Отметим здесь основные понятия и формулы, связанные с показательным распределением непрерывной случайной величины $X$ не вдаваясь в подробности их вывода.
Определение 1
Показательным или экспоненциальным распределения непрерывной случайной величины $X$ называется распределение, плотность которого имеет вид:
Рисунок 1.
График плотности показательного распределения имеет вид (рис. 1):
Рисунок 2. График плотности показательного распределения.
Функция показательного распределения
Как нетрудно проверить, функция показательного распределения имеет вид:
Рисунок 3.
где $\gamma $ - положительная константа.
График функции показательного распределения имеет вид:
Рисунок 4. График функции показательного распределения.
Вероятность попадания случайной величины при показательном распределении
Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал $(\alpha ,\beta)$ при показательном распределении вычисляется по следующей формуле:
Математическое ожидание : $M\left(X\right)=\frac{1}{\gamma }.$
Дисперсия : $D\left(X\right)=\frac{1}{{\gamma }^2}.$
Среднее квадратическое отклонение: $\sigma \left(X\right)=\frac{1}{\gamma }$.
Пример задачи на показательное распределение
Пример 1
Случайная величина $X$ подчиняется экспоненциальному закону распределения. На участке области определения $\left \
Как было сказано ранее, примерами распределений вероятностей непрерывной случайной величины Х являются:
- равномерное распределение вероятностей непрерывной случайной величины;
- показательное распределение вероятностей непрерывной случайной величины;
- нормальное распределение вероятностей непрерывной случайной величины.
Дадим понятие равномерного и показательного законов распределения, формулы вероятности и числовые характеристики рассматриваемых функций.
| Показатель | Раномерный закон распределения | Показательный закон распределения |
|---|---|---|
| Определение | Равномерным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, плотность которого сохраняет постоянное значение на отрезке и имеет вид | Показательным (экспоненциальным) называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, которое описывается плотностью, имеющей вид |
 где λ – постоянная положительная величина |
||
| Функция распределения |  |
 |
| Вероятность попадания в интервал |  |
 |
| Математическое ожидание |  |
|
| Дисперсия |  |
|
| Среднее квадратическое отклонение |  |
Примеры решения задач по теме «Равномерный и показательный законы распределения»
Задача 1.
Автобусы идут строго по расписанию. Интервал движения 7 мин. Найти: а) вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее двух минут; б) вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус не менее трех минут; в) математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины X – времени ожидания пассажира.
Решение. 1. По условию задачи непрерывная случайная величина X={время ожидания пассажира} равномерно распределена между приходами двух автобусов. Длина интервала распределения случайной величины Х равна b-a=7, где a=0, b=7.
2. Время ожидания будет менее двух минут, если случайная величина X попадает в интервал (5;7).
Вероятность попадания в заданный интервал найдем по формуле:
Р(х 1 <Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a)
.
Р(5 < Х < 7) = (7-5)/(7-0) = 2/7 ≈ 0,286.
3. Время ожидания будет не менее трех минут (т.е. от трех до семи мин.), если случайная величина Х попадает в
интервал (0;4). Вероятность попадания в заданный интервал найдем по формуле:
Р(х 1 <Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a)
.
Р(0 < Х < 4) = (4-0)/(7-0) = 4/7 ≈ 0,571.
4. Математическое ожидание непрерывной, равномерно распределенной случайной величины X – времени ожидания пассажира, найдем по формуле: М(Х)=(a+b)/2 . М(Х) = (0+7)/2 = 7/2 = 3,5.
5. Среднее квадратическое отклонение непрерывной, равномерно распределенной случайной величины X – времени ожидания пассажира, найдем по формуле: σ(X)=√D=(b-a)/2√3 . σ(X)=(7-0)/2√3=7/2√3≈2,02.
Задача 2.
Показательное распределение задано при x ≥ 0 плотностью f(x) = 5e – 5x. Требуется: а) записать выражение для функции распределения; б) найти вероятность того, что в результате испытания X попадает в интервал (1;4); в) найти вероятность того, что в результате испытания X ≥ 2 ; г) вычислить M(X), D(X), σ(X).
Решение. 1. Поскольку по условию задано показательное распределение , то из формулы плотности распределения вероятностей случайной величины X получаем λ = 5. Тогда функция распределения будет иметь вид:
2. Вероятность того, что в результате испытания X попадает в интервал (1;4) будем находить
по формуле:
P(a < X < b) = e −λa − e −λb
.
P(1 < X < 4) = e −5*1 − e −5*4 = e −5 − e −20 .
3. Вероятность того, что в результате испытания X ≥ 2 будем находить по формуле:
P(a < X < b) = e −λa − e −λb при a=2, b=∞.
Р(Х≥2) = P(1< X < 4) = e −λ*2 − e −λ*∞ = e −2λ − e −∞ =
e −2λ - 0 = e −10 (т.к. предел e −х при х стремящемся к ∞ равен нулю).
4. Находим для показательного распределения:
- математическое ожидание по формуле M(X) =1/λ = 1/5 = 0,2;
- дисперсию по формуле D(X) = 1/ λ 2 = 1/25 = 0,04;
- среднее квадратическое отклонение по формуле σ(Х) = 1/λ = 1/5 = 1,2.
(ТЕОРИЯ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА И АНАЛИЗ СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ)
Показательный (экспоненциальный) закон распределения
Непрерывная случайная величина X имеет экспоненциальный закон распределения с параметром X, если ее плотность вероятности имеет вид Функция распределения вероятностей Вероятность отказа работы некоторого устройства за время х Для случайной величины X, распределенной по экспоненциальному...(ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА)
Геометрическое распределение
Геометрическое распределение неразрывно связано с биномиальным. Отличие состоит в том, что биномиальная случайная величина определяет вероятность т успехов в п испытаниях, а геометрическая - вероятность п испытаний до первого успеха (включая первый успех). Пусть производятся независимые...(СТАТИСТИКА С ЭЛЕМЕНТАМИ ЭКОНОМЕТРИКИ)
Геометрическое распределение и его обобщения
Определение. Дискретная случайная величина X = т имеет геометрическое распределение с параметром р, если она принимает значения 1, 2, ...» т... (бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями где Ряд геометрического распределения ...(ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ)
Эффективность распределения ресурсов в условиях конкурентного рынка
Рыночная экономика, работающая в условиях ограниченных ресурсов, должна так их распределить, чтобы максимизировать удовлетворение общественных потребностей. Этой же цели способствует лучшее использование ресурсов на каждом предприятии и в каждой отрасли. В этом случае общественное производство эффективно....(Экономическая теория)
Распределение доходов и социальная политика
Рыночный механизм формирования доходов Отличительной чертой современной рыночной экономики является ее социальная направленность. Развитие экономики, с одной стороны, позволяет осуществлять более сложные социальные программы, а с другой - решение социальных проблем служит важным фактором роста...(Экономическая теория)
Определение. Показательным (экспоненциальным) называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, которое описывается плотностью
где l - положительное число.
Найдем закон распределения.
Графики функции распределения и плотности распределения:
f(x) F(x)
Найдем математическое ожидание случайной величины, подчиненной показательному распределению.
Результат получен с использованием того факта, что
Для нахождения дисперсии найдем величину М(Х 2).
Дважды интегрируя по частям, аналогично рассмотренному случаю, получим:
Тогда
Итого: Видно, что в случае показательного распределения математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение равны.
Также легко определить и вероятность попадания случайной величины, подчиненной показательному закону распределения, в заданный интервал.
Показательное распределение широко используется в теории надежности .
Допустим , некоторое устройство начинает работать в момент времени t 0 =0 , а через какое - то время t происходит отказ устройства.
Обозначим Т непрерывную случайную величину - длительность безотказной работы устройства.
Таким
образом
, функция распределения F(t) = P(T
Вероятность противоположного события (безотказная работа в течение времени t ) равна R(t) = P(T>t) = 1 - F(t).
Определение. Функцией надежности R(t) называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы устройства в течение времени t .
Часто на практике длительность безотказной работы подчиняется показательному закону распределению.
Вообще говоря , если рассматривать новое устройство, то вероятность отказа в начале его функционирования будет больше, затем количество отказов снизится и будет некоторое время иметь практически одно и то же значение. Затем (когда устройство выработает свой ресурс) количество отказов будет возрастать.
Другими словами , можно сказать, что функционирование устройства на протяжении всего существования (в смысле количества отказов) можно описать комбинацией двух показательных законов (в начале и конце функционирования) и равномерного закона распределения.
Функция надежности для какого- либо устройства при показательном законе распределения равна:
Данное соотношение называют показательным законом надежности .
Важным свойством , позволяющим значительно упростить решение задач теории надежности, является то, что вероятность безотказной работы устройства на интервале времени t не зависит от времени предшествующей работы до начала рассматриваемого интервала, а зависит только от длительности времени t .
Таким образом , безотказная работа устройства зависит только от интенсивности отказов l и не зависит от безотказной работы устройства в прошлом.
Так как подобным свойством обладает только показательный закон распределения, то этот факт позволяет определить, является ли закон распределения случайной величины показательным или нет.
2.8 Распределение «Хи-квадрат»
Пусть X i (i=1,2,…,n) - нормальные независимые случайные величины, причем математическое ожидание каждой из них равно нулю, а среднее квадратическое отклонение - единице. Тогда сумма квадратов этих величин
распределена по закону («Хи-квадрат») с k=n степенями свободы; если же эти величины связаны одним линейным соотношением, например , то число степеней свободы k=n-1.
Плотность этого распределения
где 
-Гамма-функция; в частности,
Отсюда видно , что распределение «Хи-квадрат» определяется одним параметром - числом степеней свободы k. С увеличением числа степеней свободы распределение медленно приближается к нормальному.
2.9 Распределение Стьюдента
Пусть Z -нормальная случайная величина, причем M(Z)=0, s(Z)=1, а V- независимая от Z величина, которая распределена по закону с k степенями свободы. Тогда величина
имеет распределение, которое называют t- распределением или распределением Стьюдента, k степенями свободы. Итак отношение нормированной нормальной величины к квадратному корню из независимой случайной величины, распределенной по закону
«Хи-квадрат» с k степенями свободы , деленной на k, деленной на k распределено по закону Стьюдента с k степенями свободы. . С увеличением числа степеней свободы распределение медленно приближается к нормальному.
2.9 Нормальный закон распределения
Определение. Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью вероятности
Нормальный закон распределения также называется законом Гаусса .
Нормальный закон распределения занимает центральное место в теории вероятностей. Это обусловлено тем, что этот закон проявляется во всех случаях, когда случайная величина является результатом действия большого числа различных факторов. К нормальному закону приближаются все остальные законы распределения.
Можно легко показать , что параметры и , входящие в плотность распределения являются соответственно математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением случайной величины Х.
Найдем функцию распределения F(x) .
График плотности нормального распределения называется нормальной кривой или кривой Гаусса .
Нормальная кривая обладает следующими свойствами:
1 ) Функция определена на всей числовой оси.
2 ) При всех х функция распределения принимает только положительные значения.
3 ) Ось ОХ является горизонтальной асимптотой графика плотности вероятности, т.к. при неограниченном возрастании по абсолютной величине аргумента х , значение функции стремится к нулю.
4 ) Найдем экстремум функции.
Т.к. при y’ > 0 при x < m и y’ < 0 при x > m , то в точке х = т функция имеет максимум, равный .
5 ) Функция является симметричной относительно прямой х = а , т.к. разность
(х - а ) входит в функцию плотности распределения в квадрате.
6 ) Для нахождения точек перегиба графика найдем вторую производную функции плотности.
При x = m + s и x = m - s вторая производная равна нулю, а при переходе через эти точки меняет знак, т.е. в этих точках функция имеет перегиб.
Непрерывная случайная величина $X$ подчиняется показательному (экспоненциальному) закону распределения вероятностей, если ее плотность распределения вероятностей $f\left(x\right)$ имеет следующий вид:
$$f(x)=\left\{\begin{matrix}
0,\ x < 0\\
\lambda e^{-\lambda x},\ x\ge 0
\end{matrix}\right..$$
Тогда функция распределения:
$$F(x)=\left\{\begin{matrix}
0,\ x < 0\\
1-e^{-\lambda x},\ x\ge 0
\end{matrix}\right.$$
Графики функций плотности $f\left(x\right)$ и распределения $F\left(x\right)$ представлены на рисунке:
Для показательного закона распределения числовые характеристики могут быть вычислены по известным формулам. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение равны между собой и равны $1/\lambda $, то есть:
$$M\left(X\right)=\sigma \left(X\right)={{1}\over {\lambda }}.$$
Дисперсия :
$$D\left(X\right)={{1}\over {{\lambda }^2}}.$$
Параметр распределения $\lambda $ в статистическом смысле характеризует среднее число событий, наступающих в единицу времени. Так, если средняя продолжительность безотказной работы прибора равна $1/\lambda $, то параметр $\lambda $ будет характеризовать среднее число отказов в единицу времени. Примерами случайных величин, подчиненных показательному закону распределения, могут быть:
- Продолжительность телефонного разговора;
- Затраты времени на обслуживание покупателя;
- Период времени работы прибора между поломками;
- Промежутки времени между появлениями автомашин на автозаправочной станции.
Пример
. Случайная величина $X$ распределена по показательному закону $f\left(x\right)=\left\{\begin{matrix}
0,\ x < 0\\
5e^{-5x},\ x\ge 0
\end{matrix}\right.$. Тогда математическое ожидание $=$ стандартное отклонение $\sigma (X)=1/\lambda =1/5=0,2$, дисперсия $D(X)=1/{\lambda }^2=1/25=0,04.$
Пример . Время работы прибора - случайная величина $X$, подчиненная показательному распределению. Известно, что среднее время работы данного прибора составляет $500$ часов. Какова вероятность того, что данный прибор проработает не менее $600$ часов?
Математическое ожидание случайной величины $X$ равно $M\left(X\right)=500=1/\lambda $, отсюда параметр распределения $\lambda =1/500=0,002.$ Можем записать функцию распределения:
$$F(x)=\left\{\begin{matrix}
0,\ x < 0\\
1-e^{-\lambda x}=1-e^{-0,002x},\ x\ge 0
\end{matrix}\right.$$
Тогда вероятность того, что прибор проработает менее $600$ часов, равна:
$$P\left(X\ge 600\right)=1-P\left(X < 600\right)=1-F\left(600\right)=1-\left(1-e^{-0,002\cdot 600}\right)\approx 0,301.$$