Při studiu chování velké populace molekul je vhodnější použít potenciální energii namísto interakční síly molekul.
Je nutné vypočítat průměrné charakteristiky systému a koncept průměrné interakční síly molekul nemá smysl, protože součet všech sil působících mezi molekulami je v souladu s třetím Newtonovým zákonem nulový. Průměrná potenciální energie podstatně určuje stav a vlastnosti látky.
Závislost potenciální energie na vzdálenosti mezi molekulami
Protože změna v potenciální energii je určena prací síly, ze známé závislosti síly na vzdálenosti lze najít závislost na vzdálenosti potenciální energie. Potřebujeme však pouze znát přibližnou formu potenciální křivky E r (r) Nejprve si vzpomínáme, že potenciální energie je určena přesně na libovolnou konstantu, protože není to potenciální energie sama o sobě, která má přímý význam, ale rozdíl potenciálních energií ve dvou bodech, který se rovná práci provedené s opačným znaménkem. Budeme uvažovat, jak je to ve fyzice obvyklé, E \u003d 0 v r → ∞. Potenciální energii systému lze považovat za práci, kterou systém dokáže, a potenciální energii určuje umístění těla, nikoli však jejich rychlost. Čím větší je vzdálenost mezi molekulami, tím více práce bude provedeno přitažlivými silami mezi nimi, když se k sobě přiblíží. Proto, když klesá rPočínaje velmi velkými hodnotami se potenciální energie sníží. Přijali jsme to s r → ∞, potenciální energie se tedy rovná nule, se snižováním r potenciální energie se stává zápornou (obr. 2.12).
Na místě r = r 0 síla je nulová (viz obr. 2.10). Proto, pokud jsou molekuly umístěny v této vzdálenosti, pak budou odpočívat a systém nemůže dělat žádnou práci. To znamená, že pro r = r 0 potenciální energie má minimum. Mohli bychom mít tuto potenciální energetickou hodnotu E str 0 se považuje za referenční bod potenciální energie. Pak by to bylo všude pozitivní (obr. 2.13). Obě křivky (viz obr. 2.12 a 2.13) stejně charakterizují interakci molekul. Rozdíl hodnot E r pro dva body je to stejné pro obě křivky, ale pouze to dává smysl.
V r < r 0 objevují se rychle rostoucí odpudivé síly. Mohou také dělat práci. Proto potenciální energie roste s dalším přístupem molekul a velmi rychle.
Potenciální křivka bude mít tvar znázorněný na obrázku 2.12, pokud se molekuly spojí v rovině Apodél linie spojující jejich středy (obr. 2.14). Pokud se molekuly spojí v rovině Vnebo v rovině Z,pak bude mít potenciální křivka tvar znázorněný na obr. 2.15, aa 2,15, b.
hlavní úkol
Můžete hodně vysvětlit a porozumět na základě určitých představ o povaze interakce molekul v hmotě. Zaměříme se pouze na jednu velmi obecnou otázku: jak nám znalost závislosti potenciální energie na vzdálenosti mezi molekulami umožňuje stanovit kvantitativní kritérium pro rozdíl mezi plyny, kapalinami a pevnými látkami z hlediska molekulární kinetické teorie.
Podívejme se nejprve na pohyb molekul z energetického hlediska.
Umožňuje analyzovat obecné zákony pohybu, pokud je známa závislost potenciální energie na souřadnicích. Zvažte například jednorozměrný pohyb materiálního bodu (částice) podél osy 0x v potenciálním poli znázorněném na obr. 4.12.
Obrázek 4.12. Pohyb částic blízko stabilní a nestabilní rovnováhy
Protože potenciální energie v rovnoměrném gravitačním poli je úměrná výšce těla, můžete si představit ledový skluz (zanedbání tření) s profilem odpovídajícím funkci P (x) na obrázku.
Ze zákona zachování energie E \u003d K + P a ze skutečnosti kinetická energie K \u003d E - P vždy nezáporné, to znamená, že částice může být pouze v oblastech, kde E\u003e P. Na obrázku částice s plnou energií E se může pohybovat pouze v oblastech
V první oblasti bude jeho pohyb omezený (konečný): pro danou dodávku celkové energie nemůže částice překonat „sklíčka“ na své cestě (nazývají se) potenciální bariéry) a je odsouzen zůstat navždy v „údolí“. Navždy - z pohledu klasické mechaniky, kterou v současné době studujeme. Na konci kurzu uvidíme, jak kvantová mechanika pomůže částici dostat se z vězení v potenciální studně - oblasti
Ve druhé oblasti není pohyb částic omezen (nekonečně), může se pohybovat nekonečně daleko od počátku doprava, ale jeho pohyb doleva je stále omezen potenciální bariérou:
Video 4.6. Demonstrace konečných a nekonečných pohybů.
V extrémních bodech potenciální energie x MIN a x MAX síla působící na částici je nula, protože derivát potenciální energie je roven nule:
Pokud by na tyto body byla položena klidová částice, zůstala by tam ... znovu navždy, ne-li kolísání její pozice. V tomto světě není nic přísného odpočinku, částice se může projevit jako malá odchylky (výkyvy) z rovnovážné polohy. V tomto případě přirozeně vznikají síly. Pokud vrátí částici do rovnovážné polohy, nazývá se tato rovnováha udržitelný. Pokud, když se částice odkloní, vznikající síly ji vezmou ještě dále od rovnovážné polohy, jednáme s nestabilní rovnováhy a částice v této poloze obvykle dlouho nevydrží. Analogicky s ledovým skluzavkou lze uhodnout, že poloha v minimu potenciální energie bude stabilní a maximálně nestabilní.
Dokážeme, že tomu tak skutečně je. Pro částici v extrémním bodě x M (x MIN nebo x MAX) síla na ni působí F x (x M) \u003d 0. Nechte částečnou souřadnici změnit v důsledku kolísání malé množství x. Při takové změně souřadnic bude na částici působit síla
(hlavní označuje derivát vzhledem k souřadnici x) Vzhledem k tomu F x \u003d -P ", získáme pro platnost výraz
V minimálním bodě je druhá derivace potenciální energie pozitivní: U "(x MIN)\u003e 0. Pak s kladnými odchylkami od rovnovážné polohy x > 0 výsledná síla je záporná a kdy x<0 síla je pozitivní. V obou případech síla zabraňuje změně souřadnic částic a rovnovážná poloha v minimální potenciální energii je stabilní.
Naopak, v maximálním bodě je druhá derivace záporná: U "(x MAX)<0 . Poté zvětšování souřadnic částic Ax vede ke vzniku pozitivní síly, která dále zvyšuje odchylku od rovnovážné polohy. V x<0 síla je záporná, což v tomto případě přispívá k dalšímu vychýlení částice. Tato rovnováha je nestabilní.
Pozici stabilní rovnováhy lze tedy nalézt společným řešením rovnice a nerovnosti
Video 4.7. Potenciální jámy, potenciální bariéry a rovnováha: stabilní a nestabilní.
Příklad. Potenciální energie diatomické molekuly (např. H 2 nebo Asi 2) je popsáno výrazem formuláře
kde r je vzdálenost mezi atomy a A, B - pozitivní konstanty. Určete rovnovážnou vzdálenost r M mezi atomy molekuly. Je diatomická molekula stabilní?
Rozhodnutí. První termín popisuje odpuzování atomů na malé vzdálenosti (molekula odolává kompresi), druhý popisuje přitažlivost na velké vzdálenosti (molekula odolává rozbíjení). V souladu s výše uvedeným se při řešení rovnice najde rovnovážná vzdálenost
Odlišíme potenciální energii, kterou získáme
Nyní najdeme druhou derivaci potenciální energie
a nahradit tam rovnovážnou vzdálenost r M :
Rovnovážná poloha je stabilní.
Na obr. 4.13 představuje zkušenost se studiem potenciálních křivek a rovnovážných podmínek míče. Pokud je na modelu potenciální křivky umístit míč do výšky větší než je výška potenciální bariéry (energie koule je větší než energie bariéry), pak koule překoná potenciální bariéru. Pokud je počáteční výška koule menší než výška bariéry, pak míč zůstává v potenciální jamce.
Míč umístěn v nejvyšším bodě potenciální bariéry je v nestabilní rovnováze, protože jakákoli vnější akce vede k přechodu koule do spodního bodu potenciální jamky. Ve spodním bodě potenciální jamky je koule ve stabilní rovnováze, protože jakákoli vnější akce vede k návratu koule do spodního bodu potenciální jamky.
Obr. 4.13. Experimentální studium potenciálních křivek
dodatečné informace
http://vivovoco.rsl.ru/quantum/2001.01/KALEID.PDF - Dodatek k časopisu „Quantum“ - úvahy o stabilní a nestabilní rovnováze (A. Leonovich);
http://mehanika.3dn.ru/load/24-1-0-3278 - Targ S.M. Krátký kurz teoretické mechaniky, nakladatelství, Vyšší škola, 1986 - s. 11–15, §2 - počáteční ustanovení statiky.
Povaha interakce mezi molekulami je nejlépe znázorněna pomocí té, která je znázorněna na Obr. 6 křivka znázorňující vzájemnou potenciální energii dvou molekul jako funkci vzdálenosti rmezi jejich středy. Při konstruování této křivky je potenciální energie molekul lokalizovaných v nekonečně velké vzdálenosti od sebe (tj. Když neinteragují) nastavena na nulu. Proto křivka jde tak, že pro rinklinuje k nekonečnu, asymptoticky se blíží k ose r.
Obr. Závislost potenciální energie interakce molekul na vzdálenosti mezi molekulami
Znalost potenciální energie jako funkce r, můžete určit sílu, se kterou molekuly interagují v různých vzájemných vzdálenostech. K tomu použijte vztah známý z mechaniky
Znak „-“ zde odráží skutečnost, že síly, se kterými molekuly interagují, mají tendenci je převádět do stavu s nejmenší potenciální energií. Proto na vzdálenosti překračující r 0, síly vzájemné přitažlivosti působí mezi molekulami a na vzdálenosti kratší r 0, - odpudivé síly. Strmost křivky na příslušném místě dává velikost síly.
Podívejme se, pomocí křivky ε P, proces aproximace (kolize) molekul. Duševně umístěte střed jedné z molekul na počátek a představte si střed druhé molekuly jako pohybující se podél osy r. Nechte druhou molekulu letět směrem k první z nekonečna, která má počáteční zásobu kinetické energie ε k \u003d ε 1. Blíží se k první molekule a druhá se působením přitažlivé síly pohybuje stále se zvyšující rychlostí. V důsledku toho také roste kinetická energie molekuly. Celková energie systému, rovnající se ε \u003d ε k + ε p, však zůstává nezměněna (systém dvou molekul je uzavřen) a rovná se ε 1, protože potenciální energie ε p klesá současně. Když molekula projde bodem s souřadnicí r 0 atraktivní síly jsou nahrazeny odpudivými silami, v důsledku čehož molekula začne rychle ztrácet rychlost (v odpudivé oblasti křivka εp jde velmi strmě). Ve chvíli, kdy se potenciální energie ε p rovná celkové energii systému ε 1, rychlost molekuly zmizí. V této chvíli dochází k nejbližšímu přístupu molekul k sobě navzájem. Minimální vzdálenost d1, ve které se mohou středy molekul vzájemně přibližovat, je efektivní průměr molekuly. Jakmile se molekula zastaví, všechny jevy se vyskytují v obráceném pořadí: nejprve se molekula pohybuje působením odpudivé síly rostoucí rychlostí; poté, co prošla vzdáleností r 0, molekula spadne pod působení přitažlivé síly, která zpomaluje její pohyb a nakonec se pohybuje pryč do nekonečna, s počáteční rezervou kinetické energie e 1.
Z obr. Obrázek 6 ukazuje, že v případě, kdy molekula začne svůj pohyb od nekonečna s velkou energetickou rezervou e2, minimální vzdálenost d2, ve které se středy molekul přibližují, je menší. Efektivní průměr molekul tedy závisí na jejich průměrné energii, a tedy na teplotě. S rostoucí teplotou, efektivní průměr molekul dklesá, v důsledku čehož se zvyšuje střední volná cesta λ.
Obr. Závislost potenciální energie interakce molekul na vzdálenosti mezi molekulami v modelu ideálního plynu
Povaha interakce mezi molekulami, která se předpokládala při odvozování rovnice stavu ideálního plynu, odpovídá potenciální křivce znázorněné na Obr. 7. Na vzdálenosti větší než r 0, ε Rkonstantní, v důsledku čehož je síla nulová. V r \u003d r 0 ε sse změní na nekonečno a vytvoří potenciální bariéru, která zabrání centrům molekul v přibližování se ke kratším vzdálenostem r 0. Takové zjednodušené posouzení je přípustné, pokud průměrné vzdálenosti mezi molekulami v plynu jsou dostatečně velké: pro velké rε křivka Rna obr. 6 je velmi dutý, v důsledku toho. Když se průměrná vzdálenost mezi molekulami snižuje, tj. Se zvyšováním hustoty plynu, roste stále více přitažlivá síla mezi molekulami. Současně, jak jsme viděli výše, je snížena část objemu zabraného plynem, ve kterém se molekuly mohou pohybovat.
Ideální model plynu používaný v molekulárně-kinetické teorii plynů umožňuje popsat chování vzácných skutečných plynů při dostatečně vysokých teplotách a nízkých tlacích. Při odvozování rovnice stavu ideálního plynu se zanedbává velikost molekul a jejich vzájemná interakce. Zvýšení tlaku vede ke snížení průměrné vzdálenosti mezi molekulami, proto je nutné vzít v úvahu objem molekul a interakci mezi nimi. Takže v 1 m3 plynu za normálních podmínek obsahuje 2,68. 10 25 molekul zabírajících objem asi 10 - 4 m 3 (poloměr molekuly je asi 10 - 10 m), což lze ve srovnání s objemem plynu (1 m3) zanedbat. Při tlaku 500 MPa (1 atm \u003d 101,3 kPa) bude objem molekul již polovinu celkového objemu plynu. Proto je tento ideální model plynu při vysokých tlacích a nízkých teplotách nevhodný.
Revizí skutečné plyny - plyny, jejichž vlastnosti závisí na interakci molekul, je nutné vzít v úvahu síly intermolekulární interakce. Objevují se na dálku< 10 -9 м и быстро убывают при увеличении расстояния между молекулами. Такие силы называются короткодействующими.
V XX století, s rozvojem myšlenek na strukturu atomu a kvantové mechaniky, bylo zjištěno, že mezi molekulami hmoty působí atraktivní a odpudivé síly. Na obr. Obrázek 22 ukazuje kvalitativní závislost sil intermolekulární interakce na vzdálenosti mezi molekulami. Na velmi malých vzdálenostech převažují odpudivé síly, které jsou považovány za pozitivní, a na velké vzdálenosti v nich působí síly vzájemné přitažlivosti, které jsou považovány za negativní, a
kde je poloměr vektoru nakreslený k bodu umístění dané molekuly od bodu, ve kterém je umístěna jiná molekula. Projekce sil F1r a F2r a na směr vektoru závisí na vzdálenosti mezi interakčními molekulami. Přibližná povaha této závislosti je znázorněna na Obr. 22.
Na dálku r \u003d r 0 čistý výkon
F r \u003d 0. Vzdálenost r 0 odpovídá rovnovážné vzdálenosti mezi molekulami, ve kterých by byly v nepřítomnosti tepelného pohybu. V r< r 0 převažují odpudivé síly ( Fr r \u003e 0), pro r\u003e r 0 - přitažlivé síly ( Fr r < 0). На расстояниях > Intermolekulární síly interakce 10 - 9 m prakticky chybí.
Zvažte vzájemnou potenciální energii Wp dvou molekul. To lze nalézt následovně. Vypočítáme elementární práci dA provedenou výslednou silou F r intermolekulární interakce.
dA \u003d F r dr. (3. 1)
Na druhé straně se tato práce provádí snížením vzájemné potenciální energie molekul:
dA \u003d -dW p (3,2)
odpovídající této hodnotě r , pro které musíte najít W str. Z rovnic (3.1) a (3.2) vyplývá
dW n \u003d - F r dr. (3. 3)
Integrace výrazu (3.3) přes r od rk ¥, dostaneme
V nekonečně velké vzdálenosti od sebe molekuly neinteragují. Proto je výhodná vzájemná potenciální energie Wn (¥) dvou molekul nekonečně vzdálených od sebe null rovná nule. Konečně,
Integrál vpravo lze najít graficky, pokud je dána závislost síly Fr r nebo r (obr. 23). Je úměrná oblasti ohraničené křivkou. F r \u003d F r (r), osa ra vertikální ( r\u003d const),
S přiblížením molekul ke vzdálenosti r 0 se jejich vzájemná potenciální energie snižuje a kinetická energie se odpovídajícím způsobem zvyšuje. Je to kvůli pozitivní práci prováděné výslednou silou vzájemné přitažlivosti molekul (at r\u003e r 0 Fr r<0).
Další pokles vzdálenosti mezi molekulami je spojen s jejich prací proti výsledné síle vzájemného odpuzování molekul (když r
Pokud jsou molekuly dostatečně daleko od sebe, pak je jejich vzájemná potenciální energie nulová a celková energie W tento konzervativní systém se rovná jejich kinetické energii W to.Do okamžiku maximální aproximace molekul (r \u003d r 1) veškerá jejich kinetická energie je zcela utrácena za práci proti odpudivým silám [ W až (r 1) \u003d 0] a jejich vzájemná potenciální energie W P (r 1) \u003d 0. Ostatní věci jsou stejné, vzdálenost r 1 čím nižší, tím vyšší je teplota plynu. Nicméně závislost W strz rv oblasti kladných hodnot W p tak strmých, že i významné změny teploty plynu vedou k relativně malým změnám v r 1. Proto můžeme jako první přiblížení předpokládat r 1závisí pouze na chemické povaze plynu a není ničím jiným než skutečným průměrem d molekuly. Z výše uvedeného je zřejmé, že možnost reprezentovat molekuly plynu ve formě pevných kuliček o průměru d Je spojeno s velmi rychlým nárůstem sil vzájemného odpuzování molekul reálného plynu se snížením vzdálenosti mezi nimi.
I ve starověku bylo objeveno zlaté pravidlo mechaniky: vítězství v síle ztratíte v dálce. Pokud je například zatížení zvednuto podél nakloněné roviny, pak musíme pracovat proti gravitaci (předpokládáme, že práce proti tření lze zanedbat). Pokud je nakloněná rovina jemná, pak je dráha dlouhá, ale na zatížení může působit menší síla. Je těžší zvedat náklad na strmé rovině, ale cesta je kratší. Práce, která musí být provedena, aby se zvedlo zatížení hmoty m do výšky, je vždy stejná a stejná.
Toto je nejdůležitější vlastnost gravitace: práce nezávisí na tvaru cesty, ale je určována pouze počáteční a konečnou polohou těla. Na obr. Obrázek 1 ukazuje tři možné pohyby těla z bodu M do bodu N. Zrychlení gravitačního pole je označeno šipkou. Je snadné prokázat, že pohybem těl podél segmentu MN a přerušovanou čarou MON bude muset člověk provést stejnou práci, protože práce na místě MO je nulová. Rozdělením křivky na řadu přímých segmentů můžeme ověřit, že v tomto případě je práce stejná.
Síly s touto vlastností se nazývají potenciální nebo konzervativní. Pro ně můžete určit potenciální energii. Stačí si vybrat referenční bod - vzít v úvahu, že v nějaké poloze (například na zemském povrchu) je potenciální energie nulová, a pak v kterémkoli jiném bodě bude rovna práci přesunu těla z počáteční polohy do tohoto bodu.
Potenciální energie spolu s kinetickou energií tvoří celkovou mechanickou energii těla. Pokud je tělo pouze v oblasti potenciálních sil, pak je celková energie zachována (zákon zachování mechanické energie). Pro vypuštění rakety schopné opustit hranice sluneční soustavy je třeba jí říci obrovskou rychlostí (asi 11 km / s). Zásoba kinetické energie kompenzuje nárůst potenciální energie, když se raketa pohybuje pryč od Země.
Potenciál nejen gravitace, ale také síly elektrostatické interakce. Koneckonců, zákon Coulombova je velmi podobný zákonu univerzální gravitace Newtona. Dokonce i vzorce pro potenciální energii jsou téměř stejné: v obou případech je energie nepřímo úměrná vzdálenosti mezi vzájemně se ovlivňujícími těly.
Současně práce třecích sil závisí na tvaru cesty (například při suchém tření je nejlepší cesta krátká cesta) a takové síly nejsou potenciální.
S využitím potenciální energie je vhodné popsat interakci částic v mikrosvětě, například dvou atomů. Na velké vzdálenosti mezi atomy působí přitažlivé síly. Přestože je každý atom neutrální, pod vlivem elektrického pole jiného atomu se změní na malý dipól a tyto dipóly jsou přitahovány jeden k druhému (obr. 2). Proto, když se atomy přibližují, musí být udržovány a proti těmto silám musí být vykonána negativní práce. Naopak na malé vzdálenosti mezi atomy působí odpudivé síly, hlavně kvůli Coulombově interakci blížících se jader. V tomto případě, aby se atomy přiblížily, je nutné udělat pozitivní práci.
Graf potenciální energie atomů jako funkce vzdálenosti mezi nimi je znázorněn na Obr. 3. Potenciální energie má minimum a tato pozice atomů odpovídá stabilní formaci - molekule. V tomto případě říkají, že atomy jsou v potenciální studně.
Přesně stejným způsobem jsou atomy umístěny v prostoru v krystalu, takže mají minimální potenciální energii. Výsledkem je periodická struktura - krystalová mříž (viz Crystal Physics).
Stabilní poloha systému vždy odpovídá minimu potenciální energie. Na obr. 4 ukazuje reliéf povrchu, na kterém je koule umístěna. Existují tři rovnovážné body, ale pouze jeden odpovídající minimální potenciální energii je stabilní (v tomto případě je koule doslova v jámě).
Je zajímavé, že pokud pouze síly elektrostatické interakce (systém pevných nábojů) působí mezi částicemi, pak obecně nemohou být ve stavu stabilní rovnováhy. Potenciální energie nemá minimum a systém se nutně rozpadne (náboje se rozpadnou). Tato Earnshawova věta sloužila jako nejdůležitější důkaz nekonzistence statického atomového modelu.
