Atunci când studiați comportamentul unei populații mari de molecule, este mai convenabil să folosiți energia potențială în locul forței de interacțiune a moleculelor.
Este necesar să se calculeze caracteristicile medii ale sistemului, iar conceptul forței de interacțiune medie a moleculelor nu are sens, deoarece suma tuturor forțelor care acționează între molecule, în conformitate cu a treia lege a lui Newton, este zero. Energia potențială medie determină substanțial starea și proprietățile substanței.
Dependența energiei potențiale de distanța dintre molecule
Deoarece schimbarea energiei potențiale este determinată de munca forței, din dependența cunoscută a forței de distanță, se poate găsi dependența de distanța de energie potențială. Dar trebuie doar să cunoaștem o formă aproximativă a curbei potențiale E r (r) În primul rând, reamintim că energia potențială este determinată exact într-o constantă arbitrară, deoarece nu energia energetică potențială este cea care are sensul direct, ci diferența energiilor potențiale în două puncte, egală cu munca desfășurată cu semnul opus. Vom lua în considerare, așa cum este obișnuit în fizică, E \u003d 0 la r → ∞. Energia potențială a sistemului poate fi considerată munca pe care sistemul o poate face, iar energia potențială este determinată de locația corpurilor, dar nu de viteza lor. Cu cât distanța dintre molecule este mai mare, cu atât se vor lucra mai mult prin forțele atractive dintre ele atunci când se apropie între ele. Prin urmare, atunci când scade rPornind de la valori foarte mari, energia potențială va scădea. Am acceptat asta cu r → ∞, energia potențială este egală cu zero, prin urmare, odată cu scăderea r energia potențială devine negativă (Fig. 2.12).
La punct r = r 0 forța este zero (vezi fig. 2.10). Prin urmare, dacă moleculele sunt situate la această distanță, atunci se vor odihni, iar sistemul nu poate face nicio treabă. Aceasta înseamnă că pentru r = r 0 energia potențială are un minim. Am putea avea această valoare energetică potențială E p 0 care trebuie luat ca punct de referință al energiei potențiale. Atunci ar fi peste tot pozitiv (Fig. 2.13). Ambele curbe (vezi Fig. 2.12 și 2.13) caracterizează în mod egal interacțiunea moleculelor. Diferența valorilor E r pentru două puncte este aceeași pentru ambele curbe, dar doar are sens.
La r < r 0 apar forțe repulsive în creștere rapidă. De asemenea, pot face treaba. Prin urmare, energia potențială crește cu o abordare suplimentară a moleculelor și foarte repede.
Curba potențială va avea forma prezentată în figura 2.12, dacă moleculele se reunesc într-un plan ȘIde-a lungul liniei care leagă centrele (Fig. 2.14). Dacă moleculele se reunesc într-un plan ÎNsau în avion DIN,atunci curba potențială va avea forma indicată respectiv în Figurile 2.15, șiși 2.15, b.
sarcina principală
Puteți explica și înțelege multe, pe baza anumitor idei despre natura interacțiunii moleculelor în materie. Ne vom concentra doar pe o singură întrebare generală: modul în care cunoașterea dependenței energiei potențiale de distanța dintre molecule ne permite să stabilim un criteriu cantitativ pentru diferența dintre gaze, lichide și solide din punctul de vedere al teoriei cinetice moleculare.
Să analizăm mai întâi mișcarea moleculelor din punct de vedere energetic.
Vă permite să analizați legile generale ale mișcării, dacă este cunoscută dependența energiei potențiale de coordonate. De exemplu, luați în considerare mișcarea unidimensională a unui punct material (particulă) de-a lungul axei 0x în câmpul potențial prezentat în fig. 4.12.
Figura 4.12. Mișcarea particulelor în apropierea unui echilibru stabil și instabil
Deoarece energia potențială într-un câmp gravitațional uniform este proporțională cu înălțimea corpului, vă puteți imagina un tobogan de gheață (frecare de neglijare) cu un profil corespunzător funcției P (x) pe imagine.
Din legea conservării energiei E \u003d K + P și din faptul că energie kinetică K \u003d E - P întotdeauna non-negativ, rezultă că particulele pot fi doar în zone în care E\u003e P. În figură, o particulă cu energie deplină E se poate deplasa doar în zone
În prima regiune, mișcarea sa va fi limitată (finită): pentru o anumită furnizare de energie totală, particulele nu pot depăși „diapozitivele” din calea sa (ele sunt numite bariere potențiale) și este sortit să rămână în „vale” între ei pentru totdeauna. Pentru totdeauna - din punctul de vedere al mecanicii clasice, pe care îl studiem în prezent. La sfârșitul cursului, vom vedea cum mecanica cuantică ajută o particulă să iasă din închisoare într-un puț potențial - o zonă
În a doua regiune, mișcarea particulelor nu este limitată (la infinit), ea se poate deplasa infinit departe de la origine la dreapta, dar mișcarea sa spre stânga este încă limitată de o barieră potențială:
Video 4.6. Demonstrarea mișcărilor finite și infinite.
În punctele extreme ale energiei potențiale x MIN și x MAX forța care acționează asupra particulei este zero, deoarece derivatul energiei potențiale este egal cu zero:
Dacă o particulă de repaus ar fi plasată în aceste puncte, atunci ar rămâne acolo ... din nou pentru totdeauna, dacă nu, pentru fluctuații în poziția sa. În această lume nu există nimic strict odihnit, o particulă poate experimenta mici abateri (fluctuații) din poziția de echilibru. În acest caz, în mod natural, apar forțe. Dacă întorc particulele în poziția de echilibru, atunci se numește acest echilibru durabilă. Dacă, atunci când particulele se deviază, forțele apărute o iau și mai departe de poziția de echilibru, atunci avem de-a face cu instabil echilibru, iar particulele din această poziție nu persistă de obicei mult timp. Prin analogie cu un tobogan, se poate ghici că poziția în minimul energiei potențiale va fi stabilă și instabilă în maxim.
Să dovedim că este într-adevăr așa. Pentru o particulă într-un punct extrem x M (x MIN sau x MAX) forțează să acționeze asupra sa F x (x M) \u003d 0. Lasa coordonata particulelor sa se schimbe cu o cantitate mica din cauza fluctuatiilor x. Cu o astfel de modificare a coordonatei, o forță va acționa asupra particulei
(primul denotă derivatul cu privire la coordonată x) Dat fiind F x \u003d -P ", obținem pentru forță expresia
În punctul minim, a doua derivată a energiei potențiale este pozitivă: U "(x MIN)\u003e 0. Apoi, cu abateri pozitive de la poziția de echilibru x > 0 forța rezultată este negativă și când x<0 forța este pozitivă. În ambele cazuri, forța împiedică schimbarea coordonatei particulelor, iar poziția de echilibru în energia potențială minimă este stabilă.
În schimb, în \u200b\u200bpunctul maxim, a doua derivată este negativă: U "(x MAX)<0 . Apoi, o creștere a coordonatei particulelor Δx duce la apariția unei forțe pozitive, ceea ce crește în continuare abaterea de la poziția de echilibru. La x<0 forța este negativă, adică, în acest caz, contribuie la o deviere suplimentară a particulei. Acest echilibru este instabil.
Astfel, poziția echilibrului stabil poate fi găsită prin rezolvarea în comun a ecuației și a inegalității
Video 4.7. Gropi potențiale, bariere potențiale și echilibru: stabile și instabile.
Exemplu. Energia potențială a unei molecule diatomice (de ex. H2 sau Cam 2) este descris printr-o expresie a formei
unde r este distanța dintre atomi și A, B - constante pozitive. Determinați distanța de echilibru r M între atomii unei molecule. Este stabilă o moleculă diatomică?
Decizie. Primul termen descrie repulsia atomilor la distanțe mici (molecula rezistă la compresiune), al doilea descrie atracția la distanțe mari (molecula rezistă la rupere). În conformitate cu cele de mai sus, distanța de echilibru se găsește la rezolvarea ecuației
Diferențiem energia potențială, obținem
Găsim acum a doua derivată a energiei potențiale
și înlocuiește valoarea distanței de echilibru acolo r M :
Poziția de echilibru este stabilă.
În fig. 4.13 prezintă experiență în studierea curbelor potențiale și a condițiilor de echilibru ale mingii. Dacă pe modelul curbei potențiale se plasează mingea la o înălțime mai mare decât înălțimea barierei potențiale (energia mingii este mai mare decât energia barierei), atunci mingea depășește bariera potențială. Dacă înălțimea inițială a mingii este mai mică decât înălțimea barierei, mingea rămâne în interiorul putului potențial.
O bilă plasată în punctul cel mai înalt al barierei potențiale se află în echilibru instabil, deoarece orice acțiune externă duce la trecerea mingii la punctul inferior al puțului potențial. În punctul inferior al puțului potențial, mingea este într-un echilibru stabil, deoarece orice acțiune externă duce la întoarcerea mingii în punctul inferior al puțului potențial.
Fig. 4.13. Studiu experimental al potențialelor curbe
informatii suplimentare
http://vivovoco.rsl.ru/quantum/2001.01/KALEID.PDF - Apendice la jurnalul „Quantum” - raționament despre echilibrul stabil și instabil (A. Leonovich);
http://mehanika.3dn.ru/load/24-1-0-3278 - Targ S.M. Un curs scurt în mecanică teoretică, Editura, Școala Superioară, 1986 - pp. 11-15, §2 - prevederi inițiale de statică.
Natura interacțiunii dintre molecule este cel mai bine arătată folosind cea prezentată în Fig. 6 curba care prezintă energia potențială reciprocă a două molecule ca funcție de distanță rîntre centrele lor. Atunci când construim această curbă, energia potențială a moleculelor situate la o distanță infinit de mare una de cealaltă (adică, atunci când acestea nu interacționează) este setată egală cu zero. Prin urmare, curba merge astfel încât rtinde spre infinit, se apropie asimptotic de axă r.
Fig. 6. Dependența energiei potențiale de interacțiune a moleculelor de distanța dintre molecule
Cunoașterea energiei potențiale ca funcție r, puteți determina forța cu care moleculele interacționează la distanțe diferite unele de altele. Pentru a face acest lucru, utilizați relația cunoscută din mecanică
Semnul „-” aici reflectă faptul că forțele cu care interacționează moleculele tind să le transpună într-o stare cu cea mai mică energie potențială. Prin urmare, la distanțe mai mari r 0, forțele de atracție reciprocă acționează între molecule și la distanțe mai scurte r 0, - forțe repulsive. Abruptul curbei în locul corespunzător dă amploarea forței.
Să luăm în considerare, folosind curba ε P, procesul de aproximare (coliziune) a moleculelor. Puneți mental centrul unei molecule la origine și imaginați-vă centrul celei de-a doua molecule ca mișcându-se de-a lungul axei r. Lasa a doua molecula sa zboare spre prima de la infinit, avand o sursa initiala de energie cinetica ε k \u003d ε 1. Apropiindu-se de prima moleculă, a doua sub acțiunea forței atractive se mișcă cu o viteză în continuă creștere. Ca urmare, energia cinetică a moleculei crește și ea. Totuși, energia totală a sistemului, egală cu ε \u003d ε k + ε p, rămâne neschimbată (sistemul a două molecule este închis) și egal cu ε 1, deoarece energia potențială ε p scade simultan. Când o moleculă trece un punct cu o coordonată r 0 forțele atractive sunt înlocuite cu forțe repulsive, în urma cărora molecula începe să piardă rapid viteza (în regiunea de repulsie, curba ε p merge foarte abrupt). În momentul în care energia potențială ε p devine egală cu energia totală a sistemului ε 1, viteza moleculei se stinge. În acest moment are loc cea mai apropiată abordare a moleculelor între ele. Distanța minimă d 1 la care centrele moleculelor se pot apropia reciproc este diametrul efectiv al moleculei. După ce molecula se oprește, toate fenomenele apar în ordine inversă: mai întâi, molecula se mișcă cu viteză crescândă sub acțiunea forței repulsive; după ce a trecut distanța r 0, molecula cade sub acțiunea forței atractive care își încetinește mișcarea și, în final, se îndepărtează până la infinit, având rezerva inițială de energie cinetică ε 1.
Din fig. Figura 6 arată că, în cazul în care molecula își începe mișcarea de la infinit cu o rezervă mare de energie ε 2, distanța minimă d 2 la care centrii moleculelor se apropie este mai mică. Astfel, diametrul efectiv al moleculelor depinde de energia lor medie, și deci de temperatură. Odată cu creșterea temperaturii, diametrul eficient al moleculelor dscade, ca urmare a căii liberei medii λ crește.
Fig. 7 Dependența energiei potențiale a interacțiunii moleculelor de distanța dintre molecule în modelul ideal de gaz
Natura interacțiunii dintre molecule, care a fost asumată la derivarea ecuației de stare a unui gaz ideal, corespunde curbei potențiale prezentate în Fig. 7. La distanțe mai mari r 0, ε Rconstantă, în urma căreia forța este zero. La r \u003d r 0 ε pse transformă la infinit, formând o barieră potențială care împiedică centrii moleculelor să se apropie de distanțe mai scurte r 0. O astfel de considerație simplificată este permisă dacă distanțele medii între moleculele din gaz sunt suficient de mari: pentru mari rcurba ε Rîn fig. 6 este foarte gol, în urma căreia. Pe măsură ce distanța medie între molecule scade, adică cu o creștere a densității gazelor, rolul forțelor atractive între molecule crește din ce în ce mai mult. În același timp, așa cum am văzut mai sus, acea parte a volumului ocupat de gaz este redusă în interiorul căreia se pot deplasa moleculele.
Modelul ideal de gaz utilizat în teoria molecular-cinetică a gazelor permite descrierea comportamentului gazelor rarefiate la temperaturi suficient de ridicate și la presiuni joase. În derivarea ecuației de stare a unui gaz ideal, dimensiunea moleculelor și interacțiunea lor între ele sunt neglijate. O creștere a presiunii duce la o scădere a distanței medii între molecule, prin urmare, este necesar să se țină seama de volumul de molecule și de interacțiunea dintre ele. Deci, în 1 m 3 de gaz în condiții normale conține 2,68. 10 molecule care ocupă un volum de aproximativ 10 -4 m 3 (raza moleculei este de aproximativ 10 -10 m), care poate fi neglijată în comparație cu volumul de gaz (1 m 3). La o presiune de 500 MPa (1 atm \u003d 101,3 kPa), volumul de molecule va fi deja jumătate din volumul total de gaz. Astfel, la presiuni ridicate și temperaturi scăzute, acest model de gaz ideal este impropriu.
Prin revizuire gaze reale - gaze ale căror proprietăți depind de interacțiunea moleculelor, este necesar să se țină seama de forțele interacțiunii intermoleculare. Apar la distanțe< 10 -9 м и быстро убывают при увеличении расстояния между молекулами. Такие силы называются короткодействующими.
În secolul XX, odată cu dezvoltarea ideilor despre structura atomului și a mecanicii cuantice, s-a aflat că între moleculele de materie acționează atât forțele atrăgătoare cât și cele respingătoare. În fig. Figura 22 arată dependența calitativă a forțelor interacțiunii intermoleculare de distanța dintre molecule. La distanțe foarte mici predomină forțele repulsive, care sunt considerate pozitive, iar la distanțe mari, rezultă forțele de atracție reciprocă, care sunt considerate negative, și
unde este raza vectorului atrasă până la punctul de locație a moleculei în cauză din punctul în care se află o altă moleculă. Proiecțiile forțelor F 1 r și F 2 r și pe direcția vectorului depind de distanța dintre moleculele care interacționează. Natura aproximativă a acestei dependențe este prezentată în Fig. 22.
La distanță r \u003d r 0 putere netă
F r \u003d 0. Distanța r 0 corespunde distanței de echilibru între moleculele la care s-ar afla în absența mișcării termice. La r< r 0 forțele repulsive prevalează ( Fr. R \u003e 0), pt r\u003e r 0 - forțele de atracție ( Fr. R < 0). На расстояниях > Forțele de interacțiune între 10 și 9 m sunt practic absente.
Luați în considerare energia potențială reciprocă W p a două molecule. Acesta poate fi găsit după cum urmează. Să calculăm lucrarea elementară dA efectuată de forța rezultată F r a interacțiunii intermoleculare.
dA \u003d F r dr. (3. 1)
Pe de altă parte, această lucrare se realizează prin reducerea energiei potențiale reciproce a moleculelor:
dA \u003d -dW p (3.2)
corespunzător acelei valori r , pentru care trebuie să găsiți W p. Din ecuațiile (3.1) și (3.2) rezultă
dW n \u003d - F r dr. (3. 3)
Integrarea expresiei (3.3) peste r din rla ¥, ajungem
La o distanță infinit de mare între ele, moleculele nu interacționează. Prin urmare, energia potențială reciprocă Wn (¥) a două molecule infinit îndepărtate unele de altele este convenabilă nul egal cu zero. In cele din urma,
Integrala din dreapta poate fi găsită grafic dacă este dată dependența de forță Fr. R sau r (fig. 23). Este proporțional cu aria delimitată de curbă. F r \u003d F r (r), axă rși vertical ( r\u003d const),
Odată cu apropierea moleculelor la o distanță r 0, energia lor potențială reciprocă scade, iar energia cinetică crește în consecință. Acest lucru se datorează muncii pozitive efectuate de forța rezultată a atracției reciproce a moleculelor (la r\u003e r 0 Fr. R<0).
O scădere suplimentară a distanței dintre molecule este asociată cu munca lor împotriva forței rezultate a repulsiei reciproce a moleculelor (când r
Dacă moleculele sunt destul de depărtate, atunci energia lor potențială reciprocă este zero, iar energia totală W acest sistem conservator este egal cu energia lor cinetică W la.Până la momentul apropierii maxime a moleculelor (r \u003d r 1) toată energia lor cinetică este complet cheltuită pentru efectuarea muncii împotriva forțelor repulsive [ W la (r 1) \u003d 0] și energia lor potențială reciprocă W P (r 1) \u003d 0. Alte lucruri fiind egale, distanța r 1 cu cât temperatura gazului este mai mică. Oricât de dependență W pdin rîn regiunea valorilor pozitive ale W p atât de „abrupte”, încât chiar și modificări semnificative ale temperaturii gazului duc la modificări relativ mici r 1. Prin urmare, ca primă aproximare, putem presupune că r 1depinde doar de natura chimică a gazului și nu este altceva decât diametrul efectiv d molecule. Din cele de mai sus, este clar că posibilitatea reprezentării moleculelor de gaz sub formă de bile solide cu diametrul d Este asociată cu o creștere foarte rapidă a forțelor de repulsie reciprocă a moleculelor de gaz reale, cu o scădere a distanței dintre ele.
Chiar și în antichitate, regula de aur a mecanicii a fost descoperită: câștigând în forță, pierzi în depărtare. Într-adevăr, dacă, de exemplu, sarcina este ridicată de-a lungul unui plan înclinat, atunci trebuie să lucrăm împotriva gravitației (presupunem că munca împotriva frecării poate fi neglijată). Dacă planul înclinat este blând, atunci calea este lungă, dar mai puțină forță poate fi aplicată sarcinii. Este mai greu să ridici sarcina pe un plan abrupt, dar calea este mai scurtă. Munca care trebuie făcută pentru a ridica o sarcină de masă m la o înălțime este întotdeauna aceeași și egală.
Aceasta este cea mai importantă proprietate a gravitației: munca nu depinde de forma căii, ci este determinată doar de pozițiile inițiale și finale ale corpului. În fig. Figura 1 prezintă trei mișcări posibile ale corpului din punctul M în punctul N. Accelerația câmpului gravitațional este indicată de o săgeată. Este ușor de dovedit că prin mișcarea corpurilor de-a lungul segmentului MN și de-a lungul liniei rupte MON, va trebui să faceți aceeași treabă, deoarece munca pe site-ul MO este zero. Împărțind calea curbei într-un set de segmente drepte, putem verifica dacă în acest caz lucrarea este aceeași.
Forțele cu această proprietate sunt numite potențiale sau conservatoare. Pentru ei, puteți determina energia potențială. Este suficient să alegeți un punct de referință - să presupunem că, într-o anumită poziție (de exemplu, pe suprafața Pământului), energia potențială este zero, iar în orice alt punct va fi egală cu munca de mișcare a corpului din poziția inițială în acest punct.
Energia potențială împreună cu energia cinetică constituie energia mecanică totală a corpului. Dacă corpul se află numai în câmpul forțelor potențiale, atunci energia totală este conservată (legea conservării energiei mecanice). Pentru a lansa o rachetă capabilă să părăsească limitele sistemului solar, este necesar să-i spunem o viteză uriașă (aproximativ 11 km / s). Stocul de energie cinetică compensează creșterea energiei potențiale pe măsură ce racheta se îndepărtează de Pământ.
Potențial nu numai gravitația, ci și forțele interacțiunii electrostatice. La urma urmei, legea lui Coulomb este foarte similară cu legea gravitației universale a lui Newton. Chiar și formulele pentru energia potențială sunt aproape aceleași: în ambele cazuri, energia este invers proporțională cu distanța dintre corpurile care interacționează.
În același timp, munca forțelor de frecare depinde de forma căii (de exemplu, cu frecare uscată, calea scurtă este cea mai bună), iar astfel de forțe nu sunt potențiale.
Folosind energia potențială, este convenabil să descrieți interacțiunea particulelor din microworld, de exemplu, doi atomi. La distanțe mari între atomi, forțele atractive acționează. Deși fiecare atom este neutru, sub influența câmpului electric al altui atom se transformă într-un dipol mic, iar acești dipoli sunt atrași unul de celălalt (Fig. 2). Prin urmare, atunci când atomii se apropie unul de celălalt, ei trebuie reținuți și munca negativă împotriva acestor forțe. La distanțe mici între atomi, dimpotrivă, forțele repulsive acționează, în principal datorită interacțiunii Coulomb a nucleelor \u200b\u200bcare se apropie. În acest caz, pentru a aduce mai aproape atomii, este necesar să lucrați pozitiv.
În fig. Este prezentat un grafic al energiei potențiale a atomilor, în funcție de distanța dintre ei. 3. Energia potențială are un minim, iar această poziție a atomilor corespunde unei formări stabile - o moleculă. În acest caz, ei spun că atomii sunt într-un potențial bine.
În exact același mod, atomii sunt aranjați în spațiu într-un cristal cristal, astfel încât să posede o energie potențială minimă. Ca urmare, se formează o structură periodică - o rețea de cristal (vezi Fizica cristalului).
Poziția stabilă a sistemului corespunde întotdeauna unui minim de energie potențială. În fig. 4 prezintă topografia suprafeței pe care se află bila. Există trei poziții de echilibru, dar numai una corespunzătoare energiei potențiale minime este stabilă (în acest caz, mingea este literalmente în groapă).
Este interesant faptul că dacă doar forțele de interacțiune electrostatică (un sistem de sarcini fixe) acționează între particule, atunci ele nu pot fi în general într-o stare de echilibru stabil. Energia potențială nu are un minim, iar sistemul se va destrăma în mod obligatoriu (taxele vor zbura). Această teoremă a Earnshaw a servit drept cea mai importantă dovadă a inconsistenței modelului atomic static.
