно, на расстояниях, превышающих r 0 , между молекулами действуют силы взаимного притяжения, а на расстояниях, меньших r 0 , – силы отталкивания. Крутизна хода кривой в соответствующем месте дает величину силы.
Рассмотрим с помощью кривой ε Р процесс сближения (соударения) молекул. Поместим мысленно центр одной из молекул в начало координат, а центр второй молекулы представим перемещающимся по оси r . Пусть вторая молекула летит по направлению к первой из бесконечности, имея начальный запас кинетической энергии ε k = ε 1 . Приближаясь к первой молекуле, вторая под действием силы притяжения движется со все возрастающей скоростью. В результате кинетическая энергия молекулы ей также растет. Однако полная энергия системы, равная ε = ε k + ε р, остается неизменной (система двух молекул замкнута) и равной ε 1 так как одновременно уменьшается потенциальная энергия ε р. При прохождении молекулой точки с координатой r 0 силы притяжения сменяются силами отталкивания, вследствие чего молекула начинает быстро терять скорость (в области отталкивания кривая ε р идет очень круто). В момент, когда потенциальная энергия ε р становится равной полной энергии системы ε 1 , скорость молекулы обращается в нуль. В этот момент имеет место наибольшее сближение молекул друг с другом. Минимальное расстояние d 1 , на которое могут сблизиться центры молекул, представляет собой эффективный диаметр молекулы. После остановки молекулы все явления протекают в обратной последовательности: сначала молекула движется со все возрастающей скоростью под действием силы отталкивания; миновав расстояние r 0 , молекула попадает под действие замедляющей ее движение силы притяжения и, наконец, удаляется на бесконечность, имея первоначальный запас кинетической энергии ε 1 .
Из рис. 6 видно, что в случае, когда молекула начинает свое движение из бесконечности с большим запасом энергии ε 2 , минимальное расстояние d 2 ,на которое сближаются центры молекул, оказывается меньшим. Таким образом, эффективный диаметр молекул зависит от их средней энергии, а следовательно, и от температуры. С повышением температуры эффективный диаметр молекул d уменьшается, вследствие чего средняя длина свободного пробега λ растет.
Рис.7. Зависимость потенциальной энергии взаимодействия молекул от расстояния между молекулами в модели идеального газа
Характер взаимодействия между молекулами, предполагавшийся при выводе уравнения состояния идеального газа, соответствует потенциальной кривой, изображенной на рис. 7. На расстояниях, превышающих r 0 , ε р постоянна, вследствие чего сила равна нулю. При r = r 0 ε р обращается в бесконечность, образуя потенциальный барьер, препятствующий сближению центров молекул на расстояния, меньшие r 0 . Такое упрощенное рассмотрение допустимо, если средние расстояния между молекулами в газе достаточно велики: при больших r кривая ε р на рис. 6 идет очень полого, вследствие чего . По мере же уменьшения среднего расстояния между молекулами, т. е. при увеличении плотности газа, роль сил притяжения между молекулами все больше растет. Одновременно, как мы видели выше, сокращается та часть занимаемого газом объема, в пределах которой может происходить движение молекул.
Модель идеального газа, используемая в молекулярно-кинетической теории газов, позволяет описывать поведение разреженных реальных газов при достаточно высоких температурах и низких давлениях. При выводе уравнения состояния идеального газа размерами молекул и их взаимодействием друг с другом пренебрегают. Повышение давления приводит к уменьшению среднего расстояния между молекулами, поэтому необходимо учитывать объем молекул и взаимодействие между ними. Так, в 1 м 3 газа при нормальных условиях содержится 2,68 . 10 25 молекул, занимающих объем примерно 10 -4 м 3 (радиус молекулы примерно 10 -10 м), которым по сравнению с объемом газа (1 м 3) можно пренебречь. При давлении 500 МПа (1 атм =101,3 кПа) объем молекул составит уже половину всего объема газа. Таким образом, при высоких давлениях и низких температурах указанная модель идеального газа непригодна.
При рассмотрении реальных газов - газов, свойства которых зависят от взаимодействия молекул, надо учитывать силы межмолекулярного взаимодействия. Они проявляются на расстояниях < 10 -9 м и быстро убывают при увеличении расстояния между молекулами. Такие силы называются короткодействующими.
В XX в., по мере развития представлений о строении атома и квантовой механики, было выяснено, что между молекулами вещества одновременно действуют силы притяжения и силы отталкивания. На рис. 22 приведена качественная зависимость сил межмолекулярного взаимодействия от расстояния между молекулами. На очень малых расстояниях преобладают силы отталкивания , которые считаются положительными, а на больших - силы взаимного притяжения – которые считаются отрицательными, -их результирующая, причем
где - радиус вектор, проведенный в точку нахождения рассматриваемой молекулы из той точки, в которой находится другая молекула. Проекции F 1 r и F 2 r сил и на направление вектора зависят от расстояния между взаимодействующими молекулами. Примерный характер этой зависимости показан на рис. 22.
На расстоянии r = r 0 результирующая сила
F r = 0. Расстояние r 0 соответствует равновесному расстоянию между молекулами, на котором бы они находились в отсутствие теплового движения. При r< r 0 преобладают силы отталкивания (F r > 0), при r> r 0 – силы притяжения (F r < 0). На расстояниях > 10 -9 м межмолекулярные силы взаимодействия практически отсутствуют.
Рассмотрим взаимную потенциальную энергию W п двух молекул. Её можно найти следующим образом. Подсчитаем элементарную работу dА, совершаемую результирующей силой F r межмолекулярного взаимодействия.
dА = F r dr. (3. 1)
С другой стороны, эта работа совершается за счет уменьшения взаимной потенциальной энергии молекул:
dА = -dW п (3. 2)
соответствующей тому значению r, для которого нужно найти W п . Из уравнений (3.1) и (3.2) следует
dW п = - F r dr. (3. 3)
Интегрируя выражение (3.3) по r от r до ¥, получаем
На бесконечно большом расстоянии друг от друга молекулы не взаимодействуют. Поэтому взаимную потенциальную энергию Wn (¥) двух бесконечно удаленных друг от друга молекул удобно при нять равной нулю. Окончательно,
Интеграл, стоящий справа, можно найти графически, если задана зависимость силы F r or r (рис. 23). Он пропорционален площади, ограниченной кривой F r =F r (r), осью r и вертикалью (r = const),
При сближении молекул до расстояния r 0 их взаимная потенциальная энергия уменьшается, а кинетическая соответственно увеличивается. Это происходит за счет положительной работы, совершаемой результирующей силой взаимного притяжения молекул (при r >
r 0 F r <0).
Дальнейшее уменьшение расстояния между молекулами сопряжено с совершением ими работы против результирующей силы взаимного отталкивания молекул (при r
Если молекулы находятся достаточно далеко друг от друга, то их взаимная потенциальная энергия равна нулю, а полная энергия W этой консервативной системы равна их кинетической энергии W к. К моменту максимального сближения молекул (r = r 1 ) вся их кинетическая энергия оказывается полностью израсходованной на совершение работы против сил отталкивания [W к (r 1) = 0], а их взаимная потенциальная энергия W п (r 1) = 0 . При прочих равных условиях расстояние r 1 тем меньше, чем выше температура газа. Однако зависимость W п от r в области положительных значений W п настолько «крутая», что даже значительные изменения температуры газа приводят к сравнительно небольшим изменениям величины r 1 . Поэтому в первом приближении можно считать, что r 1 зависит только от химической природы газа и представляет собой не что иное, как эффективный диаметр d молекул. Из сказанного ясно, что возможность представления молекул газа в виде твердых шариков диаметра d связана с очень быстрым увеличением сил взаимного отталкивания молекул реального газа при уменьшении расстояния между ними.
Еще в древности было открыто золотое правило механики: выигрывая в силе, проигрываешь в расстоянии. Действительно, если, например, поднимать груз по наклонной плоскости, то приходится совершать работу против сил тяжести (будем считать, что работой против сил трения можно пренебречь). Если наклонная плоскость пологая, то путь длинный, но к грузу можно прикладывать меньшую силу. По крутой плоскости поднимать груз тяжелее, но зато путь короче. Работа, которую надо совершить для того, чтобы поднять груз массы m на высоту , всегда одинакова и равна .
Это важнейшее свойство сил тяжести: работа не зависит от формы пути, а определяется только начальным и конечным положениями тела. На рис. 1 показаны три возможных перемещения тела из точки М в точку N. Ускорение поля тяжести обозначено стрелкой. Легко доказать, что, перемещая тела по отрезку MN и по ломаной MON, придется совершить одинаковую работу, так как на участке МО работа равна нулю. Разбив кривой путь на множество прямых отрезков, можно убедиться, что в этом случае работа одинаковая.
Силы, обладающие таким свойством, называют потенциальными или консервативными. Для них можно определить потенциальную энергию. Достаточно выбрать начало отсчета - считать, что в каком-то положении (например, на поверхности Земли) потенциальная энергия равна нулю, и тогда в любой другой точке она будет равна работе по перемещению тела из начального положения в эту точку.
Потенциальная энергия вместе с кинетической энергией составляет полную механическую энергию тела. Если тело находится только в поле потенциальных сил, то полная энергия сохраняется (закон сохранения механической энергии). Чтобы запустить ракету, способную покинуть пределы Солнечной системы, необходимо сообщить ей огромную скорость (около 11 км/с). Запас кинетической энергии компенсирует увеличение потенциальной энергии при удалении ракеты от Земли.
Потенциальны не только силы тяжести, но и силы электростатического взаимодействия. Ведь закон Кулона очень похож на закон всемирного тяготения Ньютона. Даже формулы для потенциальной энергии почти одинаковые: в обоих случаях энергия обратно пропорциональна расстоянию между взаимодействующими телами.
В то же время работа сил трения зависит от формы пути (например, при сухом трении короткий путь самый лучший), и такие силы не являются потенциальными.
С помощью потенциальной энергии удобно описывать взаимодействие частиц в микромире, например двух атомов. На больших расстояниях между атомами действуют силы притяжения. Хотя каждый атом нейтральный, под воздействием электрического поля другого атома он превращается в маленький диполь, и эти диполи притягиваются друг к другу (рис. 2). Поэтому при сближении атомов их надо удерживать и совершать отрицательную работу против этих сил. На малых расстояниях между атомами, напротив, действуют силы отталкивания, обусловленные в основном кулоновским взаимодействием сближающихся ядер. В этом случае для сближения атомов надо совершать положительную работу.
График потенциальной энергии атомов в зависимости от расстояния между ними показан на рис. 3. Потенциальная энергия имеет минимум, и это положение атомов соответствует устойчивому образованию - молекуле. В таком случае говорят, что атомы находятся в потенциальной яме.
Точно так жевкристалле атомы располагаются в пространстве таким образом, чтобы он обладал минимальной потенциальной энергией. В результате образуется периодическая структура - кристаллическая решетка (см. Кристаллофизика).
Устойчивому положению системы всегда соответствует минимум потенциальной энергии. На рис. 4 показан рельеф поверхности, на которой находится шарик. Имеется три положения равновесия, но только одно, соответствующее минимуму потенциальной энергии, - устойчивое (в данном случае шарик буквально в яме).
Интересно, что если между частицами действуют только силы электростатического взаимодействия (система неподвижных зарядов), то они вообще не могут находиться в состоянии устойчивого равновесия. Потенциальная энергия не имеет минимума, и система обязательно развалится (заряды разлетятся). Эта теорема Ирншоу послужила важнейшим доказательством несостоятельности статической модели атома.
