cu (în general vorbind) termeni complexi pentru care converge seria
Pentru convergența absolută a seriei (1), este necesar și suficient (criteriul Cauchy pentru convergența absolută a seriei) ca pentru oricare să existe un număr astfel încât pentru toate numerele și toate numerele întregi
Dacă seria este absolut convergentă, atunci converge. Rând
converge absolut 
și un număr
converge, dar nu absolut. Lăsa
O serie compusă din aceiași termeni ca seria (1), dar luată, în general vorbind, într-o ordine diferită. Convergența absolută a seriei (1) implică atât absolutul seriei (3), cât și seria (3) are aceeași sumă ca seria (1). Dacă rândurile
converg absolut, atunci: orice combinație liniară a acestora
converge de asemenea absolut; seria obținută din tot felul de produse în perechi ale membrilor acestei serii, aranjate într-o ordine arbitrară, converge de asemenea absolut, iar suma sa este egală cu produsul sumelor acestor serii. Proprietățile enumerate ale seriilor absolut convergente sunt transferate la mai multe serii
converge absolut, adică toate seriile obținute prin însumarea succesivă a termenilor seriei (4) peste indici converg absolut, iar sumele seriei multiple (4) și repetate (5) sunt egale și coincid cu suma oricărei serii formate din toți termenii seriei (4 ).
Dacă termenii seriei (1) sunt elemente ale unui anumit spațiu Banach cu norma elementelor, atunci se numește seria (1). absolut convergent dacă seria
În cazul A. s. R. ale elementelor unui spațiu Banach, proprietățile seriilor numerice absolut convergente considerate mai sus sunt, de asemenea, generalizate, în special, A. s. R. elementele unui spațiu Banach converg în acest spațiu. În mod similar, conceptul de A. s. R. trece la mai multe serii în spațiul Banach.
Enciclopedia Matematicii. - M.: Enciclopedie sovietică... I. M. Vinogradov. 1977-1985.
Vedeți ce este „SERIA CONVERGENTĂ ABSOLUTĂ” în alte dicționare:
Seria funcțională (1) cu termeni (în general vorbind) complexi, convergând pe mulțimea X, și astfel încât pentru orice e\u003e 0 există un număr ne astfel încât pentru toate n\u003e ne și toate inegalitățile unde și Cu alte cuvinte, secvența parțială ... ... Enciclopedia Matematicii
Conţinut. 1) Definiție. 2) Un număr definit de o serie. 3) Convergența și divergența seriilor. 4) Convergența condiționată și absolută. 5) Convergență uniformă. 6) Descompunerea funcțiilor în serie. 1. Definiții. R. este o succesiune de elemente, ... ... Dicționar enciclopedic al F.A. Brockhaus și I.A. Efron
O sumă infinită, o succesiune de elemente (numite numele unui rând dat) ale unui anumit topologic liniar. spații și un set infinit definit al sumelor lor finite (numite parțial și cu ummm și m și r I ... ... Enciclopedia Matematicii
O serie, o sumă infinită, de exemplu, a formei u1 + u2 + u3 + ... + un + ... sau, pe scurt ,. (1) Unul dintre cele mai simple exemple de R., găsit deja în matematica elementară, este suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare 1 + q + q 2 + ... + q ... ...
I o sumă infinită, de exemplu, a formei u1 + u2 + u3 + ... + un + ... sau, pe scurt, unul dintre cele mai simple exemple ale lui R., găsit deja în matematica elementară, este suma infinit descrescătoare ... ... Marea Enciclopedie Sovietică
O succesiune de funcții care converg către logaritmul natural din zona neumbrată (roșu). ÎN în acest caz este suma parțială N i a seriei de putere, unde N indică numărul de termeni. Gama funcțională ... Wikipedia
Seria multiplă, expresia formei alcătuite din membrii mesei Fiecare membru al acestei tabele este numerotat cu indici m, n ,. ... ... , p, care rulează independent unul de celălalt toate numerele naturale. Teoria lui K. p. este similar cu teoria seriei duble. Vezi si… … Enciclopedia Matematicii
O serie în cosinusuri și sinusuri de arce multiple, adică o serie de formă sau în formă complexă unde se numește ak, bk sau, respectiv, ck. coeficienți T. p. Pentru prima dată T. r. găsit în L. Euler (L. Euler, 1744). A primit descompunerea In ser. secolul al 18-lea in conexiune cu ... ... Enciclopedia Matematicii
O serie în care funcțiile sunt holomorfe într-o anumită regiune independentă de k. Dacă pentru toate, atunci se numește seria (*). lângă Hartogs. Orice funcție holomorfă din Hartogs a unui domeniu D al formei se descompune în convergență absolută și uniformă în interiorul DG. L. r. În întregime ... ... Enciclopedia Matematicii
Definiția 1
Seria numerică $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) u_ (n) $, ai cărei membri au semne arbitrare (+), (?), Se numește o serie alternativă.
Seriile alternante considerate mai sus sunt un caz special al seriilor alternante; este clar că nu fiecare serie care alternează semnele este alternativă de semne. De exemplu, seria $ 1- \\ frac (1) (2) - \\ frac (1) (3) + \\ frac (1) (4) + \\ frac (1) (5) - \\ frac (1) (6) - \\ frac (1) (7) + \\ ldots - $ serie alternativă, dar nu alternativă.
Rețineți că într-o serie alternativă de termeni cu semnele (+) și (-) sunt infinit de mulți. Dacă nu este cazul, de exemplu, seria conține un număr finit de termeni negativi, atunci aceștia pot fi aruncați și poate fi luată în considerare o serie compusă doar din termeni pozitivi și invers.
Definiția 2
Dacă seria numerică $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) u_ (n) $ converge și suma sa este S și \u200b\u200bparțial suma este $ S_n $, apoi $ r_ (n) \u003d S-S_ (n) $ se numește restul seriei și $ \\ mathop (\\ lim) \\ limits_ (n \\ to \\ infty) r_ (n) \u003d \\ mathop (\\ restul seriei convergente tinde la 0.
Definiție 3
O serie $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) u_ (n) $ se numește absolut convergentă dacă o serie compusă din valorile absolute ale membrilor săi $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ $.
Definiția 4
Dacă seria numerică $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) u_ (n) $ converge, iar seria $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) \\ left | u_ (n ) \\ dreapta | $, compus din valorile absolute ale membrilor săi, divergă, apoi seria originală este numită convergentă condiționată (nu absolut).
Teorema 1 (un criteriu suficient pentru convergența seriilor alternative)
Seria alternativă $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) u_ (n) $ converge și absolut, dacă seria, alcătuită din valorile absolute ale membrilor săi $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) \\ left | u_ (n) \\ right | $.
cometariu
Teorema 1 oferă doar o condiție suficientă pentru convergența seriilor alternative. Teorema inversă nu este adevărată, adică dacă seria alternativă $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) u_ (n) $ converge, atunci nu este necesar ca seria compusă din module $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ ( \\ infty) \\ left | u_ (n) \\ right | $ (poate fi fie convergent, fie divergent). De exemplu, rândul $ 1- \\ frac (1) (2) + \\ frac (1) (3) - \\ frac (1) (4) + ... \u003d \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty ) \\ frac ((- 1) ^ (n-1)) (n) $ converge în funcție de semnul Leibniz, și seria compusă din valorile absolute ale membrilor săi $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) \\, \\ frac (1) (n) $ (seria armonică) divergă.
Proprietatea 1
Dacă seria $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) u_ (n) $ este absolut convergentă, atunci converge absolut pentru orice permutare a membrilor săi, iar suma seriei nu depinde de ordinea membrilor. Dacă $ S "$ este suma tuturor termenilor săi pozitivi, iar $ S" "$ este suma tuturor valorilor absolute ale termenilor negativi, atunci suma seriei $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) u_ (n) $ este egal cu $ S \u003d S "-S" "$.
Proprietatea 2
Dacă seria $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) u_ (n) $ converge absolut și $ C \u003d (\\ rm const) $, atunci seria $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) C \\ cdot u_ (n) $ este, de asemenea, absolut convergent.
Proprietatea 3
Dacă seria $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) u_ (n) $ și $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) v_ (n) $ converg absolut, atunci seria $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) (u_ (n) \\ pm v_ (n)) $ converg de asemenea absolut.
Proprietatea 4 (teorema lui Riemann)
Dacă seria converge condiționat, atunci indiferent de numărul A pe care îl luăm, putem rearanja termenii acestei serii astfel încât suma sa să fie exact egală cu A; în plus, este posibil să se rearanjeze termenii seriei convergente condiționate astfel încât, după aceea, să divergă.
Exemplul 1
Investigați seria de convergență absolută și condiționată
\\ [\\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) \\ frac ((- 1) ^ (n) \\ cdot 9 ^ (n)) (n .\] !}
Decizie. Această serie este alternativă, al cărei termen comun îl denotăm: $ \\ frac ((- 1) ^ (n) \\ cdot 9 ^ (n)) (n =u_{n} $. Составим ряд из абсолютных величин $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ и применим к нему признак Даламбера. Составим предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } $, где $a_{n} =\frac{9^{n} }{n!} $, $a_{n+1} =\frac{9^{n+1} }{(n+1)!} $. Проведя преобразования, получаем $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n+1} \cdot n!}{(n+1)!\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n} \cdot 9\cdot n!}{n!\cdot (n+1)\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9}{n+1} =0$. Таким образом, ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ сходится, а значит, исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} $ абсолютно сходится.!}
Exemplul 2
Investigați seria $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) \\ frac ((- 1) ^ (n) \\ cdot \\ sqrt (n)) (n + 1) $ pentru convergență absolută și condițională.
- Să investigăm seria pentru convergență absolută. Denotați $ \\ frac ((- 1) ^ (n) \\ cdot \\ sqrt (n)) (n + 1) \u003d u_ (n) $ și compuneți o serie de valori absolute $ a_ (n) \u003d \\ left | u_ (n ) \\ right | \u003d \\ frac (\\ sqrt (n)) (n + 1) $. Obținem rândul $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) \\ left | u_ (n) \\ right | \u003d \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) \\, \\ frac (\\ sqrt (n)) (n + 1) $ cu termeni pozitivi, cărora le aplicăm criteriul limită pentru compararea seriilor. Pentru comparație cu seria $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) a_ (n) \u003d \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) \\, \\ frac (\\ sqrt (n) ) (n + 1) $ ia în considerare o serie care arată ca $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) \\, b_ (n) \u003d \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty ) \\, \\ frac (1) (\\ sqrt (n)) \\, $. Această serie este o serie Dirichlet cu exponent $ p \u003d \\ frac (1) (2)
- Apoi, vom examina seria originală $ \\ sum \\ limits _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) \\ frac ((- 1) ^ (n) \\ cdot \\ sqrt (n)) (n + 1) $ pentru convergență condițională. Pentru a face acest lucru, verificați îndeplinirea condițiilor criteriului Leibniz. Condiția 1): $ u_ (n) \u003d (- 1) ^ (n) \\ cdot a_ (n) $, unde $ a_ (n) \u003d \\ frac (\\ sqrt (n)) (n + 1)\u003e 0 $ , adică acest rând alternează. Pentru a verifica starea 2) privind scăderea monotonă a termenilor seriei, folosim următoarea metodă. Luați în considerare funcția auxiliară $ f (x) \u003d \\ frac (\\ sqrt (x)) (x + 1) $, definită pentru $ x \\ in (| a_ (n) |)))... Atunci
Afirmația despre convergența în testele Cauchy și d'Alembert este dedusă dintr-o comparație cu o progresie geometrică (cu numitori lim ¯ n → ∞ \u2061 | a n + 1 a n | (\\ displaystyle \\ varlimsup _ (n \\ to \\ infty) \\ left | (\\ frac (a_ (n + 1)) (a_ (n))) \\ right |) și α (\\ displaystyle \\ alpha) respectiv), asupra divergenței - de la faptul că termenul comun al seriei nu tinde la zero.
Testul Cauchy este mai puternic decât testul d'Alembert în sensul că dacă testul d'Alembert indică convergența, testul Cauchy indică convergența; dacă testul Cauchy nu ne permite să tragem o concluzie despre convergență, atunci și testul d'Alembert nu ne permite să tragem concluzii; există serii pentru care testul Cauchy indică convergența, iar testul d'Alembert nu indică convergența.
Test integrat Cauchy - Maclaurin
Să se dea o serie ∑ n \u003d 1 ∞ a n, a n ⩾ 0 (\\ displaystyle \\ sum _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) a_ (n), a_ (n) \\ geqslant 0) și funcție f (x): R → R (\\ displaystyle f (x): \\ mathbb (R) \\ to \\ mathbb (R)) astfel încât:
Apoi seria ∑ n \u003d 1 ∞ a n (\\ displaystyle \\ sum _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) a_ (n)) iar integralul ∫ 1 ∞ f (x) d x (\\ displaystyle \\ int \\ limits _ (1) ^ (\\ infty) f (x) dx) converg sau diverg simultan și ∀ k ⩾ 1 ∑ n \u003d k ∞ an ⩾ ∫ k ∞ f (x) dx ⩾ ∑ n \u003d k + 1 ∞ an (\\ displaystyle \\ forall k \\ geqslant 1 \\ \\ sum _ (n \u003d k) ^ (\\ infty ) a_ (n) \\ geqslant \\ int \\ limits _ (k) ^ (\\ infty) f (x) dx \\ geqslant \\ sum _ (n \u003d k + 1) ^ (\\ infty) a_ (n))
Semnul lui Raabe
Să se dea o serie ∑ a n (\\ displaystyle \\ sum a_ (n)), a n\u003e 0 (\\ displaystyle a_ (n)\u003e 0) și R n \u003d n (a n a n + 1 - 1) (\\ displaystyle R_ (n) \u003d n \\ left ((\\ frac (a_ (n)) (a_ (n + 1))) - 1 \\ right)).
Testul lui Raabe se bazează pe comparație cu seria armonică generalizată
Deasupra rândurilor
Exemple de
Luați în considerare seria 1 2 + 1 3 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 2 3 +. ... ... (\\ displaystyle (\\ frac (1) (2)) + (\\ frac (1) (3)) + (\\ frac (1) (2 ^ (2))) + (\\ frac (1) (3 ^ ( 2))) + (\\ frac (1) (2 ^ (3))) + ...)... Pentru acest rând:
Astfel, testul Cauchy indică convergența, în timp ce testul d'Alembert nu permite să se tragă concluzii.
Luați în considerare seria ∑ n \u003d 1 ∞ 2 n - (- 1) n (\\ displaystyle \\ sum _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) 2 ^ (n - (- 1) ^ (n)))
Astfel, semnul Cauchy indică divergență, în timp ce semnul d'Alembert nu permite să se tragă concluzii.
Rând ∑ n \u003d 1 ∞ 1 n α (\\ displaystyle \\ sum _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) (\\ frac (1) (n ^ (\\ alpha)))) converge la α\u003e 1 (\\ displaystyle \\ alpha\u003e 1) și divergă la α ⩽ 1 (\\ displaystyle \\ alpha \\ leqslant 1), In orice caz:
Astfel, semnele lui Cauchy și ale lui D'Alembert nu permit să se tragă concluzii.
Rând ∑ n \u003d 1 ∞ (- 1) n n (\\ displaystyle \\ sum _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) (\\ frac ((-1) ^ (n)) (n))) converge condiționat în funcție de criteriul lui Leibniz, dar nu absolut, de la seria armonică ∑ n \u003d 1 ∞ | (- 1) n n | \u003d ∑ n \u003d 1 ∞ 1 n (\\ displaystyle \\ sum _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) \\ left | (\\ frac ((-1) ^ (n)) (n)) \\ right | \u003d \\ sum _ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) (\\ frac (1) (n))) divergă.
, este nelimitat în cartierul stâng al punctului b (\\ displaystyle b)... Integrală necorespunzătoare de al doilea fel ∫ a b f (x) d x (\\ displaystyle \\ int \\ limits _ (a) ^ (b) f (x) dx) numit absolut convergentdacă integrala ∫ a b | f (x) | d x (\\ displaystyle \\ int \\ limits _ (a) ^ (b) | f (x) | dx).